Pobegailo

метрическим производным в точке стыковки. Для того чтобы обеспечить параметрическую непрерывность в точке стыковки дуг ориентационных окружностей P(u) и Q(u), введем следующую перепараметризацию:

u(t) = t −t1 t2 −t1

для t [t1, t2 ] и

u(t) = t −t2 t3 −t2

для t [t2 , t3 ], где узлы t1, t2 и t3 удовлетворяют следующим условиям:

для t [t2 , t3 ], которые эквивалентны параметризованным ориентационным кривым P(u) и Q(u). В следующей теореме доказано, что параметризованные ориентационные кривые P(t) и Q(t) гладко стыкуются в общей ориентации.

Теорема. Параметризованные ориентационные кривые P(t) и Q(t),

определенные равенствами (6.30) и (6.31), удовлетворяют следующим условиям:

P(n) (t2 ) = Q(n) (t2 )

для всех n N при условии, что узлы t1 , t2 и t3 удовлетворяют равенст-

ву (6.29).

Доказательство. Рассмотрим параметризованные ориентационные кривые P(t) и Q(t), которые определены равенствами (6.30) и (6.31), где

узлы t1, t2 и t3 удовлетворяют равенству (6.29). Равенства (6.30) и (6.31) можно переписать следующим образом:

P(t) = R(R(n,u(t)ϕ1)m1, ψ), Q(t) = R(R(n,u(t)ϕ2 )m2 ,ψ)

140

a =1−u, b = u,

где u [0, 1], и подставим эти значения в формулу бинома Ньютона. Получим

n

((1−u) +u)n = ∑Cnm (1−u)n−m um

m=0

для любых u [0, 1] или эквивалентную формулу

n

∑Cnm (1−u)n−m um =1. m=0

Введем следующие обозначения для полиномов под знаком суммы:

bn,m (u) = Cnm (1−u)n−m um ,

где m {0, 1, ..., n}. Тогда полученное равенство может быть переписано следующим образом:

n

∑bn,m (u) =1

m=0

для любых u [0, 1]. При этом следует отметить, что b0,0 (u) =1.

Полиномы bn,m (u) называются полиномами Бернштейна степени n. На рис. 7.1 показаны графики некоторых полиномов Бернштейна младших

Рис. 7.1. Профили полиномов Бернштейна

143

степеней. В геометрических приложениях наиболее часто используются следующие полиномы Бернштейна младших степеней:

Профили этих полиномов Бернштейна и показаны на рис. 7.1.

Из определения полиномов Бернштейна следует, что они удовлетворяют следующим граничным условиям:

Заменим в полиномах Бернштейна аргумент u на значение (1−u) , учитывая, что биномиальные коэффициенты удовлетворяют равенству

Cnm = Cnn−m ,

получим

bn,m (1−u) = Cnmun−m (1−u)m = Cnn−m (1−u)m un−m = bn,n−m (u).

В результате получили, что полиномы Бернштейна удовлетворяют следующему свойству:

bn,m (1−u) = bn,n−m (u) ,

где m {0, 1, ..., n}.

7.2. Дифференцирование полиномов Бернштейна

Найдем общую формулу, которая может быть использована для дифференцирования полиномов Бернштейна. Для этой цели рассмотрим произвольный полином Бернштейна bn,m (u), где индекс m удовлетворяет

следующим условиям:

0 < m < n.

Производная от полинома bn,m (u) может быть определена следующим образом:

144

= nCm−−1(1−u)(n−1)−(m−1) um−1 − nCm− (1−u)(n−1)−m um = n 1 n 1

=n(bn−1,m−1(u) −bn−1,m (u)).

Всвою очередь производные от полиномов Бернштейна bn,0 (u) и bn,n (u) могут быть определены следующим образом:

(bn,0 (u))′ = ((1−u)n )′ = −n(1−u)n−1 = −nbn−1,0 (u), (bn,n (u))′ = (un )′ = nun−1 = nbn−1,n−1(u).

Объединяя полученные результаты, получим следующие формулы для вычисления производной от полиномов Бернштейна:

Пример 1. Найдем производную от полинома Бернштейна b5,2 (u). Используя формулы (7.3), получим

b5,2′ (u) = 5(b4,1(u) −b4,2 (u)) =

=5(4(1−u)3u −6(1−u)2 u2 ) = 20(1−u)3u −30(1−u)2 u2.

Впринципе формулы (7.3) могут рекуррентно использоваться для вычисления производной любого порядка от полинома Бернштейна. Но эти вычисления утомительны. В следующей теореме выведена формула для вычисления производной произвольного порядка от полинома Бернштейна.

Теорема. Производная k-го порядка от полинома Бернштейна может быть вычислена по следующей формуле:

145

для любого k {1, 2, ..., min{m, n − m}}.

Доказательство. Докажем формулу (7.4), используя принцип математической индукции. Формула (7.4) выполняется при вычислении производной первого порядка от полинома Бернштейна bn,m (u). В этом слу-

чае она эквивалентна формуле (7.3). Предположим, что формула (7.4) справедлива для некоторого натурального числа (k −1), т. е.

k −1

b(k−1) (u) = n(n −1) (n −(k − 2))∑(−1)i Ci − b − − − − + (u).

n,m k 1 n (k 1),m (k 1) i i=0

Используя это предположение и принимая во внимание, что биномиальные коэффициенты удовлетворяют следующим соотношениям:

i=0

Теорема доказана.

Пример 2. Найдем производную третьего порядка от полинома Бернштейна b6,3 (u) . Используя формулу (7.2), получим

=120((1−u)3 −9(1−u)2 u +9(1−u)u2 −u3 ) =

=120(1−u)3 −1080(1−u)2 u +1080(1−u)u2 −120u3.

146

Из формулы (7.4) следует, что производные от полиномов Бернштейна bn,0 (u) и bn,n (u) удовлетворяют следующим граничным условиям:

для любых k {1, 2, ..., n −1}.

Кроме того, из формулы (7.4) и равенств (7.1) и (7.2) следует, что

для любых k {1, 2, ..., min{n −(m −1), m −1}}.

7.3. Интегрирование полиномов Бернштейна

Найдем общую формулу, которая может быть использована для интегрирования полиномов Бернштейна. Для этого сначала вычислим неопределенный интеграл от полинома Бернштейна bn,0 (u)

∫bn,0 (u)du = ∫(1−u)n du = −∫(1−u)n d (1−u) =

где c R. В результате получили следующую формулу:

Теперь вычислим неопределенный интеграл от полинома Бернштейна bn,n (u). Получим

147

Неопределенный интеграл от функции bn,m (t) можно вычислить, используя формулу интегрирование по частям

∫udv = uv − ∫vdu.

Для использования этой формулы введем следующие определения: u = tm ,

dv = Cnm (1−t)n−m dt.

Тогда

Используя полученные результаты, неопределенный интеграл от функции bn,m (t) можно проинтегрировать по частям следующим образом:

∫bn,m (t)dt =∫Cnm (1−t)n−m tmdt =

Принимая во внимание равенства (7.11), полученное рекуррентное уравнение может быть переписано следующим образом:

148

где c R.

Пример. Используя формулу (7.13), вычислим неопределенный интеграл от полинома Бернштейна b5,2 (u). Получим

1

∫b5,2 (u)du = c − 6 (b6,0 (u) +b6,1(u) +b6,2 (u)) =

= c − 16 ((1−u)6 +6(1−u)5 u +15(1−u)4 u2 ).

7.5. Полиномиальный базис

Покажем, что полиномы Бернштейна bk,m (u) , где k {0, 1, ..., n}, об-

разуют базис всех полиномов степени не больше чем n. Очевидно, что полиномы Бернштейна различных степеней линейно независимы. Докажем, что различные полиномы Бернштейна одной степени также линейно независимы.

Теорема 1. Полиномы Бернштейна bn,m (u), где m {0, 1, ..., n}, явля-

ются линейно независимыми.

Доказательство. Предположим, что существуют такие действительные числа ci , где i {0, 1, ..., n}, что

для любого u [0, 1]. Разделим это равенство на полином Бернштейна bn,0 (u), получим равенство

которое может быть переписано следующим образом:

Так как это равенство справедливо для любого значения u, то оно также справедливо и при значении

u = 0.

Подставив это значение u в последнее равенство, получим

149