Pobegailo

является матрицей квадратичной формы

S(x, y, z) = x2 + y2 + z2 ,

и вектор

x p = yz

задает координаты произвольной точки P E3.

5.2. Касательная плоскость

Рассмотрим сферу S 2 , которая описана каноническим уравнением

относительно некоторой ортогональной системы координат. Это каноническое уравнение может быть переписано следующим образом:

F(x, y, z) = 0,

где

F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 −r2.

Определим градиент функции F(x, y, z). Получим

Из математического анализа функций действительных переменных известно, что вектор grad F(x, y, z) перпендикулярен поверхности сферы

S 2 в любой ее точке P с координатами (x, y, z) , удовлетворяющими ра-

венству (5.1). Обозначим через p радиус-вектор точки P, лежащей на сфере. Видно, что в этом случае

grad F(x, y, z) = 2 p.

Отсюда следует, что радиус-вектор p параллелен вектору градиента grad F(x, y, z). Следовательно, радиус-вектор p также перпендикулярен

110

поверхности сферы S 2 в точке P. Учитывая эти замечания, касательная плоскость к сфере S 2 в точке P0 с координатами (x0 , y0 , z0 ) может быть описана следующим уравнением:

2x0 (x − x0 ) +2 y0 ( y − y0 ) + 2z0 (z − z0 ) = 0.

Преобразуем это уравнение следующим образом:

x0 x + y0 y + z0 z = x02 + y02 + z02.

Принимая во внимание равенство (5.1), последнее уравнение эквивалентно уравнению

Пример. Рассмотрим сферу S 2 , заданную каноническим уравнением x2 + y2 + z2 =1.

Найдем уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке с координатами ( 2 / 2, 2 / 2,0). Используя равенство (5.2), получим

22 x + 22 y =1

или

x + y = 2.

5.3. Плоские сечения

Рассмотрим сферу S 2 , которая описана каноническим уравнением

относительно некоторой ортогональной системы координат (O, x, y, z).

Возьмем в евклидовом аффинном пространстве E3 произвольную плоскость, которая описана относительно той же системы координат каноническим уравнением

111

В этом случае n задает ось, которая перпендикулярна к плоскости, а действительное число d равно расстоянию от начала системы координат O до плоскости. Из неравенства (5.5) следует, что взятая плоскость пересе-

кает рассматриваемую сферу S 2.

Определим кривую, которая является сечением сферы S 2 этой плоскостью. Для этой цели определим следующие оси:

Из этих равенств следует, что оси x, y и z взаимно перпендикулярны. Введем новую систему координат (O, x, y, z). Матрица перехода от системы координат (O, x, y, z) к системе координат (O, x, y, z) определяется

Эта матрица является собственно ортогональной, так как оси x, y и z

взаимно перпендикулярны и образуют правую систему координат. Найдем уравнения рассматриваемой сферы и взятой плоскости отно-

сительно новой системы координат. Матрица S и ось n преобразуются при переходе к новой системе координат (O, x, y, z) следующим образом:

S = RT SR = RT R = I = S, RT n = z.

Следовательно, сфера S 2 и секущая плоскость описываются относительно новой системы координат (O, x, y, z), используя равенства (5.3) и (5.4),

следующим образом:

pT Sp = pT Sp = r2 , (RT n) p = z p = d.

Здесь p обозначает радиус-вектор координат произвольной точки P относительно новой системы координат (O, x, y, z).

Запишем полученные уравнения сферы S 2 и секущей плоскости по координатам

112

ния числа d рассматриваются три случая пересечения сферы и плоскости. Случай 1. Если

d = 0,

то секущая плоскость проходит через центр сферы S 2 , который находится в точке O, и в этом случае равенство (5.7) принимает вид

x2 + y2 = r2.

В этом случае окружность пересечения S1 называется большой окруж-

ностью сферы S 2 . Центр этой окружности также находится в точке O. Случай 2. Если

0 < d < r,

то окружность пресечения S1 называется малой окружностью сферы S 2. В этом случае центр окружности находится на оси z.

Случай 3. Если

d = r,

то равенство (5.7) принимает вид

x2 + y2 = 0.

Отсюда следует, что в этом случае секущая плоскость касается сферы S 2 в точке с координатами (0, 0, d ).

Пример. Рассмотрим сферу S 2 , заданную каноническим уравнением x2 + y2 + z2 =10.

Найдем уравнение окружности, которая является сечением этой сферы плоскостью

z =1.

113

Подставим значение z из уравнения плоскости в уравнение сферы, получим следующее уравнение:

x2 + y2 = 9.

Их этого уравнения следует, что сечением сферы плоскостью является окружность, радиус которой равен 3 с центром в точке с координатами

(0, 0, 1).

5.4. Геодезические линии на сфере

Рассмотрим сферу S 2 , которая описана каноническим уравнением

относительно некоторой ортогональной системы координат. Здесь (x, y, z)

обозначают координаты произвольной точки P E3 относительно этой же системы координат. Возьмем произвольные точки P1 и P2 , лежащие

на поверхности сферы S 2. Пусть векторы (x1, y1, z1) и (x2 , y2 , z2 ) определяют координаты точек P1 и P2 относительно рассматриваемой системы

координат. Задача заключается в нахождении на поверхности сферы S 2 геодезической

x(t) = (x(t), y(t), z(t))

между точками P1 и P2 , где t [t1,t2 ] , t1 и t2 – некоторые предопреде-

ленные действительные числа. Это значит, что параметризованная кривая x(t) удовлетворяет следующим условиям:

x(t1) = (x1, y1, z1) = x1, x(t2 ) = (x2 , y2 , z2 ) = x2.

Напомним, что геодезической линией или просто геодезической на по-

верхности называется кривая линия, лежащая на этой поверхности, вектор ускорения которой в каждой ее точке перпендикулярен касательной плоскости к поверхности в этой точке. Из дифференциальной геометрии поверхностей известно, что если между двумя точками на поверхности существует кривая наименьшей длины, то эта кривая является геодезической линией этой поверхности. Из вариационного исчисления известно, что геодезическая x(t) может быть определена как экстремум функцио-

нала энергии

t2

E( x(t)) = 1 ∫(x2 (t) + y2 (t) + z2 (t)) dt 2 t1

при условии, что координаты (x, y, z) удовлетворяют уравнению (5.10).

114

В вариационном исчислении показано, что для нахождения экстремума функционала энергии, нужно найти экстремумы функционала

1 t2

E( x(t), λ) = ∫L( x, x, λ)(t) dt, 2 t1

где L( x, x,λ) – функция Лагранжа, которая определяется следующим образом:

L( x, x,λ) = x2 + y2 + z2 +λϕ(x, y, z).

Здесь

ограничения, которым должны удовлетворять экстремумы функционала энергии. Используя уравнение (5.10), эти ограничения могут быть записаны как

ϕ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − r2 .

Отсюда следует, что функция Лагранжа L( x, x,λ) может быть определена как

L( x, x,λ) = x2 + y2 + z2 + λ(x2 + y2 + z2 −r2 ).

Следовательно, функционал E( x(t),λ) определяется следующим образом:

Экстремали функционала E( x(t),λ) являются решениями следующей системы дифференциальных уравнений:

115

при условии, заданном равенством (5.11). Выполнив дифференцирование, эту систему можно переписать следующим образом:

Полученная система дифференциальных уравнений эквивалентна системе

λx2 − xx = 0, λy2 − yy = 0, λz2 − zz = 0.

Из этих равенств следует равенство

xx + yy + zz = λ(x2 + y2 + z2 ),

которое, учитывая равенство (5.10), эквивалентно следующему равенству:

Теперь два раза продифференцируем равенство (5.10) по переменной t. Получим равенство

x2 + xx + y2 + yy + z2 + zz = 0,

которое может быть переписано следующим образом:

Предположим, что кривая x(t) является натурально параметризованной, т. е.

x2 (t) + y2 (t) + z2 (t) =1.

Используя это предположение, равенство (5.14) можно переписать следующим образом:

xx + yy + zz = −1.

Подстановка этого равенства в равенство (5.13) дает

λr2 = −1.

Из полученного равенства следует, что

λ = − r12 .

Подставив это значение λ в равенства (5.12), получим систему линейных дифференциальных уравнений

x + rx2 = 0, y + ry2 = 0, z + rz2 = 0,

которая имеет следующее общее решение:

116

где t R. Используя векторные обозначения, это общее решение можно записать следующим образом:

где t R.

Видно, что геодезическая линия x(t), заданная равенством (5.16), ле-

жит на пересечении сферы и плоскости, которая проходит через центр сферы и имеет направляющие векторы a и b. Как было показано в разделе 5.3, такая кривая является большой окружностью сферы. Следовательно, геодезическая линия x(t) также является большой окружностью

сферы S 2.

Кроме того, подстановка равенств (5.15) в равенство (5.10) дает равенство

(a a)cos2 rt + 2(a b)cos rt sin rt +(b b)sin2 rt = r2

для любых t R , которое выполняется только при условии, если a a = r2 , a b = 0, b b = r2.

Из этих равенств следует, что векторы a и b взаимно перпендикулярны и

117

при условии, что t1 ≠ t2.

5.5. Орбиты поворотов

Найдем траекторию или орбиту произвольной точки P E3 под действием ортогонального поворота R(n,ϕ). Для этой цели определим та-

кую ортонормированную систему координат (O, x, y, z), ось z которой совпадает с осью n поворота R(n,ϕ). Относительно новой системы координат (O, x, y, z) матрица поворота R(n,ϕ) имеет следующую структуру:

как было показано в разделе 3.4. Обозначим через P точку, в которую преобразуется точка P посредством поворота R(z,ϕ). Координаты точек

P и P связаны следующим соотношением: p = R(z,ϕ) p,

где p и p обозначают соответственно радиус-векторы точек P и P. По-

следнее равенство может быть переписано по координатам следующим образом:

x = xcos ϕ− y sin ϕ, y = xsin ϕ+ y cos ϕ, z = z.

Из этих равенств следует, что

x2 + y2 = x2 + y2 , z = z.

Отсюда следует, что орбитой произвольной точки P под действием поворота R(z,ϕ) является некоторая окружность

x2 + y2 = c,

118

где c R, с центром в начале системы координат, которая лежит на плоскости перпендикулярной оси поворота z. Так как ортогональные повороты сохраняют расстояние между точками, то орбитами ортогонального поворота R(n,ϕ) также являются окружности с центрами на оси n, которые лежат на плоскостях, перпендикулярных оси n.

5.6. Действие поворотов на сферу S2

Рассмотрим сферу S 2 , которая описана каноническим уравнением

относительно некоторой ортогональной системы координат. Используя матричную нотацию, это уравнение можно записать следующим образом:

pT Sp = r2 ,

где S – матрица квадратичной формы

S(x, y, z) = x2 + y2 + z2

и p – радиус-вектор произвольной точки P E3. Предположим, что точ-

ка P лежит на поверхности сферы S 2 , т. е. ее координаты удовлетворяют уравнению (5.18). Как было показано в разделе 3.2, произвольный пово-

рот R(n,ϕ) является автоморфизмом сферы, т. е. преобразует сферу S 2 саму в себя. Поэтому точка P посредством поворота R(n,ϕ) преобразу-

ется в некоторую точку P, которая также лежит на поверхности сферы. Теперь рассмотрим произвольную плоскость, которая описана норма-

ложим, что точка P лежит на этой плоскости, т. е. ее координаты удовлетворяют уравнению (5.19), а действительное число d удовлетворяет условию

0 ≤ d < r.

Очевидно, что

119