Pobegailo

Доказательство. Рассмотрим произвольные кватернионы

P = p0 + p, Q = q0 + q.

Произведение кватернионов P и Q определяется, используя формулу (2.2), следующим образом:

PQ = ( p0q0 − p q) +( p0q + q0 p + p × q).

Из этого равенства следует, что

N(PQ) = (PQ) (PQ) = ( p0q0 − p q)( p0q0 − p q) + +( p0q + q0 p + p × q) ( p0q + q0 p + p ×q) =

=p02q02 − 2 p0q0 ( p q) +( p q)2 +

+p02 (q q) + 2 p0q0 ( p q) + q02 ( p p) + ( p p)(q q) − ( p q)2 =

=p02q02 + p02 (q q) + q02 ( p p) +( p p)(q q) =

=( p02 + p p)(q02 +q q) = N(P)N(Q).

Теорема доказана.

Пример. Используя формулу (2.5), вычислим норму кватерниона

Q =1− 4i +3 j − k.

Получим

N(Q) = 27.

Вычислим произведение кватерниона Q с сопряженным ему кватернионом Q . Получим

Q Q = QQ = (q02 +q q) +(q0q − q0q −q ×q) =

= q02 + q q = q02 + q12 + q22 + q32.

Из этих равенств следует, что норма и модуль кватерниона Q могут быть вычислены, используя операцию сопряжения кватерниона, соответственно следующим образом:

2.7. Обратные кватернионы

Рассмотрим произвольный кватернион

Q = q0 + q.

40

Кватернион

P = p0 + p

называется обратным кватерниону Q при условии, что выполняется равенство

QP =1.

Для того чтобы определить кватернион P, обратный кватерниону Q, рассмотрим кватернион

Q = q0 −q,

сопряженный с кватернионом Q. Используя формулу (2.6), вычислим норму кватерниона Q. Получим

Из этого равенства следует, что кватернион P является обратным кватерниону Q. Кватернион, обратный кватерниону Q, будет обозначаться Q−1. В результате получили следующую формулу для нахождения обратных кватернионов:

Из формулы (2.9) видно, что обратный кватернион Q−1 определен только в том случае, если выполняется условие

N (Q) ≠ 0.

Это значит, что обратный кватернион определен для любого ненулевого кватерниона. Операция получения кватерниона, обратного к исходному кватерниону, называется операцией обращения кватернионов. Эта опе-

рация имеет следующие свойства.

Свойство 1. Для любого ненулевого кватерниона Q выполняется равенство

Q−1Q =1.

41

Доказательство. Это свойство следует из определения нормы кватерниона, так как

Q−1Q = N(1Q) Q Q = N(1Q) N(Q) =1

для любого ненулевого кватерниона Q. Свойство доказано.

Свойство 2. Для любого ненулевого кватерниона Q выполняется равенство

(Q−1)−1 = Q.

Доказательство. Рассмотрим произвольный ненулевой кватернион Q. Кватернион, обратный кватернионуQ, определяется следующим образом:

Свойство доказано.

Свойство 3. Для любых ненулевых кватернионов Q и P выполняется равенство

(PQ)−1 = Q−1P−1.

Доказательство. Рассмотрим произвольные ненулевые кватернионы P и Q. Из определения обратного кватерниона следует, что

Свойство доказано.

42

Пример. Используя формулу (2.9), найдем кватернион, обратный кватерниону

Q =1− 4i +3 j − k.

Получим

Q−1 = 271 (1+ 4i −3 j + k).

2.8. Ортогональные кватернионы

Кватернионы P и Q называются ортогональными кватернионами при условии, что выполняется равенство

Если рассматривать действительные и векторные части этих кватернионов

Рассмотрим произвольные ортогональные кватернионы P и Q. Найдем такой кватернион R, при котором выполняется равенство

P = RQ.

Из этого равенства следует, учитывая равенство (2.11), что

R= PQ−1 = N(1Q) PQ = N(1Q) ( p0 + p)(q0 − q) =

=N(1Q) (( p0q0 + p q) + (−p0q + q0 p − p ×q)) =

=N(1Q) (−p0q + q0 p − p ×q).

Врезультате получили формулу

Из формулы (2.12) видно, что кватернион R имеет только векторнуючасть.

Пример. Рассмотрим кватернионы

P =1+ 2i − j + 4k, Q = 3 − 2i +3 j + k.

43

Эти кватернионы ортогональны, так как

P Q = 0.

Используя формулу (2.12), определим кватернион

R = 231 (−9i −10 j +18k).

Можно проверить, что этот кватернион удовлетворяет равенству

P = RQ.

2.9. Векторное произведение кватернионов

Рассмотрим произвольные кватернионы P, Q и R и определим кватернион

Кватернион P ×Q × R называется векторным произведением кватернио-

нов P, Q и R, а соответствующая операция называется векторным умножением кватернионов. Из этого определения следует, что операция векторного умножения кватернионов имеет следующие свойства.

Свойство 1. Векторное умножение кватернионов кососимметрично, т. е. для произвольных кватернионов P, Q и R выполняются равенства

P ×Q × R = Q × R × P = R × P ×Q =

= −(R ×Q × P) = −(P × R ×Q) = −(Q × P × R).

Свойство 2. Векторное произведение кватернионов дистрибутивно относительно операции сложения кватернионов, т. е. для произвольных кватернионов P, Q, R и P1, P2 , Q1, Q2 , R1, R2 выполняются равенства

(P1 + P2 ) ×Q × R = (P1 ×Q × R) + (P2 ×Q × R),

P × (Q1 +Q2 ) × R = (P ×Q1 × R) + (P ×Q2 × R),

P ×Q × (R1 + R2 ) = (P ×Q × R1) +(P ×Q × R2 ).

Свойство 3. Векторное произведение кватернионов дистрибутивно относительно операции умножения кватерниона на действительное чис-

44

ло, т. е. для произвольных кватернионов P, Q, R и действительного числа λ выполняются равенства

(λP) ×Q × R = P ×(λQ) × R = P ×Q ×(λR) = λ(P ×Q × R).

Рассмотрим произвольные кватернионы P, Q и R. Кватернион H называется ортогональным дополнением кватернионам P, Q и R при условии, что выполняются равенства

P H = 0, Q H = 0, R H = 0,

изкоторых следует, что кватернион H ортогонален кватернионам P, Q и R. Теорема. Векторное произведение кватернионов ортогонально своим

сомножителям.

Доказательство. Рассмотрим произвольные кватернионы P, Q, R и определим кватернион

H = P ×Q × R.

Из определения векторного произведения кватернионов следует, что

P H = P (P ×Q × R) =

Отсюда видно, что кватернион P ортогонален кватерниону H. Аналогично можно доказать, что кватернионы Q и R также ортогональны кватерниону H. Следовательно, кватернион H является ортогональным дополнением кватернионам P, Q и R.

Теорема доказана.

Представим векторное произведение кватернионов, используя операции над векторами. Для этой цели рассмотрим произвольные кватернионы

P = p0 + p, Q = q0 +q, R = r0 + r.

Тогда векторное произведение кватернионов может быть преобразовано следующим образом:

45

=[ pq r] − i( p0 (q2r3 − q3r2 ) − q0 ( p2r3 − p3r2 ) + r0 ( p2q3 − p3q2 )) +

+j( p0 (q1r3 − q3r1) − q0 ( p1r3 − p3r1) + r0 ( p1q3 − p3q1)) −

−k( p0 (q1r2 − q2r1) − q0 ( p1r2 − p2r1) + r0 ( p1q2 − p2q1)) =

=[ pq r] − p0 (i(q2r3 − q3r2 ) − j(q1r3 − q3r1) + k(q1r2 − q2r1)) +

+q0 (i( p2r3 − p3r2 ) − j( p1r3 − p3r1) + k( p1r2 − p2r1)) −

−r0 (i( p2q3 − p3q2 ) − j( p1q3 − p3q1) +k( p1q2 − p2q1)) =

=[ pq r] − p0 (q × r) + q0 (r × p) − r0 ( p ×q).

Врезультате получили

где выражение

[ pq r] = ( p ×q) r = p (q × r)

обозначает смешанное произведение векторов. Пример. Рассмотрим кватернионы

P=1+ 2i − j + 4k,

Q= 3 − 2i +3 j + k,

R = i − 2 j + k.

Определим действительные и векторные части этих кватернионов

46

Тогда векторное произведение кватернионов P, Q и R может быть вычислено, используя формулу (2.13), следующим образом:

Можно проверить, что кватернион P ×Q × R ортогонален каждому из кватернионов P, Q и R.

2.10. Группа единичных кватернионов

Рассмотрим произвольный ненулевой кватернион

Q = q0 + q1i + q2 j + q3k.

Если норма кватерниона Q удовлетворяет условию

N(Q) =1,

то кватернион Q называется единичным кватернионом. Очевидно, что модуль единичного кватерниона Q удовлетворяет условию

| Q | = N(Q) = ±1.

Из определения единичного кватерниона следует, что его координаты удовлетворяют условию

q02 + q12 + q22 + q32 =1.

Единичные кватернионы имеют следующие свойства.

Свойство 1. Кватернион, сопряженный с единичным кватернионом, также является единичным кватернионом.

Доказательство. Рассмотрим единичный кватернион Q. Найдем норму кватерниона Q , сопряженного с единичным кватернионом Q. Получим

N(Q ) = Q Q = q02 + q1`2 + q22 + q32 = Q Q =1,

учитывая, что кватернион Q является единичным. Из этого равенства следует, что кватернион Q также единичный.

Свойство доказано.

Свойство 2. Произведение двух единичных кватернионов также является единичным кватернионом.

Доказательство. Рассмотрим произвольные единичные кватернионы P и Q и найдем норму их произведения. Получим

47

N(PQ) = N(P)N(Q) =1.

Из этого следует, что кватернион PQ также является единичным. Свойство доказано.

Свойство 3. Кватернион 1 является единичным кватернионом.

Доказательство. Очевидно.

Свойство 4. Кватернион, обратный единичному кватерниону, также является единичным.

Доказательство. Рассмотрим произвольный единичный кватернион Q и найдем обратный ему кватернион. Получим

Отсюда следует, что кватернион Q−1 также будет единичным, так как он равен сопряженному кватерниону Q , который является единичным по свойству 1.

Свойство доказано.

Формула (2.14) показывает, как можно вычислить кватернион, обратный единичному кватерниону. Для этого достаточно найти кватернион, сопряженный с этим единичным кватернионом.

Из доказанных свойств следует, что множество единичных кватернионов вместе с операцией умножения образует группу, которая называ-

ется группой единичных кватернионов.

Пример 1. Найдем кватернион, обратный единичному кватерниону

Q = 22 + 42 i + 42 j + 12 k.

Используя формулу (2.14), получим

Q−1 = 22 − 42 i − 42 j − 12 k.

Определим структуру единичных кватернионов. Для этого рассмотрим произвольный единичный кватернион

Q = q0 + q1i + q2 j + q3k.

Из определения единичного кватерниона следует, что его координаты удовлетворяют условию

q02 + q12 + q22 + q32 =1.

48

Из этого равенства видно, что существует такое действительное число ϕ, что выполняются следующие условия:

Определим ось

n = n1i + n2 j + n3k,

координаты которой находятся по формулам

В дальнейшем будем предполагать, что действительное число ϕ удовлетворяет условию

−π ≤ ϕ ≤ π.

Пример 2. Рассмотрим единичный кватернион

Q = 22 + 42 i + 42 j + 12 k.

Видно, что в этом случае

cosϕ = 22 , sin ϕ = 22 .

Из этих равенств следует, что

ϕ = π4 .

Определим ось

Тогда, используя формулу (2.15), единичный кватернион Q может быть представлен следующим образом:

Q = cos π4 +sin π4 n.

49