Pobegailo

Предположим, что кривая x(t) является натурально параметризованной, т. е.

w2 (t) + x2 (t) + y2 (t) + z2 (t) =1.

Используя это предположение, равенство (6.12) можно переписать следующим образом:

ww + xx + yy + zz = −1.

Подстановка этого равенства в равенство (6.11) дает λ = −1.

Подставив это значение λ в равенства (6.10), получим систему линейных дифференциальных уравнений

где t R. Используя векторные обозначения, это общее решение можно записать следующим образом:

могут быть определены, учитывая граничные условия, из системы уравнений

Из равенства (6.14) видно, что геодезическая линия x(t) лежит на плос-

кости, определенной началом системы координат и векторами a, b. Следовательно, геодезическая линия x(t) является большой окружностью

сферы S3.

Кроме того, подстановка равенств (6.14) в равенство (6.8) показывает, что

130

(a a)cos2 t + 2(a b)cost sin t +(b b)sin2 t =1

для любых t R. Это равенство выполняется только при условии, если a a =1, a b = 0, b b =1.

Отсюда следует, что векторы a и b – взаимно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице.

6.5. Орбиты поворотов

Рассмотрим единичную сферу S3, заданную каноническим уравнением

относительно некоторой ортогональной системы координат. Используя матричные обозначения, это уравнение может быть записано следующим образом:

pSpT =1,

где S обозначает квадратичную форму сферы S3, а p – радиус-вектор произвольной точки P, которая лежит на поверхности сферы. Заметим, что здесь

p =[w x y z]

представляется вектор-строкой. Из равенства (6.16) следует, что любая точка, лежащая на поверхности сферы S3, может рассматриваться как вектор конечного поворота или единичный кватернион. Очевидно, что единичная сфера S3 инвариантна относительно ортогональных поворотов пространства R4 , так как

( pR)S( pR)T = pRSRT pT = = pRRT pT = ppT = pSpT =1

для любой ортогональной матрицы R. Следовательно, ортогональные по-

вороты являются автоморфизмами единичной сферы S3. Возьмем произвольный вектор конечного поворота

r(n,ϕ) = cos ϕ+sin ϕn,

который описывает поворот вокруг оси n на угол ϕ. Композицию векторов конечных поворотов r и p можно представить, используя матричные обозначения, следующим образом:

131

pr = pR,

где матрица

является ортогональной. Найдем собственные векторы этой матрицы R. Для этой цели рассмотрим характеристическое уравнение

det(R − λI) = 0.

Раскрывая определитель, получим следующее равенство: det(R − λI) = (r0 − λ)2 ((r0 − λ)2 + r12 + r22 + r32 ) −

−r12 (−(r0 − λ)2 − r12 − r22 − r32 ) + r22 ((r0 − λ)2 + r12 + r22 + r32 ) − −r32 (−(r0 − λ)2 − r12 − r22 − r32 ) = (r0 −λ)2 (λ2 − 2r0λ+1) +

+r12 (λ2 − 2r0λ +1) + r22 (λ2 −2r0λ+1) + r32 (λ2 − 2r0λ+1) =

=(λ2 − 2r0λ +1)((r0 −λ)2 + r12 + r22 + r32 ) = (λ2 − 2r0λ+1)2 = 0,

принимая во внимание, что

r02 + r12 + r22 + r32 =1.

Следовательно, собственные значения ортогональной матрицы R являются корнями следующего квадратного уравнения:

λ2 −2r0λ+1 = 0.

Разрешая это уравнение относительно неизвестной λ, получим

что эквивалентно

λ1,2 = cos ϕ±isin ϕ,

принимая во внимание структуру вектора конечного поворота r. В результате получили, что собственные значения ортогональной матрицы R являются комплексными числами. Чтобы найти соответствующие собственные векторы, подставим любое из этих собственных значений в следующее уравнение:

vR = vλ.

132

Получим следующее равенство относительно неизвестного вектора v:

которое может быть преобразовано к следующему виду: v(R − λ1I) = 0.

Это уравнение может быть переписано по координатам следующим образом:

v0 (r0 − λ1) −v1r1 −v2r2 −v3r3 = 0, v0r1 +v1(r0 − λ1) +v2r3 −v3r2 = 0, v0r2 −v1r3 +v2 (r0 − λ1) +v3r1 = 0, v0r3 +v1r2 −v2r1 +v3 (r0 −λ1) = 0.

Принимая во внимание структуру вектора конечного поворота r, полученная система уравнений может быть записана так:

−iv0 sin ϕ−v1n1 sin ϕ−v2n2 sin ϕ−v3n3 sin ϕ = 0, v0n1 sin ϕ−iv1 sin ϕ+v2n3 sin ϕ−v3n2 sin ϕ = 0, v0n2 sin ϕ−v1n3 sin ϕ−iv2 sin ϕ+v3n1 sin ϕ = 0, v0n3 sin ϕ+v1n2 sin ϕ−v2n1 sin ϕ−iv3 sin ϕ = 0,

что эквивалентно системе

iv0 +v1n1 +v2n2 +v3n3 = 0, v0n1 −iv1 +v2n3 −v3n2 = 0, v0n2 −v1n3 −iv2 +v3n1 = 0, v0n3 +v1n2 −v2n1 −iv3 = 0.

Видно, что вектор

v =[i n1 n2 n3 ]

является решением этой системы линейных уравнений, так как

n12 +n22 + n32 =1.

Определим два действительных вектора

Тогда вектор v может быть представлен в виде суммы v = u +iw.

Подстановка собственного вектора v и собственного значения λ1 в уравнение (6.17) дает уравнение

133

(u +iw)R = (u +iw)(cos ϕ+isin ϕ),

которое может быть преобразовано к виду

uR +iwR = (cos ϕu −sin ϕw) +i(sin ϕu +cos ϕw).

Это уравнение эквивалентно следующим двум действительным векторным уравнениям:

uR = cos ϕu −sin ϕw, wR = sin ϕu +cos ϕw,

которые в свою очередь могут быть преобразованы к виду u = cos ϕuRT −sin ϕwRT ,

w = sin ϕuRT +cos ϕwRT ,

принимая во внимание, что матрица R является ортогональной. Разрешим эти уравнения относительно векторов uRT и wRT . Получим

Тогда из уравнений (6.18) и (6.19) следует, что

( pR) u = pRuT = p(uRT )T = p(cos ϕu +sin ϕw)T =

=cos ϕpuT +sin ϕpwT = cos ϕ( p u) +sin ϕ( p w) = 0

ианалогично

( pR) w = pRuT = p(wRT )T = p(−sin ϕu +cos ϕw)T = = −sin ϕpuT +cos ϕpwT = −sin ϕ( p u) +cos ϕ( p w) = 0.

Отсюда следует, что плоскость, определенная равенствами (6.19), инвариантна относительно ортогонального поворота, представленного матрицей R.

В результате получили, что как единичная сфера S3 , так и плоскость, заданная равенствами (6.19), инвариантны относительно ортогонального поворота r(n,ϕ). Отсюда следует, что орбитой ортогонального поворота

r(n,ϕ), который действует на единичную сферу S3, является пересечение сферы S3 и плоскости, заданной равенствами (6.19). Но, как было

134

показано в разделе 6.3, этим пересечением является окружность сферы S3. Следовательно, орбитой ортогонального поворота r(n,ϕ), действующего на единичную сферу S3, также является окружность сферы S3.

Так как каждой точке сферы S3 соответствует некоторая ориентация, то можно сказать, что орбита ортогонального поворота r(n,ϕ), действующего

на единичную сферу S3 , является окружностью ориентаций.

6.6. Действие поворотов на сферу S3

Рассмотрим произвольный ортогональный поворот, который представляется ортогональной матрицей третьего порядка R(n,ϕ). Опреде-

лим следующую матрицу четвертого порядка:

Очевидно, что матрица H (n,ϕ) также является ортогональной. Следовательно, эта матрица описывает некоторый ортогональный поворот в евклидовом аффинном пространстве E4. Отсюда следует, что единичная сфера S3 инвариантна относительно действия матрицы H (n,ϕ).

Определим орбиты ортогонального поворота H (n,ϕ) при его действии на единичную сферу S3. Для этой цели введем векторы

где действительные константы d1 и d2 удовлетворяют условию

0 ≤ d12 + d22 <1.

Очевидно, что эта секущая плоскость инвариантна относительно действий ортогонального поворота H (n,ϕ), так как

w (H (n,ϕ) p) = wT H (n,ϕ) p = wT p = w p = d1,

h (H (n,ϕ) p) = hT H (n,ϕ) p = (H (n,ϕ)h)T p = hT p = h p = d2.

135

Таким образом, получили, что единичная сфера S3 и плоскость, заданная равенствами (6.20), одновременно инвариантны относительно действий ортогонального поворота H (n,ϕ). Следовательно, орбита орто-

гонального поворота H (n,ϕ), действующего на единичную сферу S3,

является пересечением этой единичной сферы S3 и секущей плоскости, заданной равенствами (6.20). В общем случае, как было показано в разделе 6.3, это пресечение является дугой окружности, лежащей на еди-

ничной сфере S3. Следовательно, орбитой ортогонального поворота H (n,ϕ), действующего на единичную сферу S3, является дуга окружно-

сти, лежащая на единичной сфере S3.

Так как ортогональный поворот H (n,ϕ) был выбран произвольно, то

это замечание касается всех ортогональных поворотов. Ориентационные кривые, которые соответствуют окружностям, лежащим на поверхности

единичной сферы S3, будут называться ориентационными окружностями.

6.7. Параметризованные дуги больших окружностей

Возьмем произвольную ориентацию P и некоторую матрицу поворота R(n,ϕ). Определим параметризованную кривую

P(u) = R(n,uϕ)P

для u [0, 1]. Из результатов, полученных в предыдущем разделе, следует, что параметризованная кривая P(u) определяет некоторую дугу окружности сферы S3. Таким образом, параметризованная кривая P(u) описы-

вает параметризованную дугу окружности на сфере S3 или параметризованную дугу ориентаций.

Определим условия, которые обеспечивают гладкую стыковку сегментов одной дуги окружности ориентаций. Для этого рассмотрим две дуги окружности

P(u) = R(n,uϕ)P1, Q(u) = R(n,uϕ)P2 ,

где u [0, 1], а ориентация P2 определяется как конечная точка дуги окружности P(u), т. е.

P2 = P(1) = R(n,ϕ)P1.

Очевидно, что дуги окружностей P(u) и Q(u) принадлежат одной окружности, так как являются орбитами одного и того же поворота. Пока-

136

жем, что эти дуги окружностей стыкуются в точке P2 гладким образом. Для этого достаточно показать, что дуга окружности

R(u) = R(n,uϕ)R(n,uϕ)P1

является гладкой относительно параметрических производных. Но это очевидно, так как эта дуга окружности может быть представлена следующим образом:

R(u) = R(n,u(2ϕ))P1,

учитывая аддитивность поворотов вокруг одной оси. Отсюда следует, что параметрические производные кривых P(u) и Q(u) удовлетворяют в

точке стыковки следующим условиям:

Теперь рассмотрим две произвольные дуги окружности ориентаций

где u [0, 1], которые являются орбитами одного и того же поворота и имеют общую граничную ориентацию

P2 = P(1) = Q(0).

В этом случае дуги окружностей P(u) и Q(u) имеют разрыв параметрической производной в точке стыковки P2 , определяемой ориентацией P2. Для того чтобы обеспечить параметрическую гладкость в точке стыковки введем следующую перепараметризацию:

Подставив перепараметризации (6.24) и (6.25) соответственно в определения параметризованных кривых (6.22) и (6.23), получим новые параметризованные кривые

137

P(t) = P(u(t)),

где t [t1, t2 ], и

Q(t) = Q(u(t)),

где t [t2 , t3 ], которые эквивалентны параметризованным кривым P(u) и Q(u) соответственно. Покажем, что эти параметризованные кривые гладко стыкуются в точке P2 . Для этого вычислим значения параметрических

производных этих кривых в точке стыковки. Учитывая равенство (6.21), получим

P(n) (t2 ) = t2ϕ−1t1 n P(n) (1) = t3ϕ−2t2 n Q(n) (0) = Q(n) (t2 )

для любых n N.

Перепараметризации, заданные формулами (6.24) и (6.25), будут в дальнейшем использованы при построении сплайн-кривых на поверхности сферы S3 .

6.8. Параметризованные дуги малых окружностей

Рассмотрим произвольную ортогональную матрицу четвертого порядка, которая имеет следующую структуру:

где R(n,ϕ) – ортогональная матрица третьего порядка. Выберем на по-

верхности сферы S3 произвольную точку P. Обозначим через p радиусвектор точки P. Определим параметризованную кривую

для u [0, 1]. Из результатов, полученных в разделе 6.6, следует, что в общем случае параметризованная кривая p(u) является дугой малой ори-

ентационной окружности на поверхности единичной сферы S3. Поэтому параметризованную кривую p(u) также будем называть дугой малой

ориентационной окружности.

Опишем дугу малой ориентационной окружности p(u), используя

ортогональные матрицы третьего порядка. Для этого представим единичный вектор p следующим образом:

138

Используя это представление, равенство (6.27) может быть преобразовано следующим образом:

Введем обозначение

m(u) = R(n,uϕ)m

для u [0, 1]. Видно, что параметризованная кривая m(u) описывает дугу

окружности на единичной сфере S 2. Тогда параметризованная ориентационная кривая p(u) может быть описана при помощи ортогональных матриц третьего порядка следующим образом:

для u [0, 1]. Следовательно, дуга малой ориентационной окружности может быть представлена формулой (6.28), где m(u) описывает дугу ок-

ружности на единичной сфере S 2.

Рассмотрим две дуги ориентационных окружностей

P(u) = R(R(n,uϕ1)m1,ψ), Q(u) = R(R(n,uϕ2 )m2 , ψ)

для u [0, 1], которые стыкуются в общей точке

P(1) = Q(0).

Из этого равенства следует, что

R(n,ϕ1)m1 = R(n,0)m2 = m2.

Отсюда следует, что параметризованные кривые p(u) = R(n,uϕ1)m1, q(u) = R(n,uϕ2 )m2

для u [0, 1] описывают дуги одной и той же окружности на поверхности единичной сферы S 2 , которые стыкуются в точке m2. Поэтому ориентационные параметризованные кривые P(u) и Q(u) описывают дуги од-

ной и той же ориентационной окружности, которые стыкуются в общей ориентации. Но эти параметризованные кривые имеют разрыв по пара-

139