Реализация операций над подмножествами заданного универсума в эвм.

Пусть задан конечный универсум U.U={u₁,u₂, …,u_n}, число элементов в нём не превосходит разрядности компьютера. ПодмножествоAUпредставлено кодом, где с_i–i-тый разряд кода с.

Тогда код AB – поразрядное логическое произведение кодов А и В.

Код AB – поразрядная логическая сумма кода множества А и кода множества В.

Код - инверсия кода множества А.

Тема 2. Упорядоченные пары. Прямое произведение множеств. Отношения. Многоместные отношения. Композиция отношений. Степень отношений. Ядро отношения. Свойства отношений. Представление отношений в ЭВМ.

Упорядоченные пары. Декартово (прямое) произведение множеств. Отношения.

В предыдущем разделе операции над множествами давали множества той же природы. Например, если исходные множества были множествами чисел, то и полученные в результате операций множества были множествами чисел. В этом разделе мы определим операцию, с помощью которой меняется природа элементов получающихся множеств.

Определение 2.1.Упорядоченной парой (набор из 2 объектов) из элементовaиb(a,b), взятых именно в этом порядке, называется множество, состоящее из двух множеств, включающих элементa: {a},{a,b}.

(a,b)= {{a},{a,b}}

Таким образом, понятие упорядоченной пары не выводит рассмотрение за пределы теории множеств. Но тем не менее независимое определение упорядоченной пары технически удобнее. Исходя из приведенного определения, доказывается справедливость следующей леммы:

Лемма:упорядоченные пары (a,b) и (c,d) равны тогда и только тогда, когда выполняется условие: (a,b) = (c,d) | a = с & b = d

Обобщением понятия упорядоченной пары является упорядоченный n-набор или картеж. В отличии от конечного множества {a₁, …a_n} картеж (a₁, …a_n) на множествах А₁, … А_n, характеризуется не только входящими в него элементами, но и порядком в котором они перечисляются, как и для упорядоченных пар роль порядка в картеже фиксируется определением равенства картежей.

Определение 2.2. Множество всех картежей длиныnна множествах А₁, … А_nназывается декартовым.

Пусть А и В – два множества.

Определение 2.3.Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит множеству А, а второй множеству В.

Обозначают: АВ := {(а,b) | а А & bB}

Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя.

Соответственно: А¹:=A;А²:=AA;А³:=AA²; и вообще Аⁿ:=AA^n-1

Теорема: |АВ| = |А|  |В|

Доказательство:

Первый компонент упорядоченной пары можно выбрать |А|способами, второй -|В| способами (|А|- число элементов множестваА;|В|- число элементов множестваВ.)

Таким образом, всего имеется |А|·|В|упорядоченных пар.

Пример 2.1.:А= {1,2,3}, |A| = 3;B= {4,5}, |B| = 2;

|АВ| = |А|  |В|= 3·2 = 6;

|АВ|= |{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}| = 6;

Пусть А и В – два множества.

Определение 2.4.Бинарным отношениемRиз множества А в множество В называется подмножество прямого произведения:R  A  B.

Для бинарных отношений обычно используется инфиксная форма записи:

a R b: (a,b) R  A  B.

Если А=В, то говорят, чтоRесть отношение на множествеАи записываютRAА илиRA².