Pobegailo

2.11. Ортогональные единичные кватернионы

Рассмотрим два ортогональных единичных кватерниона

P = p0 + p, Q = q0 +q

и определим такой кватернион R, при котором

P = RQ.

Используя формулу (2.12) и учитывая, что кватернион Q является единичным, кватернион R может быть определен следующим образом:

R = PQ−1 = PQ = −p0q + q0 p − p × q.

Отсюда видно, что кватернион R имеет только векторную часть. Кроме того, так как кватернионы P и Q являются единичными, то кватернион R также является единичным по свойству 2 из раздела 2.10. Следовательно, кватернион R определяет некоторую ось в трехмерном евклидовом пространстве R3. Введем следующее обозначение для этой оси:

Тогда единичный кватернион R может быть определен следующим образом:

R = cos π2 +sin π2 n.

Если рассматривать единичный кватернион R как оператор, действующий на кватернион Q, то можно сказать, что кватернион R описывает полуоборот вокруг оси n. Следовательно, единичный кватернион P может быть получен из единичного кватерниона Q, который ортогонален кватерниону P, посредством полуоборота вокруг оси, координаты которой могут быть найдены при помощи формулы (2.16).

Теорема. Если P, Q и R – единичные взаимно ортогональные кватернионы, то их ортогональное дополнение

H = P ×Q × R

также является единичным кватернионом.

Доказательство. Рассмотрим взаимно ортогональные единичные кватернионы P, Q и R. Найдем норму ортогонального дополнения этих кватернионов

H = P ×Q × R.

Получим

50

HH = H 2 = (P ×Q × R)2 =

=([ pq r] − p0 (q × r) − q0 (r × p) − r0 ( p × q))2 =

=[ pq r]2 + p02 (q × r)2 + q02 (r × p)2 + r02 ( p × q)2 +

+2 p0q0 (q × r) (r × p) + 2q0r0 (r × p) ( p ×q) + 2r0 p0 ( p ×q) (q × r) =

=[ pq r]2 + p02 (q2r2 −(q r)2 ) + q02 (r2 p2 − (r p)2 ) + r02 ( p2q2 − ( p q)2 ) +

+2 p0q0 ((q r)(r p) −(q p)r2 + 2q0r0 ((r p)( p q) −(r q) p2 ) +

+2r0 p0 (( p q)(q r) −( p r)q2 ) =[ pq r]2 + p02 ((1−q02 )(1−r02 ) − q02r02 ) +

+q02 ((1− q02 )(1− p02 ) −r02 p02 ) +r02 ((1− p02 )(1− q02 ) − p02q02 ) +

+2 p0q0 (q0r02 p0 + q0 p0 (1−r02 )) +2q0r0 (r0 p02q0 +r0q0 (1− p02 )) +

+2r0 p0 ( p0q02r0 + p0r0 (1− q02 )) =[ pq r]2 +

+p02 (1− q02 − r02 ) +q02 (1− r02 − p02 ) +r02 (1− p02 − q02 ) +

+2 p02q02 + 2q02r02 + 2r02 p02 =[ pq r]2 + p02 + q02 +r02.

Здесь квадраты в верхних индексах обозначают нормы соответствующих кватернионов и векторов для краткости. Таким образом, получили

=1− p02 − q02 − r02 .

Подстановка этого значения в выражение (2.17) дает следующее равенство:

(P ×Q × R) (P ×Q × R) =1,

из которого следует, что кватернион H является единичным. Теорема доказана.

51

Рассмотрим ортогональные единичные кватернионы P, Q и R. Из доказанной теоремы следует, что кватернионы P, Q, R и их ортогональное дополнение

H = P ×Q × R

образуют ортогональный базис в линейном пространстве H 4 . Пример. Рассмотрим единичный кватернион

Q = 22 + 42 i + 42 j + 12 k

и ось

n = 23 i − 23 j + 13 k

в трехмерном евклидовом пространстве. Определим единичный кватернион

R = n.

Теперь найдем единичный кватернион

P = RQ = n(q0 +q) = −(n q) + q0n + n ×q =

Можно проверить, что единичные кватернионы Q и P являются ортогональными.

2.12. Дифференцирование кватернионов по параметру

Произвольное отображение

Q : R → H 4 ,

которое по элементам описывается как

Q : t Q(t),

называется параметрическим кватернионом. Обычно параметрические кватернионы будут обозначаться P(t), Q(t) и R(t), подразумевая, что

52

t R. Видно, что параметрический кватернион описывает в пространстве

H 4 некоторую кривую, которая будет называться параметрической кривой в пространстве кватернионов.

Пример 1. Рассмотрим произвольные кватернионы P и Q. Определим параметрическую кривую

R(t) = (1−t)P +tQ,

где t R. Видно, что параметрическая кривая R(t) определяет прямую

линию в пространстве кватернионов H 4, которая проходит через кватернионы P и Q.

Рассмотрим произвольный параметрический кватернион

Q(t) = q0 (t) +q(t).

Очевидно, что производная по параметру от кватерниона Q(t) определяется следующим образом:

Q′(t) = q0′(t) + q′(t).

Производная по параметру от параметрического кватерниона имеет следующие свойства.

Свойство 1. Для любых параметрических кватернионов P(t) и Q(t) выполняется равенство

(P(t) +Q(t))′ = P′(t) +Q′(t).

Доказательство. Рассмотрим произвольные параметрические кватернионы

P(t) = p0 (t) + p(t), Q(t) = q0 (t) +q(t).

Используя свойства производных от действительных и векторных функций, найдем производную по параметру от их суммы. Получим

(P(t) +Q(t))′ = (( p0 (t) + q0 (t)) +( p(t) + q(t)))′ =

= ( p0 (t) + q0 (t))′ +( p(t) +q(t))′ = ( p0′(t) + q0′(t)) +( p′(t) + q′(t)) = = ( p0′(t) + p′(t)) + (q0′(t) +q′(t)) = P′(t) +Q′(t).

Свойство доказано.

Свойство 2. Для любого параметрического кватерниона P(t) и действительного числа λ выполняется равенство

(λP(t))′ = λP′(t).

53

Доказательство. Рассмотрим произвольный параметрический кватернион

P(t) = p0 (t) + p(t)

и действительное число λ. Используя свойства производных от действительных и векторных функций, найдем производную по параметру от их произведения. Получим

(λP(t))′ = (λp0 (t) + λp(t))′ = λp0′(t) + λp′(t) = λ( p0′(t) + p′(t)) = λP′(t).

Свойство доказано.

Свойство 3. Для любых параметрических кватернионов P(t) и Q(t) выполняется равенство

(P(t)Q(t))′ = P′(t)Q(t) + P(t)Q′(t).

Доказательство. Рассмотрим произвольные параметрические кватернионы

P(t) = p0 (t) + p(t), Q(t) = q0 (t) +q(t).

Используя свойства производных от действительных и векторных функций, найдем производную по параметру от их произведения. Получим

(P(t)Q(t))′ = ( p0 (t)q0 (t) − p(t) q(t) + p0 (t)q(t) + q0 (t) p(t) + p(t) ×q(t))′ = = p0′(t)q0 (t) + p0 (t)q0′(t) − p′(t) q(t) − p(t) q′(t) + p0′(t)q(t) +

+p0 (t)q′(t) + q0′(t) p(t) +q0 (t) p′(t) + p′(t) ×q(t) + p(t) ×q′(t) =

=( p0′(t)q0 (t) − p′(t) q(t) + p0′(t)q(t) + q0 (t) p′(t) + p′(t) ×q(t)) +

+( p0 (t)q0′(t) − p(t) ×q′(t) + p0 (t)q′(t) + q0′(t) p(t) + p(t) ×q′(t)) =

=P′(t)Q(t) + P(t)Q′(t).

Свойство доказано.

Свойство 4. Для любых параметрических кватернионов P(t) и Q(t) выполняется равенство

(P(t) Q(t))′ = P′(t) Q(t) + P(t) Q′(t).

Доказательство. Рассмотрим произвольные параметрические кватернионы

P(t) = p0 (t) + p(t), Q(t) = q0 (t) +q(t).

Используя свойства производных от действительных и векторных функций, найдем производную по параметру от их скалярного произведения. Получим

54

(P(t) Q(t))′ = ( p0 (t)q0 (t) − p(t) q(t))′ =

=p0′(t)q0 (t) + p0 (t)q0′(t) − p′(t) q(t) − p(t) q′(t) =

=( p0′(t)q0 (t) − p′(t) q(t)) + ( p0 (t)q0′(t) − p(t) q′(t)) =

=P′(t) Q(t) + P(t) Q′(t).

Свойство доказано.

Свойство 5. Для любых параметрических кватернионов P(t), Q(t) и R(t) выполняется равенство

(P(t) ×Q(t) × R(t))′ =

= P′(t) ×Q(t) × R(t) + P(t) ×Q′(t) × R(t) + P(t) ×Q(t) × R′(t).

Доказательство. Рассмотрим произвольные параметрические кватернионы

P(t) = p0 (t) + p(t), Q(t) = q0 (t) + q(t), R(t) = r0 (t) + r(t).

Используя свойства производных от действительных и векторных функций, найдем производную по параметру от их векторного произведения. Получим

(P(t) ×Q(t) × R(t))′ =

=([ p(t)q(t) r(t)] − p0 (t)(q(t) × r(t)) − q0 (t)(r(t) × p(t)) − r0 (t)( p(t) × q(t)))′ =

=[ p′(t)q(t) r(t)] +[ p(t)q′(t) r(t)] +[ p(t)q(t) r′(t)] −

−p0′(t)(q(t) × r(t)) − p0 (t)(q′(t) ×r(t)) − p0 (t)(q(t) × r′(t)) −

−q0′(t)(r(t) × p(t)) − q0 (t)(r′(t) × p(t)) −q0 (t)(r(t) × p′(t)) −

−r0′(t)( p(t) ×q(t)) − r0 (t)( p′(t) ×q(t)) − r0 (t)( p(t) ×q′(t)) =

=[ p′(t)q(t) r(t)] − p0′(t)(q(t) × r(t)) − q0 (t)(r(t) × p′(t)) − r0 (t)( p′(t) ×q(t)))′ +

+[ p(t)q′(t) r(t)] − p0 (t)(q′(t) × r(t)) − q0′(t)(r(t) × p(t)) − r0 (t)( p(t) ×q′(t)) +

+[ p(t)q(t) r′(t)] − p0 (t)(q(t) ×r′(t)) − q0 (t)(r′(t) × p(t)) −r0′(t)( p(t) ×q(t)) =

=P′(t) ×Q(t) × R(t) + P(t) ×Q′(t) × R(t) + P(t) ×Q(t) × R′(t).

Свойство доказано.

Из доказанных свойств следует, что производная по параметру от параметрического кватерниона имеет те же свойства, что и производная по параметру от векторной функции.

В геометрических приложениях часто требуется найти от произведения параметрических кватернионов производные более высоких поряд-

55

ков, чем первый. Следующая теорема дает формулу для вычисления таких производных.

Теорема 1. Для произвольных параметрических кватернионов P(t) и Q(t) справедлива формула

обозначают биномиальные коэффициенты.

Доказательство. Докажем формулу (2.18), используя метод математической индукции. Для этой цели рассмотрим произвольные параметрические кватернионы P(t) и Q(t) . Видно, что формула (2.18) выполняется

при n =1 по свойству 3. Предположим, что формула (2.18) также справедлива для некоторого произвольного натурального числа n −1, т. е.

n−1

(P(t)Q(t))(n−1) = ∑Cm− P(n−1−m) (t)Q(m) (t). (2.19)

n 1

m=0

Докажем, что в этом случае формула (2.18) также выполняется для натурального числа n. Используя свойство 3 и равенство (2.19), получим

56

= Cn0 P(n) (t)Q(t) +Cn1 P(n−2) (t)Q′(t) +… …+Cnn−1P′(t)Q(n−1) (t) +Cnn P(t)Q(n) (t) =

n

= ∑Cnm P(n−m) (t)Q(m) (t), m=0

учитывая, что биномиальные коэффициенты имеют свойство

Cm +Cm+1 = Cm++1

n n n 1

для любых натуральных чисел n и m, удовлетворяющих неравенствам

0 ≤ m < n .

Теорема доказана.

В геометрических приложениях часто приходится вычислять производные от параметра единичных кватернионов. Рассмотрим единичный параметрический кватернион

Q(t) = cos(ϕt) +sin(ϕt)n

и вычислим его производную по параметру t. Используя формулу (2.2) для вычисления произведения кватернионов, поучим

Q′(t) = (cos(ϕt) +sin(ϕt)n)′ = ϕ(−sin(ϕt) +cos(ϕt)n) =

=ϕ(−sin(ϕt) +cos(ϕt)n)(cos(ϕt) −sin(ϕt)n)(cos(ϕt) +sin(ϕt)n) =

=ϕn(cos(ϕt) +sin(ϕt)n) = ϕnQ(t).

Врезультате получили формулу

Найдем вторую производную от единичного параметрического кватерниона Q(t) по параметру t. Используя формулу (2.20), получим

Теорема 2. Для произвольного единичного параметрического кватерниона

Q(t) = cos(ϕt) +sin(ϕt)n

57

Глава 3 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОВОРОТОВ

В данной главе рассмотрены представления поворотов собственно ортогональными матрицами группы SO(3, R), специальными унитарными

матрицами группы SU (2), а также единичными кватернионами. После

этого рассмотрены изоморфизмы между этими представлениями. Материал изложен довольно подробно. Дополнительные сведения по данным и смежным вопросам можно найти как в работах [11–20], так и в более специализированных работах [32–37].

3.1. Матричная группа SO(3, R)

Обозначим через O(3, R) множество квадратных матриц третьего по-

где R – произвольная матрица из множества O(3, R).

Покажем, что множество O(3, R) образует группу. Для этого рассмотрим произвольные матрицы R и Q из множества O(3, R). Произведение этих матриц RQ также принадлежит множеству O(3, R), так как

(RQ)T RQ = QT (RT R)Q = QT Q = I,

учитывая равенство (3.1). Очевидно, что множеству O(3, R) также при-

надлежит единичная матрица I, которая является нейтральным элементом относительно операции умножения матриц. Кроме того, для произ-

вольной матрицы R O(3, R) существует обратная матрица R−1, которая также принадлежит множеству O(3, R), так как

(R−1)T R−1 = (RT )−1 R−1 = (RRT )−1 =

= ((RT R)T )−1 = (IT )−1 = I −1 = I,

59