Тема 8. Алгебраические операции над нечеткими множествами.

Определение 8.1. Алгебраическое произведение A и B обозначается A⋅B и определяется так:

.

Определение 8.2. Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:

Для операций выполняются свойства:

- коммутативность;

- ассоциативность;

- теоремы де Моргана.

Не выполняются:

- идемпотентность;

- дистрибутивность;

а также ,

Для примера докажем свойство: . Обозначим µ_A(x) через a, µ_B(x) через b. Тогда в левой части для каждого элемента х имеем: 1-ab, а в правой: (1-a)+(1-b)-(1-a)(1-b)=1 – a+1-b-1+a+b-ab=1-ab. Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. . Для левой части имеем: a(b+c-bc)=ab+ac-abc; для правой: ab+ac-(ab)(ac)=ab+ac+a²bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a≠a².

Замечание. При совместном использовании операций {∪, ∩,+,⋅} выполняются свойства:

А⋅(BC)=(A⋅B)(A⋅C);

А⋅(BC)=(A⋅B)(A⋅C);

А (BC)=(A⋅B)(A⋅C);

А⋅(BC)=(A⋅B)(A⋅C).

Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами. На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере, для целых α эта основа очевидна) определяется операция возведения в степень α нечеткого множества A, где α - положительное число. Нечеткое множество A^α определяется функцией принадлежности µ_A^α=µ^α_A(x). Частным случаем возведения в степень являются: CON(A)=A² - операция концентрирования, DIL(A)=A^0,5 - операция растяжения, которые используются при работе с лингвистическими неопределенностями.

Определение 8.3. Умножение на число. Если α - положительное число, такое, что , то нечеткое множество αA имеет функцию принадлежности: µ_αA(x) = αµ_A(x).

Выпуклая комбинация нечетких множеств.

Пусть A₁, A₂,.., A_n - нечеткие множества универсального множества E, а ω₁,ω₂,...,ω_n - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Определение 8.4. Выпуклой комбинацией A₁, A₂,.., A_n называется нечеткое множество A с функцией принадлежности: .

Декартово произведение нечетких множеств.

Определение 8.5. Пусть A₁, A₂, ..., A_n - нечеткие подмножества универсальных множеств E₁,E₂,...,E_n соответственно. Декартово произведение A=A₁×A₂ × ...×A_n является нечетким подмножеством множества E=E₁×E₂×...×E_n с функцией принадлежности: .

Определение 8.6. Оператор увеличения нечеткости используется для преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества. Пусть A - нечеткое множество, E - универсальное множество и для всех x∈E определены нечеткие множества K(х).

Определение 8.7. Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество A является нечеткое множество вида:

где µ_A(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество.

Пример:

E = {1,2,3,4};

A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;

K(1) = 1/1+0,4/2;

K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;

K(3) = 1/3+0,5/4;

K(4) = 1/4.

Тогда Ф(A,K) = µA(1) K(1) ∪µA(2)K(2) ∪µA(3)K(3) ∪µA(4)K(4) = 0,8(1/1+0,4/2) ∪ 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) = 0,8/1+0,6/2+0,24/3.

Определение 8.8. Четкое множество α-уровня (или уровня α). Множеством α-уровня нечеткого множества A универсального множества E называется четкое подмножество Aα универсального множества E, определяемое в виде: Aα ={x/µ A(x)≥α}, где α≤1. Пример:

A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4 , тогда A0.3 = {x3,x4}, A0.7 = {x4}. Достаточно очевидное свойство: если α1 ≥α2 , то Aα1≤ Aα2 .

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его множествам уровня в виде:

- произведение числа α на множество A, и α "пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества A. Пример:

A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо в виде:

A = 0,1(1,0,1,1) ∪ 0,7(0,0,1,1,) ∪ 1(0,0,0,1)= = (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4)∪ (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)∪ ∪(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4 .

Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций α1≤ α2≤ α3≤ ...≤ αn, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в виде:

, т.е. определяется совокупностью обычных множеств { A_α1, A_α2, ..., A_αi}, где A_α1 ≥A_α2≥ , ..., ≥A_αi.