Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Сборник_ТЗ

.pdf
Скачиваний:
123
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
3.18 Mб
Скачать

Знайти похідну

функції за допомогою метода

логарифмічного диференціювання:

 

 

15.

 

YZ[ .

 

,

тому для її

Розв’язання. Функція степенево показникова

 

2WX 3

 

-

 

диференціювання треба або скористатися формулою (4.25), або прологарифмувати функцію та продиференціювати отриманий вираз. Ми вважаємо, що нема необхідності запам’ятовувати формулу (4.25), набагато легше кожного разу повторювати необхідну процедуру.

 

Логарифмуємо функцію:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

За

 

 

 

 

YZ[ .

 

логарифмів,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

властивістю

 

показник

 

степені

 

ln ln2WX 3

 

 

 

 

ln \]^ · ln2WX 3

 

 

 

 

 

 

(

 

 

,

 

підлогарифмічного виразу

коефіцієнт перед логарифмом:

 

 

 

 

 

 

 

:

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пам ятаємо

 

що

 

Ліворуч обчислимо похідну логарифма

 

 

 

функція , тобто складна функція), а праворуч обчислимо

похідну добутку

 

 

 

 

 

 

 

g ·

 

 

 

 

 

 

 

_

ab\ · ln2WX 3 \]^ · cd · efY

 

 

 

 

 

 

 

_

 

`

 

 

2

 

3

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

efY

 

 

;

 

 

 

 

 

ab\ · ln WX

 

\]^ · YZ[ · efY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3YZ[

 

 

 

2

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

WX

 

ab\ · ln WX

 

efY

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin √ #

 

 

 

 

-

 

 

 

 

.

 

 

 

 

16.

H .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання.

Функція степенево показникова

 

Для

її

диференціювання скористаємося алгоритмом, який згадали при

розв’язанні приклада15:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln ln arcsin √ #H ;

67 @A<9:7 √ .

 

Праваln

 

 

 

 

 

частинаln arcsin

набуває

вигляду

частики тому за

 

 

 

 

 

 

,

формулою (4.9) маємо:

 

 

 

 

_

 

 

 

 

 

 

 

MNORUG √H·√VH· √H· 67 @A<9:7 √ ·

 

_ 5

 

 

 

 

231

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

√ ·@A<9:7 √ ·67 @A<9:7

√ #

 

`

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

h ·

 

 

 

√ ·@A<9:7 √ ·67 @A<9:7 √

 

 

 

;

5 arcsin √ #

H

·

√ ·@A<9:7

√ ·67 @A<9:7 √ .

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

 

 

2 5 3J

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2 5 3 ·2 83

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Функція представлена у вигляді частки,

знаменник дробі –

у вигляді добутку.

Отже диференціювання

такої функції за формулами (4.6), (4.9) нераціонально. Відомо, що для диференціювання функції, яка містить більш, ніж два множника, використовують метод логарифмічного

диференціювання. Продиференюємо функцію, скористаємося властивостями логарифмів, а потім знайдемо похідну:

 

 

 

ln ln

 

 

2 5 3J

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5 3

·2 83

 

 

 

 

 

 

 

ln2 83 ;

 

 

 

 

 

ln ln23 23+ ln2 53

3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 6 ln23 23

1 ln2 53 4 ln2 8

 

 

 

 

 

__

 

`5 1

· 5 8g · ;

 

 

3

 

j.

 

 

 

 

 

 

 

2 5 3J

 

i

 

+

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5 3

·2 83

 

5

 

5

 

8

 

 

 

 

 

 

За бажанням, даний вираз можна спростити:

 

 

 

 

2 5 3J

 

·

2 5 32 83 2 5 32 83 82 5 32 5 3

 

 

 

 

 

·2 83

 

 

 

 

 

 

 

12 5

32

5

32

83

 

 

 

2 5 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5 3

5 + 5 #.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 5 3

 

 

·2 83

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K 5 ctg 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Функція представлена у вигляді добутку. Але при диференціюванні першого множника вже виникають проблеми, а саме: по-перше, знаходиться похідна від степеневої функції, по-друге, підкорений вираз – дріб, тому необхідно його диференціювати за формулою похідна від частки… Цієї проблеми можна уникнути, якщо, як у попередньому прикладі, скористатися методом логарифмічного диференціювання.

232

ln ln lK5 ctg 5 m;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln ln l253 · ctg 5 m;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

ln2ctg 5 3 ;

 

 

ln ln2 13

ln2 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

3

 

ln ln2 13 ln2 13 3 ln2ctg

 

;

 

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· 5g ·

;

_

 

`

· 5

· 3 ·

<BC

· 9:7

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

K ctg 5 n 2 3253

OQR H

 

o

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

RUG H·9:7

 

 

 

 

 

 

 

 

p .

 

 

 

 

 

 

 

 

K ctg

5 i 2 3

9:7 pj

 

 

 

 

 

 

 

Знайти похідну неявно заданої функції:

 

 

 

 

 

 

 

19.

cos sin 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Алгоритм диференціювання неявно заданий функцій приведено на стор. 153 Посібника. Нагадаємо, що при

 

 

 

.

 

 

 

ятати, що

 

диференціюванні таких функцій ми зобов’язані пам’

 

є функцією , тому диференціювати її потрібно за

правилами

 

 

 

диференціювання складних функцій

Наша функція складається

з двох

 

доданків, кожний

з яких

має вигляд

добутку,

у

cos2 sin 3

1 · sin cos · 0

 

:

відповідності з вже відомими правилами маємо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

2cos cos 3: sin sin

 

 

 

 

Розв яжемо лінійне рівняння відносно шуканої похідної

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточно маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

9:7 _5_ 9:7 .

 

 

 

 

 

 

 

 

<=9 <=9 _

 

 

 

 

 

 

 

20. arctg ln2 3.

_

Розв’язання. Продиференціюємо неявно задану функцію аналогічно попередньому прикладу:

233

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5_ #

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 H

 

 

 

 

 

 

 

 

5_

 

 

 

 

 

 

· _

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

·_ ·_

5 _·_

 

 

 

 

 

 

_

 

·

 

.

 

 

 

 

5_

 

_

 

 

· 5_

 

 

 

 

 

Виконаємо необхідні перетворення:

 

 

 

 

_ _

 

 

5__

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5_

5_

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

остаточно маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

21.

r

4W 15.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

`

 

 

(4.26),

 

 

 

 

 

 

 

 

язання.

За формулою

для того щоб знайти

Розв’

2W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

похідну

 

функції, заданої параметрично,

спочатку необхідно

 

 

 

4;

 

 

 

 

6W

 

 

W.

 

 

знайти похідні

та

за параметром.

 

 

 

Заc

формулою c(4.26) маємо:

 

 

 

 

 

 

 

_tt

 

 

+c

c.

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

r

22cos W W sin W3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

`

 

 

 

 

Розв’

22sin W W cosW3

 

 

 

 

(4.26):

 

c

22 sin W sin W W cos W3 2W cos; W;

 

c

 

 

язання. Скористаємося формулою

 

 

22cosW

cos W W sin W3 2W sin W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_tt

 

cc<=99:7 cc tg W.

 

 

 

 

 

234

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 7.1.

 

 

 

 

 

 

 

Знайти похідні:

 

 

18

 

 

25 1 13 3 · ubX

 

 

 

 

 

 

3 +

 

 

 

1.

 

 

1 √

 

 

1

 

 

;

2.

 

efY ;

 

 

 

;

3.

 

2

\]^5 4WX3

;

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51

 

 

 

 

5.

 

2vfd cd;

 

 

 

 

 

6.

\]^14 ;

 

 

 

 

7.

ab\9 p;

 

 

 

 

 

 

8.

J WX 7 18;

 

 

 

 

22 8 143 · aWX 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

5

 

 

· ab\√

 

 

;

 

10.

 

wxeYZ[ ;

3

· I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

v[ ecd

;

 

 

 

12.

ubX 2\]^5

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

5

;

 

 

 

 

14.

 

wxecd 2LH 3.

 

 

 

 

 

 

v[2efY1 3

 

 

 

 

 

 

 

2 v[ 5 3

 

 

 

 

Знайти похідну функції за допомогою метода логарифмічного диференціювання:

15.

2ab\9 3vfd ;

16.

2WX7 3LH 5;

 

 

 

P

 

5

 

17.

 

213y· 253 ;

18.

.

 

2 3

 

K ubX 2\]^3 3

Знайти похідну неявно заданої функції:

 

 

19. aWX 5 3 ;

20. u^25 3 3 _ _ 0

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

 

21.

3W 8 ;

22.

2W 93ab\3W.

 

r 6W W `

 

r 2W 93\]^3W

`

23. Теоретичне питання. Поняття похідної як швидкості зміни функції.

235

 

 

 

 

 

 

Завдання 7.2.

 

 

 

 

Знайти похідні:

 

2 3

 

 

22 5 3 · 3

 

 

4√

 

 

 

 

1.

 

 

 

+ 5 √

 

 

 

;

2.

 

 

YZ[ 5 ;

;

3.

7aWX4 I+ u^3

;

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

58

 

5.

ubX1

2ab\ 3;

 

 

 

 

6.

z{a\]^85 ;

 

7.

WX6 ;

 

 

 

 

 

8.

IYZ[+ 12 ;

 

 

22 6 3 · ab\ 7

 

 

 

 

 

 

J1

 

9.

 

 

 

 

 

 

;

 

 

10.

 

wxeecdJ;

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

ab\7 + · WX √ #;

11. 8 Kvfd · aWX 6 ;

 

 

 

12.

13.

 

1 ;

 

 

 

 

14.

 

wxeefY 2 H 3.

 

 

 

v[2YZ[ 3

 

 

 

 

 

 

2 v[1 3

 

Знайти похідну функції за допомогою метода логарифмічного диференціювання:

15.

2\]^8 3efY;

16.

2z{aaWX2 3v[P1;

17.

 

25+3P· 253 ;

18.

 

.

 

 

2 13

 

K5 WX2I

53

Знайти похідну неявно заданої функції:

· \]^ 2 WX 0

19.

8 ;

 

20.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

 

21.

W

1;

22.

Ic\]^4W.

 

 

r 6W

`

 

r Icab\4W`

 

23.

Теоретичне питання. Визначення похідної.

 

236

 

 

 

 

 

Завдання 7.3.

 

 

 

 

Знайти похідні:

 

 

 

 

 

 

24 5 3 · \]^ ;

1.

J

5

9

 

 

;

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cd 51 ;

 

3.

2z{aab\5 4ubX 9

; 4.

 

 

 

 

 

1 5

 

5.

IwxeefY;

 

 

 

 

 

6.

ab\ 9 ;

 

7.

aWX8

;

 

 

 

 

 

8.

5v[213 8

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

24 213 · \]^+2

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

 

 

;

 

 

10.

 

1wxecdy2 3;

 

11. 4efY 2 13 · \]^ ;

 

 

 

 

12. WX2z{a\]^2 32;

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wxeYZ[ 2 H 3.

 

13.

 

5 ;

 

 

 

 

14.

 

 

 

 

v[2cd 3

 

 

 

 

 

 

 

2 efY 3

 

Знайти похідну функції за допомогою метода логарифмічного диференціювання:

15.

2WX5 3wxeYZ[;

16.

2\]^2 3v[ 2 5 3;

17.

 

2 3J

 

;

18.

 

 

58

\]^2

.

 

2 3

J

 

 

K

8

3 3

 

 

· 253

 

 

 

 

 

 

 

Знайти похідну неявно заданої функції:

ab\ 4\]^3 .

19.

\]^22 3 2 · ab\ ;

20.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

 

 

21.

7ab\W;

 

 

22.

z{a\]^W .

 

23.

r 9\]^W`

 

питання.

 

r W · √1 W `

 

Теоретичне

 

Техніка

диференціювання

елементарних функцій.

237

Завдання 7.4.

Знайти похідні:

 

12 4√

 

 

 

 

 

24

 

5

3

· ab\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

√ 5;

2.

 

 

8

 

 

 

;

 

3.

4ab\7 2ubX12 Icd

;

4.

 

+ecd

;

 

 

 

 

 

 

 

5P

 

 

 

 

5.

ubX+2I

3 3;

 

 

 

 

6.

WX 7 ;

 

 

 

 

 

7.

z{a\]^5 ;

 

 

 

 

 

 

 

8.

Pab\ 9 7 ;

 

 

 

23 7 3 · aWX 7

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

9.

 

3cd

1 #

 

 

 

 

 

;

 

10.

1YZ[ ;

 

 

 

 

 

11.

· u^2\]^8 3

 

12.

ab\22 13WX√

;

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

y

;

 

 

 

 

 

14.

cd 2H5 3

 

.

 

 

 

 

v[2ecd+ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2wxeYZ[3

 

 

 

Знайти похідну функції за допомогою метода логарифмічного диференціювання:

15.

2aWX6 3wxeefY;

16.

2ab\6 3 cd ;

 

 

 

 

 

 

 

17.

 

253 · 2 3 ;

18.

.

 

2 3

 

 

K5 ab\√ 6

Знайти похідну неявно заданої функції:

3 3_ 35_.

19. ab\ 3 · u^ ;

20.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

 

21.

ab\W

;

22.

Icab\ W.

 

| 4W 9\]^W`

 

r Ic\]^ W

`

23.

Теоретичне питання. Основні правила диференціювання.

Похідна алгебраїчної суми.

 

 

 

238

 

 

 

 

 

Завдання 7.5.

 

 

 

 

Знайти похідні:

 

9

 

 

 

24 2 3 · WX

 

 

2

y

 

 

 

 

1.

 

 

 

+ √ P

 

 

;

 

2.

 

1v[ 5 ;

 

;

3.

9WX5 4I

z{aaWX7

;

4.

 

 

 

 

 

 

J

 

 

5.

u^2z{aaWX6 153;

 

 

6.

aWX 8 ;

 

 

7.

z{aab\3 1;

 

 

 

 

8.

KubX+3 9 ;

 

 

25 8 17 3 · ab\12 ;

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

10. t}8HJ;

 

 

11. 9efY √ · WX27 8 33;

 

12. ubX 2WX2 35efY ;

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

 

 

;

 

 

 

14.

ecdJ2H3

.

 

v[2wxeYZ[ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2wxeefY 53

 

 

Знайти похідну функції за допомогою метода логарифмічного диференціювання:

15.

2z{a\]^2 3;

16.

2WX5 3 H 1;

17.

21 3

 

;

18.

 

 

51

 

.

 

2 3 · 253

 

 

K1 u^2WX2 3

Знайти похідну неявно заданої функції:

WX24 1

3 3

+.

19.

2 u^

;

 

 

20.

 

 

 

 

 

_

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

 

 

 

21.

W · 2

c

;

 

 

22.

 

 

 

 

.

 

 

r W 2W`

 

 

~

 

 

1 √W

`

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23. Теоретичне питання. Похідна складної функції.

239

 

 

 

 

 

Завдання 7.6.

 

 

 

 

Знайти похідні:

 

 

 

 

29 1 223 · aWX

 

 

7 8

 

 

 

1.

 

 

8 5

 

;

2.

1

;

 

22 13 ab\5 2u^6

 

 

3.

\]^22 14 3;

 

 

; 4.

 

 

vfd + ;

 

5.

 

 

6.

z{a\]^ 5 ;

 

7.

u^8 1;

 

 

 

 

8.

WX 12 4 ;

 

 

29 35 3 · WX 8

 

 

 

 

J5

 

9.

 

 

 

 

 

;

10.

 

·L•€• H ;

 

11. 7vfdy2cd 3 · z{aab\√ p;

12.

u^2z{aWX5 32efY;

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

wxeYZ[ 2LH5 3.

 

13.

5 1;

 

 

 

14.

 

 

 

 

v[2wxeefY1 3

 

 

 

 

 

2 v[ 3

 

Знайти похідну функції за допомогою метода логарифмічного диференціювання:

15.

2z{aWX5 3v[ ;

16.

2aWX4 13wxeYZ[ ;

 

 

y

 

 

P

 

17.

 

2 513P· 2 5 3 ;

18.

.

 

2 3

 

 

K 5 WX2u^5 3

Знайти похідну неявно заданої функції:

· z{a\]^ .

19.

2

· u^ 7 8

3ab\ ;

20.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

.

21.

WXW

;

22.

 

 

r \]^2W ab\2W`

 

W21 \]^W3

 

 

r W · ab\W

`

23. Теоретичне питання. Похідні обернених функцій.

240

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.