Диаграммы Венна.

Определение 1.2.Диаграммы Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множествоU, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматривать как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами.

Самого понятия множество недостаточно, следует определить способы конструирования новых множеств из уже имеющихся, т.е. задать операции над множествами.

Множество A содержится в множестве B (множество B включает множество A), если элемент множества A есть элемент множества B. AB:=xA=>xB. В этом случае A называют подмножеством B, а B – надмножеством A. Также возможен случай когда множество А включено в В и может полностью совпадать с ним (АВ).

Обычно рассматривают следующие операции над множествами:

1. Объединение AB := { x | xAxB}

2. Пересечение AB:= { x | xA & xB}

3. Разность A \ B := { x | xAxB}

4. Симметричная разность AB:=(AB) \ (AB)

5. Дополнение :={ x | x A }Операция Дополнение подразумевает некоторый универсумU: :=U\A

Свойства теоретико-множественных операций.

Пусть задан универсум U, тогда для любых множествA,B,C, являющихся подмножествомUвыполняются следующие свойства:

1) Идемпотентность:	A  A = A	A  A =A
2)Комутативность:	AB=BA	AB=BA.
3) Ассоциативность:	A(BC) = (AB)C	A(BC)=(AB)C.
4) Дистрибутивность:	A(BC)=(AB)(AC)	A(BC)=(AB)(AC).
5) Поглощение:	(AB)A=A	(AB)A=A.
6) Свойство нуля:	A =A	A=.
7)Свойство единицы:	AU=U	AU=A.
8)Инволютивность:
9)Законы де Моргана:	= 	= .
10)Свойства дополнения:	A=U	A=.
11)Свойство разности:	A\B=A

В справедливости этих свойств можно убедиться различными способами, например нарисовать диаграммы Эйлера для левой и правой частей равенства и убедиться, что они совпадают, или же привести формальное рассуждение для каждого равенства.

Представление множеств в эвм

Задать представлениекакого-либо объекта (в данном случае множества) – значит описать в терминах используемой системы программирования структуру данных, используемую для хранения информации о представляемом объекте, и алгоритмы над выбранными структурами данных, которые реализуют присущие данному объекту операции.

Применительно к множествам определение представления подразумевает описание способа хранения информации о принадлежности элементов множеству и описание алгоритмов для вычисления объединения, пересечения и других введенных операций. Выбор представления зависит от целого ряда факторов: особенностей представляемого объекта, состава и относительной частоты использования операций в конкретной задаче и т.д.

Деревья двоичного поиска– основная структура данных для представления множеств, чьи элементы упорядочены посредством некоторого отношения линейного порядка, которые, как правило, обозначают символом “<”. Эти структуры особенно полезны, когда исходное множество такое большое, что не рационально использовать его элементы непосредственно в качестве индексов массивов. Предполагается, что все элементы множеств являются элементами некоторого универсального множества – универсума, примером которого служит множество возможных идентификаторов в программе на языкеPascal. На деревьях двоичного поиска можно реализовать операторыINSERT,DELETE,MEMBER, иMIN, причём время их выполнения в среднем имеет порядок 0(logn) для множеств, состоящих изnэлементов. Дерево двоичного поиска – это двоичное дерево, узлы которого помечены элементами множеств, или, другими словами, узлы дерева содержат или хранят элементы множества.