F1(X) – нулевая функция.

f₁(x)=0

f₂(x) – тождественная функция.

f₂(x)=х

f₃(x) – отрицание

–

f₃(x) =х

f₄(x) – единица.

f₄(x)=1

Булевы функции двух переменных

Обозначение функции		х1	х2		Наименование
Наборы	00	01	10	11	f= x1x2
f1	0	0	0	1	запрет x2
f2	0	0	1	0	f= x1
f3	0	0	1	1	запрет x1
f4	0	1	0	0	тождественное x2
f5	0	1	1	0	сложение по модулю 2
f6	0	1	1	1	f= x1x2 (дизъюнкция)
f7	0	0	0	0	f=x1↓x2 (стрелка Пирса)
f8	1	0	0	1	f= x1~x2 (эквивалентность)
f9	1	0	1	0	f=
f10	1	0	1	1	f= x2→x1
f11	1	1	0	0	f=(инверсия)
f12	1	1	0	1	f= x1→x2
f13	1	1	1	0	f=x1|x2
f14	1	1	1	1	f=1

В связи с ростом таблицы истинности используют их представления в виде формул. Обычно формула записывается в виде суперпозиции функций из базисного набора, который называют базисом.

Формулы. Реализация функций формулами. Равносильные формулы. Принцип двойственности.

Пусть F = {f₁,f₂,…,f_2n} – множество булевых функций. Формулой надFназывается выражение вида:f[F] =f(t₁,t₂,…,t_n),fF,t_i– либо переменная, либо формула надF. МножествоF– базис, функцияf– главная (внешняя) функция (операция),t_i– подформулы. Обычно для элементарных булевых функций используют инфиксную форму записи. Устанавливают следующий приоритет:, &,,.отрицание или инверсия, & – конъюнкция,дизъюнкция,импликация. Всякой формулеFоднозначно соответствует функцияf. Это соответствие задается алгоритмом интерпретации, который позволяет вычислить значение формулы при заданных значениях переменных. Зная таблицы истинности для функций базиса, можно вычислить таблицы истинности той функции, которую реализует данная формула.

Пример.Задана формулаF₁:= (x₁&x₂)((x₁& )(&x₂)).

Таблица истинности:

x1	x2	x1 &	& x2	(x1 & )  ( & x2)	x1 & x2	F1
0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	1	1	0	1
1	0	1	0	1	0	1
1	1	0	0	0	1	1

Т.о. формула F₁реализует дизъюнкцию.

Одна функция может иметь множество реализаций над базисом. Формула, реализующая одну и ту же функцию, называется равносильной. Отношение равносильностей формул является эквивалентностью.

Имеют место следующие равносильности:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Принцип двойственности.Пустьf(x₁,…,x_n)P_n– булева функция. Тогдаf^*(x₁,…,x_n)(с чертой сверху) =f^*(x₁,…,x_n)называется двойственной функциейf.f^** =f.