Сборник_ТЗ
.pdf
|
|
|
|
Завдання 9.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Обчислити границі функцій: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
√ √ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) lim |
|
; |
б) lim |
|
|
|
; |
||||||
|
√ √ |
|
y1 |
|||||||||||
|
в) lim: X5 · z{| VY |
г) lim }.785/^. |
||||||||||||
2. |
Дослідити функції на монотонність та екстремуми: |
|||||||||||||
|
а) D 55 1052 < 13; |
б) D |
|
S |
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
2 |
V |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||
3.Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки
перегину:
D 5 552 < 35 5; б) D 5 · ~|5.
4. |
Знайти асимптоти функції: |
! |
|
|
а) D |
52S |
|
|
|
б) D . |
|
5. |
Провести повне дослідження функції та побудувати графік: |
||
|
а) D 5 55; |
б) D < 452. |
|
6.Знайти найбільше та найменше значення функції на інтервалі •1; 5€. D 13 5 52 52 < 65
7.Визначити оптимальне для виробника значення випуску 5
за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною q 30 за одиницю товару і відома функція витрат r.5/ 8 < 35 < 5 .
8.На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 6 < 45 < 52. Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на рівні q 22. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?
9.Теоретичне питання. Теорема Ферма. Геометрична інтерпретація теореми Ферма.
311
|
|
|
|
Завдання 9.2. |
|
|
|
|
|
|
1. |
Обчислити границі функцій: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
@A ,- |
|
|
|
|
|
|||
|
а) lim |
|
; |
|
б) lim |
|
|
|
; |
|
|
@A |
@A |
||||||||
|
в) lim: 5 X= |
|
1Y |
г) lim 5-01. |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
2. |
Дослідити функції на монотонність та екстремуми: |
|||||||||
|
а) D 252 < 45 < 1; |
б) D |
|
|
|
|
||||
|
52 . |
|
|
|
||||||
3.Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки перегину:
.
4. Знайти асимптоти функції: |
|
|
|
|
а) D |
S52 |
б) D 3 ln |
4. |
|
|
|
|||
5. Провести повне дослідження функції та побудувати графік:
а) D 5 65 < 95; б) D 5 ln.5 < 1/.
6. Знайти найбільше та найменше значення функції
D 5 35
на інтервалі • 1; 4€.
7.Визначити максимальний прибуток, який може отримати
фірма-виробник, за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною q 10,5 за одиницю товару і відома функція витрат r.5/ 10 < < .
8.На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 8 < 35 < 252. Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на рівні q 19. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?
9.Теоретичне питання. Теорема Ролля. Геометрична інтерпретація теореми Ролля.
312
|
|
|
Завдання 9.3. |
|
|||
1. |
Обчислити границі функцій: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
б) lim X6785 |
|||
|
а) lim -01 ; |
Y; |
|||||
|
в) lim: g5 · = |
|
h |
г) lim 5 |
|
. |
|
|
‚ƒ.B % / |
|
|||||
2. |
Дослідити функції на монотонність та екстремуми: |
|
|||||
|
а) D 55V 65 ; |
б) D . |
|
||||
3.Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки перегину:
5 252 < 35 < 7; б) D ln.1 < 5 /.
4. Знайти асимптоти функції: |
|
|
а) D |
52 |
б) D .5 7/= . |
|
||
5. Провести повне дослідження функції та побудувати графік:
а) D 5 < 35 185; б) D 5 · = .
6. Знайти найбільше та найменше значення функції
1
D g5h
на інтервалі • 2; 3€.
7.Дохід від виробництва продукції з використанням 5 одиниць ресурсів дорівнює s.5/ 60√5. Вартість одиниці ресурсів складає 5 умовних одиниць. Яку кількість ресурсів треба придбати, щоб прибуток був найбільшим?
8.На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 75 < 95 < 352. Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на рівні q 57. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?
9.Теоретичне питання. Теорема Лагранжа. Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа.
313
|
|
|
|
|
Завдання 9.4. |
|
|
|||||||
1. |
Обчислити границі функцій: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
,- |
|
|
|||||||||
|
а) lim „ |
,- ; |
б) lim |
|
; |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
в) lim:.5 · = / |
г) lim X Y . |
||||||||||||
2. |
Дослідити функції на монотонність та екстремуми: |
|||||||||||||
|
а) D 652 25 ; |
б) D |
S |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
@A |
|
|
|||||||||||
3. |
Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки |
|||||||||||||
|
перегину: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) D 5 352 < 2; |
б) D |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
Знайти асимптоти функції: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
52S |
|
|
|
|||||||||
|
а) D |
|
|
|
б) D 6 ln |
|
|
|
3. |
|
||||
|
|
|
||||||||||||
5. |
Провести повне дослідження функції та побудувати графік: |
|||||||||||||
|
а) D 5 95 < 185; |
б) D |
|
. |
|
|
||||||||
6. |
|
|
|
|||||||||||
Знайти найбільше та найменше значення функції |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
D 5 · ln 5 |
|
|
|||||||
|
на інтервалі |
; 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7.При виробництві монополією 5 одиниць товару, ціна за одиницю q.5/ 6 . Визначити оптимальне для монополії значення випуску 5 за умови, що весь товар реалізується,
якщо відома функція витрат r.5/ 10 < 5 < .
8.На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 16 < 55 < 52. Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на рівні q 23. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?
9.Теоретичне питання. Теорема Коші. Геометрична інтерпретація теореми Коші.
314
|
|
|
|
|
Завдання 9.5. |
|
|
|
|
|||||
1. |
Обчислити границі функцій: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
а) lim |
|
; |
б) lim |
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
||||||||||||
|
в) lim .5 · ~|5/ |
г) lim .= < 5/ |
|
. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
2. |
Дослідити функції на монотонність та екстремуми: |
|||||||||||||
|
а) D 5 52 < 65; |
б) D @A . |
|
|
|
|
||||||||
3. |
Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки |
|||||||||||||
|
перегину: |
|
б) D 5 < \]6785. |
|||||||||||
|
а) D 5 |
652 < 95 15; |
||||||||||||
4. |
Знайти асимптоти функції: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) D |
52 |
|
|
б) D 5= . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
Провести повне дослідження функції та побудувати графік: |
|||||||||||||
|
а) D 5 35 < 25; |
б) D |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6.Знайти найбільше та найменше значення функції на інтервалі • 1; 1€. D 25 652 < 3
7.Визначити оптимальне для виробника значення випуску 5
за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною q 14 за одиницю товару і відома функція витрат r.5/ 13 < 25 < 5 .
8.На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 64 < 25 < 452. Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на рівні q 58. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?
9.Теоретичне питання. Теорема Лопіталя. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя.
315
|
|
|
|
|
|
Завдання 9.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Обчислити границі функцій: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
-01 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) lim |
|
; |
б) lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
||||||||||||||
|
в) lim .5 · ~| 5/ |
г) lim: X1 < |
|
Y . |
||||||||||||
|
5 |
|||||||||||||||
2. |
Дослідити функції на монотонність та екстремуми: |
|||||||||||||||
|
|
D 5 |
|
35 |
95 < 5 |
|
D ln.25 5 |
/. |
|
|||||||
|
а) |
|
|
|
2 |
; |
б) |
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки |
|||||||||||||||
|
перегину: |
|
|
б) D .5 5/= . |
||||||||||||
|
а) |
D 5 252 8; |
||||||||||||||
4. |
Знайти асимптоти функції: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) D |
52 |
|
|
2. |
|
||||||||||
|
|
|
|
б) D 5 ln |
|
|||||||||||
5. |
Провести повне дослідження функції та побудувати графік: |
|||||||||||||||
6. |
а) D 5 35 ; |
б) D 5 < @A . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Знайти найбільше та найменше значення функції |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
5 < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на інтервалі • 1; 1€. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.Визначити максимальний прибуток, який може отримати
фірма-виробник, за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною q 6,5 за одиницю товару і відома функція витрат r.5/ 8 < < 9 .
8.На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 36 < 155 < 452. Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на рівні q 55. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?
9.Теоретичне питання. Ознаки монотонності функції.
316
|
|
|
Завдання 9.7. |
|
||||
1. |
Обчислити границі функцій: |
|
|
|||||
|
„ |
|
||||||
|
а) lim 9 ; |
б) lim: |
|
|
5 ; |
|||
|
|
|||||||
|
в) lim: 5 X1 = |
|
Y |
г) lim 5 |
|
. |
|
|
|
|
% |
|
|||||
2. |
Дослідити функції на монотонність та екстремуми: |
|||||||
|
а) D V 5V 5 ; |
б) D 5 · ln 5. |
|
|||||
3.Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки
перегину:
а) D 55 35 ; б) D X Y .
4. |
Знайти асимптоти функції: |
|
|
|
|||
|
|
!c |
|||||
|
а) D |
952S |
|
б) D |
|||
|
|
|
|
. |
|||
5. |
Провести повне дослідження функції та побудувати графік: |
||||||
6. |
а) D 5 25 3; |
|
б) D |
5 · = . |
|||
Знайти найбільше та найменше значення функції |
|||||||
|
|
|
|
D |
5 |
|
|
|
на інтервалі • 1; 1€. |
5 5 < 1 |
|
|
|||
7. |
Дохід від виробництва продукції з використанням 5 одиниць |
||||||
|
ресурсів |
дорівнює |
s.5/ |
25 < 25. |
Вартість одиниці |
||
ресурсів складає 54 умовних одиниць. Яку кількість ресурсів треба придбати, щоб прибуток був найбільшим?
8.На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 25 < 85 < 52. Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на рівні q 12. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?
9.Теоретичне питання. Екстремуми функції.
317
|
|
|
Завдання 9.8. |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Обчислити границі функцій: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
V |
|
|
|
|
||||
|
а) lim 9 ; |
|
б) lim |
|
|
|
|
; |
||
|
|
-01 |
|
|||||||
|
в) |
lim: X5 · z{| |
|
г) |
lim .2 |
5/ |
} . |
|||
|
|
Y |
|
|
|
|
||||
2. |
Дослідити функції на монотонність та екстремуми: |
|||||||||
|
а) D 5 352 < 3; |
б) D 5 · ~| 5. |
|
|
|
|||||
3.Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки перегину:
5 52 < 85 3; б) D .5 3/= .
4. |
Знайти асимптоти функції: |
|
|
|||||
|
|
|
52 |
|
||||
|
а) D |
|
б) D 4 ln |
|
1. |
|||
|
|
|||||||
5. |
Провести повне дослідження функції та побудувати графік: |
|||||||
6. |
а) D 25 5 < 1; |
б) D = |
|
. |
||||
|
||||||||
Знайти найбільше та найменше значення функції |
||||||||
|
|
|
D ln.5 25 < 4/ |
|||||
|
на інтервалі 1; . |
|
|
|
|
|
||
7. |
При виробництві монополією 5 одиниць товару, ціна за |
|||||||
|
одиницю q.5/ 15 < 9 √5. |
Визначити оптимальне для |
||||||
|
монополії значення випуску 5 за умови, що весь товар |
|||||||
|
реалізується, якщо відома функція витрат r.5/ 6 < 105 < |
|||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні |
||||||||
|
витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 36 < |
|||||||
|
95 < 52. Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на |
|||||||
|
рівні |
q 27. На скільки одиниць товару фірмі потрібно |
||||||
|
збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться |
|||||||
|
середні витрати? |
|
|
|
|
|
||
9. |
Теоретичне питання. Схема дослідження функції на |
|||||||
|
монотонність і екстремуми. |
|
|
|
|
|
||
318
|
|
|
|
|
|
Завдання 9.9. |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Обчислити границі функцій: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) lim |
52 |
; |
б) lim |
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
-01 |
|||||||||
|
|
,- |
|
|
|
|
|||||||
|
в) lim: X8 |
|
1Y · 5 |
г) lim 5 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
Дослідити функції на монотонність та екстремуми: |
|
|||||||||||
|
а) D |
|
|
|
|
|
б) D |
52 |
|
|
|
|
|
|
5 105; |
. |
|
|
|
||||||||
3. |
Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки |
||||||||||||
|
перегину: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
а) D 5 52 < 7; |
б) D 5 · = |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
4. |
Знайти асимптоти функції: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
а) D |
52 |
|
|
7. |
|
|||||||
|
S |
б) D 2 ln |
|
||||||||||
5. |
Провести повне дослідження функції та побудувати графік: |
||||||||||||
|
а) D 5 35 125; |
б) D |
|
< 52. |
|
|
|||||||
6. |
|
|
|
||||||||||
Знайти найбільше та найменше значення функції |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
D 25 3952 |
< 2525 < 1 |
|
|
|
|
||
|
на інтервалі •5; 8€. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.Визначити оптимальне для виробника значення випуску 5
за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною q 8 за одиницю товару і відома функція витрат r.5/ 10 < 5 < 5√5.
8.На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 36 < 75 < 952. Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на рівні q 97. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?
9.Теоретичне питання. Найбільше і найменше значення функції в інтервалі.
319
|
|
|
Завдання 9.10. |
|
|
|
|||||
1. |
Обчислити границі функцій: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
% |
|
|
|
|
|
||||
|
а) lim |
-01 |
; |
б) lim } |
|
|
|
|
|
; |
|
|
,- |
|
|||||||||
|
в) lim .1 6…z5/6785 |
г) lim Xln Y . |
|
|
|||||||
2. |
Дослідити функції на монотонність та екстремуми: |
||||||||||
|
а) D 5 52 |
25 < 5; |
б) D |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.Дослідити функцію на опуклість, угнутість та точки перегину:
5 < 52 < 3; б) D 5 ln .
4. Знайти асимптоти функції:
а) D |
52V |
б) D |
!c |
|
. |
5. Провести повне дослідження функції та побудувати графік:
а) D 45 55 ; б) D X Y .
6. Знайти найбільше та найменше значення функції
на інтервалі •1; =€.
D 25 3 · ln 5
7.Визначити максимальний прибуток, який може отримати
фірма-виробник, за умови, що весь товар реалізується за фіксованою ціною q 35 за одиницю товару і відома функція витрат r.5/ 14 < 115 < 25 .
8.На початковому етапі виробництва фірма мінімізує середні витрати, при цьому функція витрат має вигляд r.5/ 48 < 65 < 352. Подалі ціна на одиницю товару встановлюється на рівні q 48. На скільки одиниць товару фірмі потрібно збільшити виробництво? На скільки при цьому збільшаться середні витрати?
9.Теоретичне питання. Опуклість та угнутість функції. Точки перегину функції.
320