Pobegailo

принадлежащий R4 , может рассматриваться как вектор конечного поворота. В этом случае параметры соответствующего поворота могут быть определены следующим образом:

Координаты q0 , q1, q2 и q3 единичного вектора q R4 называются па-

раметрами Эйлера (Euler) соответствующего поворота. Очевидно, что параметры Родригеса и Эйлера одного и того же поворота связаны следующим образом:

Подстановка этих значений в формулу (4.12) дает следующую структуру собственно ортогональной матрицы, элементы которой выражены через параметры Эйлера:

учитывая, что

q02 + q12 + q22 +q32 =1.

Обратно, рассмотрим собственно ортогональную матрицу

и определим параметры Эйлера поворота, который описывает эта матрица. Из формулы (4.13) видно, что

r11 + r22 + r33 = 3q02 − q12 − q22 − q32 = 4q02 −1.

Отсюда следует, что

100

Тогда остальные параметры Эйлера могут быть определены из недиагональных элементов матрицы R следующим образом:

q1 = r32 −4 r23 , q2 = r13 −4 r31 , q3 = r12 −4 r21 .

Пример. Найдем параметры Эйлера из собственно ортогональной матрицы

используя полученные в этом разделе формулы. Получим

4.5. Композиция векторов конечных поворотов

Произвольный поворот R(n,ϕ) может быть представлен вектором конечного поворота

r = tan(ϕ/ 2)n = sin(ϕ/ 2)n , cos(ϕ/ 2)

который принадлежит проективному пространству RP3 . Следовательно, этот же поворот R(n,ϕ) может быть также представлен вектором одно-

родных координат

q = cos(ϕ/ 2) +sin(ϕ/ 2)n,

который принадлежит векторному пространству R4 и удовлетворяет условию

q q = cos2 (ϕ/ 2) +sin2 (ϕ/ 2)(n n) =1.

Из этого условия следует, что вектор конечного поворота q принадлежит единичной сфере S3, которая описана каноническим уравнением

w2 + x2 + y2 + z2 =1,

101

где (w, x, y, z) однородные координаты точки P R4. Кроме того, оче-

видно, что вектор конечного поворота q соответствует единичному кватерниону q с теми же координатами. Следовательно, проективное про-

странство RP3 диффеоморфно единичной сфере S3, у которой отождествлены противоположные точки, так как кватернионы q и (−q) описы-

вают один и тот же поворот.

Определим композицию векторов конечных поворотов. Для этого используем следующее представление вектора конечного поворота q(n,ϕ),

используя однородные координаты:

ределена, используя умножение соответствующих кватернионов, следующим образом:

q= q1q2 = cos(ϕ1 / 2)(1+ r1)cos(ϕ2 / 2)(1+ r2 ) =

=cos(ϕ1 / 2)cos(ϕ2 / 2)(1+ r1 r2 + r1 + r2 + r1 ×r2 ).

Сравнение последнего равенства с равенством (4.14) показывает, что

cos(ϕ/ 2)r = cos(ϕ1 / 2)cos(ϕ2 / 2)(r1 +r2 +r1 × r2 ).

В свою очередь из этого равенства следует, что

r = cos(ϕ1 / 2)cos(ϕ2 / 2)(r1 +r2 +r1 × r2 ) . cos(ϕ/ 2)

Наконец, подставив значение cos(ϕ/ 2) из равенства (4.15) в последнее

равенство, получим, что композиция векторов конечных поворотов задается следующим выражением:

Представим композицию векторов конечных поворотов как действие некоторого преобразования на вектор конечного поворота. Для этой цели

рассмотрим два произвольных вектора конечных поворотов p,r R4 ,

представленные в однородных координатах. Представим композицию этих векторов, используя кватернионы

Как было показано в разделе 2.1, каждый кватернион может быть представлен квадратной матрицей четвертого порядка. Используем это пред-

102

ставление для вектора конечного поворота r, который отождествлен с единичным кватернионом. Получим

Можно проверить, что матрица R удовлетворяет условиям

RT R = I, det R =1.

Отсюда следует, матрица R является ортогональной. Подставив это значение в равенство (4.17) вместо вектора конечного поворота r, получим выражение

Из формулы (4.18) следует, что композиция векторов конечных поворотов p и r соответствует некоторому повороту вектора p в пространстве

R4 и этот поворот описывается собственно ортогональной матрицей R.

4.6. Касательные векторы

Обозначим через so(3, R) множество кососимметричных матриц третьего порядка. Очевидно, что множество so(3, R) вместе с операциями

сложения матриц и умножения матрицы на действительное число образует линейное пространство. Покажем, что это линейное пространство трехмерно. Для этого определим матрицы

Очевидно, что эти матрицы линейно независимы и являются кососимметричными. Теперь рассмотрим произвольную кососимметричную матрицу

103

из so(3, R) . Эта матрица может быть представлена линейной комбинацией матриц K1, K2 и K3 следующим образом:

L = l1K1 +l2 K2 +l3K3.

Отсюда следует, что матрицы K1, K2 и K3 образуют базис линейного пространства so(3, R) и, следовательно, это линейное пространство трех-

мерно.

Экспонентой квадратной матрицы X называется формальный степенной ряд

В матричном анализе показано, что этот ряд сходится для любой квадратной матрицы X. Покажем, что экспонента exp L от произвольной ко-

сосимметричной матрицы L из линейного пространства so(3, R) является собственно ортогональной матрицей из группы SO(3, R) . Для этой цели

введем два типа матриц, которые определены ниже. Обозначим через

симметричную матрицу, элементы которой удовлетворяют равенству

n12 +n22 + n32 =1.

Симметричные матрицы подобной структуры будут называться нормализованными симметричными матрицами. В следующих теоремах доказаны некоторые свойства нормализованных симметричных матриц, которые будут использоваться при определении структуры матрицы exp L.

Теорема 1. Для любой нормализованной симметричной матрицы M справедливо равенство

при любом k N.

Доказательство. Рассмотрим произвольную нормализованную симметричную матрицу M. Докажем равенство (4.19), используя метод математической индукции. Покажем, что равенство (4.19) справедливо при условии k = 2.

104

Получим

Теперь предположим, равенство (4.19) справедливо для некоторого произвольного натурального числа (k −1) , т. е.

произвольную кососимметричную матрицу, элементы которой удовлетворяют равенству

n12 +n22 + n32 =1.

Такие кососимметричные матрицы будут называться нормализованными кососимметричными матрицами. В следующей теореме доказывается одно из свойств кососимметричных нормализованных матриц, которое будет использовано в дальнейшем при определении структуры матрицы exp L.

105

Теорема 2. Для любой нормализованной кососимметричной матрицы K справедливо равенство

при любом k N.

Доказательство. Рассмотрим произвольную нормализованную кососимметричную матрицу K. Докажем равенство (4.22), используя метод математической индукции. Покажем, что равенство (4.22) выполняется при условии k =1. Получим

Теперь предположим, что равенство (4.22) справедливо для некоторого произвольного натурального числа (k −1) , т. е.

Тогда, используя теорему 1, из равенств (4.23) и (4.24) следует, что

K 2k = K 2k −2 K 2 = (−1)k−1(I − M )(−1)(I − M ) = = (−1)k (I − 2M + M ) = (−1)k (I − M ).

Теорема доказана.

Теорема 3. Для любой нормализованной кососимметричной матрицы K справедливо равенство

при любом k N.

106

Доказательство. Рассмотрим произвольную нормализованную кососимметричную матрицу K. Докажем равенство (4.25), используя метод математической индукции. Покажем, что равенство (4.25) выполняется при условии k =1.

получим

K 3 = KK 2 = K (M − I) = KM − K = −K.

Теперь предположим, что равенство (4.25) справедливо для некоторого произвольного натурального числа (k −1), т. е.

Тогда из равенства (4.26), используя равенства (4.23) и (4.25), следует, что

K 2k+1 = K 2k−1K 2 = (−1)k−1 K (M − I) = = (−1)k −1 KM +(−1)k K = (−1)k K.

Теорема доказана.

Используя доказанные теоремы, определим структуру матрицы exp L. Получим

=cosϕI +sin ϕK +(1−cosϕ)M = R(n,ϕ).

Врезультате получили

exp(ϕK ) = R(n,ϕ).

Отсюда следует, что матрица exp L описывает поворот вокруг оси n на угол ϕ. Из последнего равенства также следует, что любая однопара-

107

Глава 5 СФЕРА S2

Данную главу можно рассматривать как предварительный материал, который содержит аналитические выражения, используемые в дальнейшем для моделирования сплайн-кривых на поверхности двумерной сферы. Цель этой главы дать геометрические определения окружностей, лежащих на поверхности двумерной сферы, а также привести аналитические выражения для построения таких окружностей.

5.1. Определение сферы S2

Рассмотрим произвольную точку P0 из евклидова аффинного пространства E3. Пусть вектор (x0 , y0 , z0 ) описывает координаты точки P0

относительно некоторой системы координат. Возьмем произвольное действительное число r и определим множество точек, координаты которых (x, y, z) удовлетворяют уравнению

(x − x0 )2 +( y − y0 )2 +(z − z0 )2 = r2.

Это множество точек называется двумерной сферой радиуса r с центром в точке P0 и обозначается через S 2. В дальнейшем будем предполагать, что начало системы координат находится в центре сферы S 2 . В этом случае двумерная сфера S 2 описывается уравнением

x2 + y2 + z2 = r2 ,

которое называется каноническим уравнением двумерной сферы в евкли-

довом аффинном пространстве E3 . Используя матричную нотацию, каноническое уравнение сферы может быть записано следующим образом:

pT Sp = r2 ,

где матрица

109