Pobegailo

которое эквивалентно равенству

Раскрывая определитель, это равенство может быть переписано следующим образом:

(1− λ)(cosϕ− λ)2 +(1− λ)sin2 ϕ =

=(1− λ)((cosϕ− λ)2 +sin2 ϕ) =

=(1− λ)(cos2 ϕ− 2λcosϕ+ λ2 +sin2 ϕ) =

=(1− λ)(λ2 − 2λcosϕ+1) = 0.

Врезультате получили кубическое уравнение относительно переменной λ. Это кубическое уравнение имеет следующие корни:

Это значит, что матрица R(z,ϕ) имеет только одно действительное собственное значение λ1, которое равно единице. Тогда собственный вектор v, соответствующий собственному значению λ1 может быть определен из следующего уравнения:

R(z,ϕ)v = v,

которое может быть переписано по координатам следующим образом:

70

имеют ненулевое решение относительно переменных v1 и v2 только в том случае, если выполняется условие

Раскрывая определитель, это условие можно переписать следующим образом:

(cosϕ−1)2 +sin2 ϕ =

=cos2 ϕ− 2cosϕ+1+sin2 ϕ =

=2(1−cosϕ) = 0.

Из полученного равенства следует, что равенства (3.19) имеют ненулевое решение только при условии, если

1−cosϕ = 0,

которое эквивалентно условию

ϕ = 0 ± 2kπ

при k N. Но полученное равенство противоречит предположению, которое задано неравенством (3.17). Следовательно, равенства (3.19) имеют только нулевое решение, отсюда следует, что равенства (3.18) имеют следующее нормализованное решение:

v1 = 0, v2 = 0, v3 =1,

которое может быть записано, используя векторные обозначения, как

v= z.

Врезультате получили, что ось z является единственным нормализованным собственным вектором поворота, представленного собственно ортогональной матрицей R(z,ϕ). Следовательно, поворот, представленный

собственно ортогональной матрицей R(n,ϕ), также имеет единственный

нормализованный собственный вектор, который совпадает с осью n. Принимая во внимание геометрический смысл собственных векторов

и соответствующих им собственных значений, можно сказать следующее. Так как собственное значение λ1, соответствующее собственному

вектору n, равно единице, то поворот, представленный собственно ортогональной матрицей R(n,ϕ), оставляет неподвижными все точки, кото-

рые лежат на прямой, проходящей через начало системы координат, и направляющим вектором которой является ось поворота n.

71

3.6. Матричная группа SU(2)

Обозначим через SU (2) множество комплексных матриц второго порядка, которые удовлетворяют следующим двум условиям:

Здесь U обозначает матрицу, сопряженную матрице U, т. е.

U =UT ,

где элементы матрицы U комплексно сопряжены с элементами матрицы U.

По аналогии с матричной группой SO(3, R) можно показать, что матрицы из множества SU (2) образуют группу. Эта группа называется специальной унитарной группой второго порядка и обозначается SU (2), а

элементы этой группы называются специальными унитарными матрицами. Из условий (3.20) следует, что обратная матрица для специальной унитарной матрицы равна сопряженной ей матрице, т. е.

U −1 =U .

Найдем структуру матриц, принадлежащих группе SU (2) . Для этой цели рассмотрим произвольную матрицу

принадлежащую группе SU (2). Тогда комплексно сопряженная матрица U имеет следующие элементы

где черта над элементом обозначает сопряженное комплексное число. Подстановка этих матриц в равенства (3.20) дает следующие матричные равенства:

72

Равенство (3.21) эквивалентно следующей системе действительных равенств:

Теперь преобразуем равенство (3.22), используя полученные равенства (3.23) и (3.25), следующим образом:

Аналогично, используя равенства (3.24) и (3.26), из равенства (3.22) получим, что

Введем следующие обозначения

u = u11, v = u12.

Тогда, используя эти обозначения, из равенств (3.27) и (3.28) следует, что любая матрица группы SU (2) имеет следующую структуру:

73

Отсюда также следует, что сопряженная матрица U имеет следующую структуру:

Пример. Рассмотрим комплексную матрицу

Видно, что условие, заданное равенством (3.29), выполняется, так как uu + vv = 12 + 14 + 81 + 81 =1.

Следовательно, матрица U является специальной унитарной матрицей и принадлежит группе SU (2) .

3.7. Спин матрицы Паули

Пусть H 3 обозначает множество комплексных матриц второго порядка, которые имеют следующую структуру:

где p1 , p2 и p3 – произвольные действительные числа. Из этого определения видно, что любая матрица P H 3 удовлетворяет двум условиям

P = P , tr P = 0,

т. е. множество H 3 содержит эрмитовы или самосопряженные матрицы, след которых равен нулю. Сложение двух матриц из H 3 и умножение матрицы из H 3 на действительное число дает матрицу из H 3 , так как

74

для любых матриц P,Q H 3 и действительного числа λ. Следовательно,

множество H 3 вместе с операциями сложения матриц и умножения матрицы на действительное число образует линейное пространство.

Покажем, что линейное пространство H 3 является трехмерным. Для этого рассмотрим следующие матрицы:

которые называются спин матрицами Паули. Видно, что спин матрицы Паули принадлежат линейному пространству H 3 и, кроме того, любая

матрица P H 3 может быть представлена линейной комбинацией спин матриц Паули:

P = p1σ1 + p2σ2 + p3σ3.

Таким образом, спин матрицы Паули образуют базис линейного про-

странства H 3 . Следовательно, линейное пространство H 3 является трехмерным.

3.8. Представление поворотов матрицами группы SU(2)

Определим изоморфизм между евклидовым аффинным пространст-

вом E3 и линейным пространством H 3. Для этой цели определим отображение

f : E3 → H 3,

которое по элементам задается следующим образом:

торой системы координат. Из этого определения следует, что любая точка P E3 с координатами (x, y, z) отображается в следующую матрицу

75

из линейного пространства H 3. Очевидно, что введенное отображение f

падает с сопряженной матрицей U , то матрица P имеет те же собст-

венные значения, что и матрица P. Поэтому след матрицы P удовлетворяет условию

trP = trP = 0.

Теперь покажем, что матрица P так же, как и матрица P, является самосопряженной

P = (U PU ) =U P (U ) =U PU = P.

Кроме того, так как

detU =1,

то преобразование, заданное равенством (3.31), сохраняет определитель матрицы P, т. е.

точки P посредством преобразования, заданного равенством (3.31). Равенство (3.32) можно переписать по элементам следующим обра-

зом:

−(x2 + y2 + z2 ) = −(x2 + y2 + z2 ),

где вектор (x, y, z) обозначает координаты точки P . Из этого равенства следует, что преобразование, заданное равенством (3.31), сохраняет рас-

стояние между точками в пространстве E3 . Отсюда следует, что каждая специальная унитарная матрица из группы SU (2) соответствует некото-

рому мультипликативному преобразованию точек из пространства E3, которое сохраняет расстояния между точками. Поэтому каждая специальная унитарная матрица из группы SU (2) представляет некоторый по-

ворот евклидова аффинного пространства E3.

76

3.9. Параметры Кэли – Клейна

Рассмотрим всевозможные произведения спин матриц Паули

где I обозначает единичную матрицу. Теперь возьмем произвольную специальную унитарную матрицу второго порядка

Введем для действительной и мнимой частей комплексных чисел u и v следующие обозначения:

u = q0 +iq3 , v = q2 +iq1 .

Тогда сопряженные им комплексные числа имеют следующуюструктуру:

Используя введенные обозначения, специальные унитарные матрицы U и

U могут быть представлены следующими линейными комбинациями спин матриц Паули:

Следовательно, матрицы I, iσ1 , iσ2 и iσ3 образуют базис группы SU (2) , так как U – произвольная матрица из группы SU (2) . В этом случае действительные числа q0 , q1 , q2 и q3 могут рассматриваться как ко-

77

ординаты матрицы U в этом базисе. Так как матрица U представляет не-

который поворот в E3 , то комплексные числа u и v также называются параметрами поворота или параметрами Кэли – Клейна (Cayley – Klein). В общем случае любые комплексные числа u и v, которые удовлетворяют равенству (3.34), определяют некоторую специальную матрицу из группы SU (2) . В свою очередь из равенства (3.35) следует, что специальная

унитарная матрица U, которая задается параметрами Кэли – Клейна, имеет следующую структуру:

Отсюда следует, что параметры Кэли – Клейна можно найти из специальной унитарной матрицы

используя следующие соотношения:

которая была рассмотрена в примере из раздела 3.6. Используя формулу (3.37), найдем параметры Кэли – Клейна. Получим

3.10. Гомоморфизм между группами SU(2) и SO(3, R)

Так как матрицы из групп SO(3, R) и SU (2) представляют повороты в

трехмерном евклидовом аффинном пространстве, то между ними существует некоторое соответствие. Чтобы найти это соответствие, рассмотрим произвольную собственно ортогональную матрицу

78

из группы SO(3, R) и произвольную специальную унитарную матрицу

из группы SU (2). Обозначим через p радиус-вектор произвольной точки

P E3. Тогда радиус-вектор точки, в которую преобразуется точка P при повороте, заданном матрицей R, определяется следующим образом:

p = Rp.

Перепишем это равенство по координатам. Получим x = r11x +r12 y + r13z,

y = r21x + r22 y +r23z,

из линейного пространства H 3 может быть преобразована посредством специальной унитарной матрицы U следующим образом:

P =U PU.

Также перепишем это равенство по координатам, получим

Подстановка равенств (3.38) вравенство (3.39) дает следующее равенство:

(r11x + r12 y + r13z)σ1 +(r21x + r22 y + r23z)σ2 +(r31x + r32 y + r33z)σ3 =

= xU σ1U + yU σ2U + zU σ3U,

которое в свою очередь эквивалентно равенству

(r11σ1 + r21σ2 + r31σ3 )x +(r12σ1 + r22σ2 + r32σ3 ) y + (r13σ1 + r23σ2 + r33σ3)z =

= xU σ1U + yU σ2U + zU σ3U.

79