Представление функций в эвм.

Пусть , множествоАконечно и не очень велико, |A|=n.Наиболее общим представлением такой функции является массивarray[А]of B, где А- тип данных , значения которого представляют элементы множества В . Если среда программирования допускает массивы только с натуральными индексами , то элементы множества А нумеруются ( то есть) и функция представляется с помощью массиваarray[1…n] of B . Функция нескольких аргументов представляется многомерным массивом.

Отступление.

Представление функции с помощью массива является эффективным по времени, поскольку реализация массивов в большинстве случаев обеспечивает получение значения за постоянное время , не зависящее от размера массива и значения индекса.

Операции

Операцией называют функцию, все аргументы и значения которой принадлежат одному и тому же множеству. В общем случае n-местная функция типаφ:М×М×... ×М →М(иное обозначениеφ: Мⁿ → М) называетсяn-арнойоперацией на множествеМ. В таких случаях говорят, что множествоМ замкнуто относительно операцииφ (резуль­тат выполнения операцииφ наМпринадлежитМ).

В частности:

1. Функция одного аргумента φ(x) = у, имеющая типφ: М→ М,называетсяунарной операцией. Примеры унарных операций:

• элементаные функции е^х, log x, sin xи др.;

• операция над множествами - дополнение Ā;

• отображения типа А → А, такие как преобразования, перестановки;

• операции над отношениями: дополнение , обратное отношениеR‾¹, составное отношениеR² = R° R, транзитивноеR°и рефлексивноеR*замыкания и др.

2. Функция двух аргументов φ(x, у) = z, имеющая типφ: М × М → М,называется бинарной операцией. Примеры бинарных операций:

• арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень;

• операции над множествами: пересечение , объединение, разность \;

• операция композиции функций, отображений, отношений и др. Если над элементами a,b Mвыполняется операцияφ, дающая результатz M, то это записывается часто кака φ b = z.

Свойства бинарных операций:

1) φ - ассоциативна, если для любыха, b, сизМ

(аφb)φс=аφ(bφс)

(арифметические операции сложения и умножения, опера­ции пересечения и объединения множеств, композиция ото­бражений - ассоциативные операции).

Выполнение этого условия (свойства ассоциативности) означает, что скобки в выражении а φ b φ сможно не расставлять;

2) φ - коммутативна, если для любыха, b, с

a φb=b φ а

(арифметические операции сложения и умножения, опера­ции пересечения и объединения множеств - коммутативные операции; арифметические операции вычитания и деления, операция разности множеств, композиция перестановок и преобразований типа А  Аконечного множества - некоммутативны);

3) φ -дистрибутивна слеваотносительно операции ψ, если для любыха, b, с

a φ (b ψ c) = (а φ b) ψ (a φ с)

и φ дистрибутивна справаотносительно операции ψ, если для любыха, b, с

(а ψ b) φ c = (а φ с) ψ (b φ с)

(арифметические операции умножения и деления дистрибутивны относительно операций сложения и вычитания слева и справа, но не наоборот: операции сложения и вычитания недистрибутивны относительно операции умножения и деления; операции объединения и пересечения множеств ди­стрибутивны относительно друг друга слева и справа).