Сборник_ТЗ

$

y 0; (5.1 $

r

0;

0; 0

.

z { * hd d i {

*'( $ $

ln 2

'(

'(

$ $ !

{ $

$ 1

{

0

.

{ · 4 2 Z од

: 0,0042:

0,022:

, де

- час у годинах.

6.

Визначити

об’єм випуску продукції за перші дві

11,5 :

(5.63)

’

години праці при продуктивності

Розв’язання. За формулою

знайдемо об єм

| : , :

TT3

: :

TT3 0,0042:

0,022: 11,5 :

| : , :

продукції,

виробленої за проміжок часу h: , : i:

0,0014:

0,011:

11,5: !:

: .

9

,

*

~ :

$ .

• :

: 4

7. Знайти об’єм виробленої підприємством продукції за 5

, € : : 2

12,,

• 2,’

‚ ,

ƒ

9

,

років,

якщо в функції

Кобба-Дугласа

*,),

Розв’язання.

Нагадаємо що об єм

продукції

яка вироблена за проміжок часу

,

обчислюється за

| : , :

На

| : , :

T

: :

формулою (5.63):

T

h: , : i

.

продуктивність

виробництва3

продукції

може

(5.64):

:

факторів, пов’язана з використанням функцій Кобба-Дугласа. В

такому випадку

функція

є добутком трьох множників

: *~„ : •… : €† : ,

~ : , • : , € : )

T

*, •, ‚, ƒ

Підставимо

і капіталу (відповідно),

- коефіцієнти.

|

0; 5 12

: 4 : 2 :

в формулу маємо

коефіцієнти

5

:

2

12

$

D $:

:

0

5: 2: 86 : + ,

2: 2 :1

T

5

)

T

D $:

12 $

*

$

:

2: 8 !

2: 2 :

, 2: 2

0

D $T :

)

‡ , 2 : ˆ 12 $ 25 10 8 8

T

D $T

5

)

T

)

*

$

8

$

)

2: 2 ! 2

: 12 7$

)

10 2

0

T

5

)

2$

2

$

. 2 2$

! 12 6 $

12 $)

4

0

8. За даними досліджень про розподіл доходів в однієї з

‰ h0; 1i

Š

d

, де

країн крива Лоренца може бути описана рівнянням

. Обчислити коефіцієнт Джині .

)

w~‹

•Ž••

.

w~Œ

Розв’язання.

Коефіцієнт Джині

Š

дорівнює відношенню

площі фігури

і площі трикутника

(5.65):

дорівнює

∆Ž•’

g

· 1 · 1 0,5 од

Площа трикутника ∆“”•

Š

•

.

g“”–

hd

w~‹

i

*

)

d

а площу фігури

знайдемо за формулою (5.57):

*

)

)

* ) ) )

)

8

) ln 6

) ) ln|6 5 | !0

) ) ln 1

8

1

8

8

Отже,

* ) ln 6 ˜ 0,1901 од

8

Š *,

*,)2*

.

0,3801.

коефіцієнт Джині дорівнює

9. Знайти виграші постачальників та користувачів (при

мають відповідно вигляд:

™ 380

,

™ 18 20

*, ™*

Розв’язання. Знайдемо точку ринкової рівноваги

з розв’язання системи рівнянь

380 18 20;

™ 380

;

18 360 0;

e™ 18 20

12

не має сенсу.

P * 12;,

š

30

,

™* 380 12

380 144 236

Отже

точка

ринкової

рівноваги

а

* · ™*

12 · 236 2832

(5.66):

добутку

*

.

12

12 · 236 380

Π*

380

.

! 0 2832

Знайдемо виграш користувачів

4560 576 2832 1152 грош. од.

20

12

¤ 12 · 236

*

!

18 20 2832 .9

Знайдемо виграш постачальників

(5.67):

0

2832 1296 240 1296 грош. од.

Завдання 11.1.

1.

Обчислити визначні інтеграли:

*

9 )

) 7 cos √

а)

√

9

;

б)

)

7

;

*

* 1 cos

в)

7

;

г)

a

.

2.

Обчислити невласні інтеграли (або довести їх розбіжність):

4.

а)

*Q

$

√ ;

б)

*

ln .

d 2

і

9 8√ .

d

5.

прямою

~

,

’2

.

,

w0,0

кривої

між

точками

Обчислити

довжину дуги

6.

d , d 4’

w

обмеженої лініями

Обчислити об єм тіла обертання фігури

навколо осі .

:

годинах.

: 32,47$

*, )T

, де

-

час у

праці при продуктивності

Визначити об єм випуску продукції за перші чотири години

7.

9

об’єм

,

~ : $

•. :

Знайти

виробленої

підприємством

продукції

за 5

8.

: 1

, €:

3: 2

5, • 4, ‚ , ƒ

років,

якщо в функції Кобба-Дугласа

*, )T,

За даними досліджень про розподіл*

доходів в однієї з країн

‰ h0; 1i

Š

, де

крива Лоренца може бути описана рівнянням

. Обчислити коефіцієнт Джині

.

d ) 9

Завдання 11.2.

1.

Обчислити визначні інтеграли:

9 )

)

4 sin √ 2

а)

*

√

?r

;

б)

*

7 ;

'(

* 1 sin 3

в)

'( 9

7

;

г)

a

.

2.

Обчислити невласні інтеграли (або довести їх розбіжність):

*

*¦

'(

а)

Q

;

б)

3

7

.

4.

d 6

абсцисами Z

Z.

d ln sin

прямою

.

Обчислити довжину дуги кривої

між точками з

6.

d , d

√’

w

5.

об єм тіла обертання фігури обмеженої лініями

Обчислити

o’

o

,

)

навколо осі .

0,0042: 0,035:

, де

- час у годинах.

:

7.

Визначити об єм випуску продукції за перші чотири години

27,4

:

’

продуктивності

7

праці

при

•.:

Знайти

9,

~ : $

8.

2: 3

, € :

: 4

2, • 2, ‚

, ƒ

років,

якщо в функції

Кобба-Дугласа

*,)

,

За даними досліджень про розподіл*

доходів в однієї з країн

‰ h0; 1i

Š

, де

крива Лоренца може бути описана рівнянням

. Обчислити коефіцієнт Джині .

d )

Завдання 11.3.

1.

Обчислити визначні інтеграли:

a

а) § ) UVR2 ;

;

б)

* cos

9√ √

* ln 3 1

в)

8

7

;

г)

.

2.

Обчислити невласні інтеграли (або довести їх розбіжність):

3

7

* ¨

а)

Q

;

б)

.

t

√

d √ , d

3.

і прямою

.

,

Обчислити площу фігури

абсцисами

.

d ln

між точками з

Обчислити довжину дуги кривої

6.

d , d 3’ 4

w

обмеженої лініями

5.

об єм тіла обертання фігури

Обчислити2 o’ o 3

,

навколо осі .

©

:

годинах.

: 54,23$

Визначити об єм випуску продукції за перші шість годин

праці

при

продуктивності

^

, де

-

час

у

7.

,

~ : $

•:.

Знайти об’єм виробленої підприємством продукції за

4 роки,

8.

3: 5 , €: : 6

7, • 2, ‚ , ƒ

якщо

в

функції

Кобба-Дугласа

*,)T,

За даними досліджень про розподіл*

доходів в однієї з країн

‰ h0; 1i

Š

d

,

де

крива Лоренца може бути описана рівнянням

. Обчислити коефіцієнт Джині .

9

7

.

тричлін.

Інтеграли вигляду

ª

або

квадратний

7

√ ª

Завдання 11.4.

1.

Обчислити визначні інтеграли:

9

√

RS( $

а)

UVR

;

б)

7

;

*

log

в)

a

7

;

г)

.

2.

Обчислити невласні інтеграли (або довести їх розбіжність):

*

$

а)

Q

;

б)

*

7

.

4.

4

d 4

точками з абсцисами

.

Z.

d 4 ln cos

і прямою

d

Обчислити

довжину

дуги

кривої

між

6.

d , d 2’

3

w

5.

обертання фігури обмеженої лініями

Обчислити об’єм тіла0 o o

,

, де

навколо осі .

- час у

: .

0,0031: 0,028:

7.

Визначити об єм випуску продукції за перші три години

0,17: 35.’48

:

10

праці

при

продуктивності

9

годинах

~ : $

•.

:

Знайти

,

8.

: 2

, € :

2: 3

2, • 4, ‚ 9

, ƒ

років,

якщо в функції Кобба-Дугласа

*, )T

,

За даними досліджень про розподіл*

доходів в однієї з країн

‰ h0; 1i

Š

d

,

де

крива Лоренца може бути описана рівнянням

. Обчислити коефіцієнт Джині .

8 §

” – 7 .

Інтеграли вигляду

ª

квадратний тричлін.

”–7

або

√ ª

Завдання 11.5.

1.

Обчислити визначні інтеграли:

)

а)

9

;

б)

7

;

?

√'(

* 2 sin 3

в)

?

'(

;

г)

a

.

2.

Обчислити невласні інтеграли (або довести їх розбіжність):

4.

а)

*Q arctg ;

б)

*

√27

.

3 2

площу

фігури обмеженої

параболою

3.

Обчислити

і віссю абсцис.

,

r

r

Обчислити довжину дуги кривої

між точками з

6.

абсцисами

.

d $

$

d 4, d’ 0

w

Обчислити 2’o o 2

,