Элементы графов. Подграфы. Валентность.

После рассмотрения определений, относящихся к графам как к цельным объектам, естественно дать определения различным составным элементам графов.

Определение 9.6. ГрафG'(V', Е')называетсяподграфомграфаG(V, Е)(обозначаетсяG'),еслиV' включено в Vи/илиЕ'включено в Е.

Определение 9.7. ЕслиV'=V,тоG'называетсяостовным подграфом G.

Определение 9.8. ЕслиV' включено в V и Е' включено в Е (причемV' не равноV иE' не равноE),то графG'называетсясобственным подграфом графаG.

Определение 9.9. ПодграфG'(V',Е')называетсяправильнымподграфом графаG(V,Е),еслиG'содержит все возможные ребраG. Правильный подграфG'(V, Е')графаG(V, Е)определяется подмножеством вершинV'.

Определение 9.10. Количество ребер, инцидентных вершинеv, называетсястепенью(иливалентностью вершиныv) и обозначаетсяd(v).

Причем 0d(v)1d(v) = |Г(v)|.

Обозначим минимальнуюстепень вершины графаGчерез(G),амаксимальную —через(G).

Определение 9.11. Если степени всех вершин равныk, то граф называетсярегулярнымстепениk:

Степень регулярности является инвариантом графа и обозначается r(G).Для нерегулярных графовr(G) не определено.

Пример: Ниже приведена диаграмма регулярного графа степени 3

Если степень вершины равна 0, то вершина называется изолированной.Если степень вершины равна 1, то вершина называетсяконцевой,иливисячей.

Для орграфа число дуг, исходящих из вершины v, называетсяполустепенъю исхода,а входящих –полустепенью захода.Обозначаются эти числа, соответственно,d^–(v) иd⁺(v).

Теорема Эйлера.

Теорема Эйлера: Сумма степеней вершин графа равна удвоенному количеству ребер: .

Для ориентированного графа: .

Доказательство: При подсчете суммы степеней вершин каждое ребро учитывается два раза для одного конца ребра и для другого.

Тема 10. Маршруты в графах. Цепи. Циклы. Расстояние между вершинами. Связность. Виды графов: тривиальные и полные графы, двудольные графы, орграфы и сети. Маршруты в графах. Цепи. Циклы.

Определение 10.1.Маршрут – чередующаяся последовательность вершин и ребер, в которой любые два соседних элемента инцидентны.

₁=v₀e₁v₁e₂v₂e₃…e_kv_k

Определение 10.2.Еслиv₀ =v_k, то маршрут называют цепью.

Определение 10.3.Если все вершины, а значит и ребра, различны, то маршрут называют простой цепью.

В этой цепи вершины v₀иv_k называют концами цепи. Говорят, что цепь с концамиu,vсоединяет вершиныu,v. Она обозначается <u,v>. Замкнутая цепь называется циклом. Замкнутая простая цепь называется простым циклом. Число циклов в графеGобозначаетсяz(G). Граф без циклов называют ацикличным. Для орграфов цепь называется путем, а цикл – контуром.

Пример:

v₁v₃v₁v₄– маршрут,

v₁v₃v₅v₂v₃v₄– цепь,

v₁v₄v₃v₂v₅– простая цепь,

v₁v₃v₅v₂v₃v₄v₁– цикл,

v₁v₃v₄v₁– простой цикл.

Длиной маршрута называется количество ребер (с повторениями).

Если маршрут =v₀e₁v₁e₂v₂e₃…e_kv_k, то длина маршрута равнаk, ||=k,k– число ребер.

Расстояние между вершинами.

Определение 10.4.Расстояние между вершинамиuиvобозначаетсяd(u,v), называется длина кратчайшей цепиu,v. А сама кратчайшая цепьd(u,v) =min|<u,v>| называется геодезической.

Если между вершинами u,vне существует цепи, то <u,v>d(u,v) = + ∞.

Пример:

d(v₁,v₂) = + ∞.

Диаметром графа GобозначаетсяD(G), называется длина длиннейшей геодезической, или наибольшей из кратчайших путей.

Множество вершин, находящихся на расстоянии nот вершиныv(т.е.D(v,n) = {uUd(u,v) =n}