Pobegailo

так как ось n является собственным вектором поворота R(n,ϕ), как было показано в разделе 3.5. Пусть

p = R(n,ϕ) p

обозначает радиус-вектор точки P , полученной путем преобразования точки P посредством поворота R(n,ϕ). Найдем проекцию точки P на ось n, учитывая равенства (5.20). Получим

n p = n (R(n,ϕ) p) = nT (R(n,ϕ) p) = ((R(n,ϕ))T n)T p = = (R(−n,ϕ)n)T p = nT p = n p = d.

Отсюда следует, что точка P также принадлежит плоскости, описанной уравнением (5.19). Следовательно, поворот R(n,ϕ) также является авто-

морфизмом плоскостей, перпендикулярных оси n, т. е. преобразует эти плоскости сами в себя.

В результате получили, что поворот R(n,ϕ) является одновременно автоморфизмом сферы S 2 и плоскостей, перпендикулярных оси n. Следовательно, орбитами поворота R(n,ϕ), действующего на сферу S2 , являются сечения этой сферы плоскостями, перпендикулярными оси n. В раз-

деле 5.3 было показано, что плоские сечения сферы S 2 являются окружностями, лежащими на этой сфере. Следовательно, орбитами поворота

R(n,ϕ), действующего на сферу S2 , являются окружности, которые ле-

жат одновременно как на сфере S2 , так и на плоскостях, перпендикулярных оси n.

5.7. Параметризованные дуги окружностей

Рассмотрим сферу S 2 , которая описана каноническим уравнением

x2 + y2 + z2 = r2

относительно некоторой ортогональной системы координат. Выберем произвольную точку P1 , которая лежит на поверхности этой сферы. Обозна-

чим через p1 радиус-вектор этой точки. Возьмем произвольный ортогональный поворот R(n,ϕ) и определим параметризованную кривую

p(u) = R(n,uϕ) p1,

где u [0,1]. Так как эта кривая является орбитой ортогонального поворота, то она описывает дугу окружности, которая лежит на сфере, учи-

120

тывая, что ортогональные повороты являются автоморфизмами сферы. Поэтому параметризованная кривая p(u) будет называться дугой окруж-

ности сферы S 2.

Определим условия, которые обеспечивают гладкую стыковку сегментов одной дуги окружности. Для этого рассмотрим две дуги окружности

p(u) = R(n,uϕ) p1, q(u) = R(n,uϕ) p2 ,

где u [0,1], а радиус-вектор p2 определяется как конечная точка дуги окружности p(u), т. е.

p2 = p(1) = R(n,ϕ) p1.

Очевидно, что дуги окружностей p(u) и q(u) принадлежат одной ок-

ружности, так как являются орбитами одного и того же поворота. Покажем, что эти дуги окружностей стыкуются в точке p2 гладким образом.

Для этого достаточно показать, что дуга окружности r(u) = R(n,uϕ)R(n,uϕ) p1

является гладкой относительно параметрических производных. Но это очевидно, так как эта дуга окружности может быть представлена следующим образом:

r(u) = R(n,u(2ϕ)) p1,

учитывая аддитивность поворотов вокруг одной оси. Отсюда следует,

для n N.

Теперь рассмотрим две произвольные дуги окружности

где u [0, 1], которые являются орбитами одного и того же поворота и имеют общую граничную точку

p2 = p(1) = q(0).

В этом случае дуги окружностей p(u) и q(u) имеют разрыв параметрической производной в точке стыковки P2 , определяемой радиус-векто-

121

Глава 6 СФЕРА S3

Данную главу можно рассматривать как предварительный материал, который содержит аналитические выражения, используемые в дальнейшем для моделирования сплайн-кривых на поверхности трехмерной сферы. Цель этой главы – дать геометрические определения окружностей, лежащих на поверхности трехмерной сферы, а также привести аналитические выражения для построения таких окружностей.

6.1. Определение сферы S3

Рассмотрим произвольную точку P0 из евклидова аффинного про-

странства E4. Пусть вектор (w0 , x0 , y0 , z0 ) описывает координаты точки P0 относительно некоторой ортогональной системы координат. Тогда множество точек, координаты (w, x, y, z) которых удовлетворяют следующему уравнению второй степени:

(w − w0 )2 +(x − x0 )2 +( y − y0 )2 +(z − z0 )2 =1,

называется трехмерной единичной сферой с центром в точке P0. Трех-

мерная сфера будет обозначаться через S3 . В дальнейшем будем предполагать, что начало ортогональной системы координат находится в центре

сферы S3 . В этом случае сфера S3 описывается уравнением w2 + x2 + y2 + z2 =1,

которое называется каноническим уравнением сферы S3 в евклидовом

аффинном пространстве E4. Используя матричные обозначения, каноническое уравнение сферы может быть переписано следующим образом:

pT Sp = r2 ,

где

123

w p = xy

z

обозначают соответственно матрицу квадратичной формы

S(w, x, y, z) = w2 + x2 + y2 + z2 ,

и радиус-вектор произвольной точки P E4.

6.2. Касательная плоскость

Рассмотрим сферу S3, которая задана каноническим уравнением

относительно некоторой ортогональной системы координат. Это каноническое уравнение может быть переписано следующим образом:

F(w, x, y, z) = 0,

где

F(w, x, y, z) = w2 + x2 + y2 + z2 −1.

Определим градиент функции F(w, x, y, z) , получим

Из математического анализа функций действительных переменных известно, что вектор grad F(w, x, y, z) перпендикулярен к поверхности сфе-

ры S3 в любой ее точке P с координатами (w, x, y, z), удовлетворяющими

равенству (6.1). Обозначим через p радиус-вектор точки P, лежащей на сфере. Видно, что в этом случае

grad F(w, x, y, z) = 2 p.

Отсюда следует, что радиус-вектор p параллелен вектору градиента grad F(w, x, y, z). Следовательно, радиус-вектор p также перпендикулярен

поверхности сферы S3 в точке P. Учитывая эти замечания, касательная

124

плоскость к сфере S3 в точке P0 с координатами (w0 , x0 , y0 , z0 ) может быть описана следующим уравнением:

2w0 (w − w0 ) + 2x0 (x − x0 ) +2 y0 ( y − y0 ) + 2z0 (z − z0 ) = 0.

Преобразуем это уравнение следующим образом:

w0w + x0 x + y0 y + z0 z = w02 + x02 + y02 + z02.

Принимая во внимание равенство (6.1), последнее уравнение эквивалентно уравнению

Пример. Рассмотрим сферу S3, заданную каноническим уравнением w2 + x2 + y2 + z2 =1.

Найдем уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке с ко-

ординатами 12 , 12 , 12 , 12 . Используя равенство (6.2), получим

12 w + 12 x + 12 y + 12 z =1

или

w + x + y + z = 2.

6.3. Плоские сечения

Рассмотрим единичную сферу S3, которая задана каноническим уравнением

относительно ортогональной системы координат (O, w, x, y, z). Рассмот-

рим произвольную плоскость, которая пересекает эту сферу. Эта плоскость может быть задана пересечением двух ортогональных гиперплоскостей

где d1 и d2 – положительные действительные числа, которые удовлетворяют условиям

0 ≤ d12 + d22 <1,

125

являются единичными векторами, которые перпендикулярны друг другу и рассматриваемой плоскости, т. е.

| m | =1, | n | =1, m n = 0.

Определим кривую, которая является пересечением сферы S3 и заданной плоскости. Для этой цели введем новую ортогональную систему координат (O, w, x, y, z), где базисные векторы построены следующим образом:

Очевидно, что матрица R является ортогональной, так как она составлена из осей ортогональной системы координат (O, w, x, y, z), т. е.

RT R = I,

где I – единичная матрица. Координатные представления квадратичной формы S и осей m и n преобразуются при переходе к новой системе координат (O, w, x, y, z) следующим образом:

RT SR = S,

RT m = w, RT n = z.

Введем обозначение для радиус-вектора p = RT p,

который описывает координаты точки P E4 относительно новой системы координат (O, w, x, y, z). Используя все эти обозначения, канониче-

ские уравнения сферы S3 и секущей плоскости описываются относительно новой системы координат (O, w, x, y, z) следующим образом:

(RT p)T (RT SR)(RT p) = (RT p)S(RT p) = pT Sp =1,

126

(RT m) (RT p) = w (RT p) = w p = d1, (RT n) (RT p) = z (RT p) = z p = d2.

По координатам эти уравнения могутбытьзаписаны следующим образом:

где (w, x, y, z) – вектор координат точки P относительно новой системы координат (O, w, x, y, z). Подстановка значений w и z из уравнений (6.6) в уравнение (6.5) дает

Уравнение (6.7) описывает окружность, которая лежит на поверхности

сферы S3. Следовательно, пересечением единичной сферы S3 и плоскости является окружность.

Если секущая плоскость, описанная уравнениями (6.6), проходит через центр сферы S3, то действительные числа d1 и d2 удовлетворяют условию

d12 + d22 = 0 ,

которое эквивалентно следующим равенствам: d1 = d2 = 0.

Вэтом случае уравнение (6.7) примет вид:

x2 + y2 =1.

Отсюда следует, что в этом случае пересечением единичной сферы S3 и плоскости, проходящей через центр сферы, является единичная окруж-

ность S1. Эта окружность называется большой окружностью на поверхности сферы S3.

6.4. Геодезические линии на сфере

Рассмотрим единичную сферу S3, заданную каноническим уравнением

относительно некоторой ортогональной системы координат, где (w, x, y, z) – координаты произвольной точки P E4. Возьмем на поверхности сферы

127

заключается в нахождении на поверхности сферы S3 геодезической линии

x(t) = (w(t), x(t), y(t), z(t)),

где t [t1,t2 ], которая соединяет точку P1 с точкой P2 . Здесь t1 и t2 явля-

ются некоторыми заданными действительными числами. Это значит, что параметризованная кривая x(t) должна удовлетворять следующим гра-

ничным условиям:

x(t1) = (w1, x1, y1, z1), x(t2 ) = (w2 , x2 , y2 , z2 ).

Из вариационного исчисления известно, что геодезическая x(t) может быть определена как экстремум функционала энергии

t

E( x(t)) = 1 ∫2 (w2 (t) + x2 (t) + y2 (t) + z2 (t)) dt 2 t1

при условии, что координаты (w, x, y, z) удовлетворяют уравнению (6.8).

В вариационном исчислении показано, что для нахождения экстремума функционала энергии, нужно найти экстремумы функционала

1 t2

E( x(t), λ) = ∫L( x, x, λ)(t) dt, 2 t1

где L( x, x,λ) – функция Лагранжа, которая определяется следующим образом:

L( x, x,λ) = w2 + x2 + y2 + z2 +λϕ(w, x, y, z).

Здесь

ограничения, которым должны удовлетворять экстремумы функционала энергии. Используя уравнение (6.8), эти ограничения могут быть записаны как

ϕ(w, x, y, z) = w2 + x2 + y2 + z2 −1.

Отсюда следует, что функция Лагранжа L( x, x,λ) может быть определена как

L( x, x,λ) = w2 + x2 + y2 + z2 + λ(w2 + x2 + y2 + z2 −1).

128

Следовательно, функционал E( x(t),λ) определяется следующим образом:

1 t2

E( x(t), λ) = ∫L( x, x,λ)(t) dt = 2 t1

t

= 1 ∫2 (w2 (t) + x2 (t) + y2 (t) + z2 (t) + λ(w2 (t) + x2 (t) + y2 (t) + z2 (t) −1)) dt 2 t1

Экстремали функционала E( x(t),λ) являются решениями следующей системы дифференциальных уравнений:

при условии, заданном равенством (6.9). Выполнив дифференцирование, эту систему можно переписать следующим образом:

Полученная система дифференциальных уравнений эквивалентна системе

λw2 − ww = 0, λx2 − xx = 0, λy2 − yy = 0, λz2 − zz = 0.

Из этих равенств следует равенство

ww + xx + yy + zz = λ(w2 + x2 + y2 + z2 ),

которое, учитывая равенство (6.8), эквивалентно следующему равенству:

Теперь два раза продифференцируем равенство (6.8) по переменной t, получим равенство

w2 + ww + x2 + xx + y2 + yy + z2 + zz = 0,

которое может быть переписано следующим образом:

129