Сборник_ТЗ

Знайти похідну

функції за допомогою метода

логарифмічного диференціювання:

15.

YZ[ .

,

тому для її

Розв’язання. Функція степенево показникова

2WX 3

-

Логарифмуємо функцію:

За

YZ[ .

логарифмів,

властивістю

показник

степені

ln ln2WX 3

ln \]^ · ln2WX 3

(

’

,

підлогарифмічного виразу

–

коефіцієнт перед логарифмом:

:

.

пам ятаємо

що

Ліворуч обчислимо похідну логарифма

функція , тобто складна функція), а праворуч обчислимо

похідну добутку

g ·

_

ab\ · ln2WX 3 \]^ · cd · efY

_′

`

2

3

;

′

efY

;

′

ab\ · ln WX

\]^ · YZ[ · efY

2

3YZ[

2

3

.

WX

ab\ · ln WX

efY

arcsin √ #

-

.

16.

H .

Розв’язання.

Функція степенево показникова

Для

її

диференціювання скористаємося алгоритмом, який згадали при

розв’язанні приклада15:

ln ln arcsin √ #H ;

67 @A<9:7 √ .

Праваln

частинаln arcsin

набуває

вигляду

частики тому за

√

,

формулою (4.9) маємо:

_

′

MNORUG √H·√VH· √H· 67 @A<9:7 √ ·

_ 5

231

5

√ ·@A<9:7 √ ·67 @A<9:7

√ #

′

`

5

h ·

√ ·@A<9:7 √ ·67 @A<9:7 √

;

5 arcsin √ #

H

·

√ ·@A<9:7

√ ·67 @A<9:7 √ .

17.

2 5 3J

.

2 5 3 ·2 83

Розв’язання. Функція представлена у вигляді частки,

знаменник дробі –

у вигляді добутку.

Отже диференціювання

ln ln

2 5 3J

;

2 5 3

·2 83

ln2 83 ;

ln ln23 23+ ln2 53

3;

′

ln 6 ln23 23

1 ln2 53 4 ln2 8

__

`+·5 1

· 5 8g · ;

3

j.

′

2 5 3J

i

+

1

2

2 5 3

·2 83

5

5

8

За бажанням, даний вираз можна спростити:

′

2 5 3J

·

2 5 32 83 2 5 32 83 82 5 32 5 3

·2 83

12 5

32

5

32

83

2 5 3

2 5 3

5 + 5 #.

1

k

2 5 3

·2 83

18.

.

K 5 ctg 5

ln ln lK5 ctg 5 m;

ln ln l253 · ctg 5 m;

2 3

ln2ctg 5 3 ;

ln ln2 13

ln2 13

′

5

3

ln ln2 13 ln2 13 3 ln2ctg

;

_

· 5g ·

;

_

`

· 5

· 3 ·

<BC

· 9:7

′

5

;

K ctg 5 n 2 3253

OQR H

o

5

RUG H·9:7

′

p .

K ctg

5 i 2 3

9:7 pj

Знайти похідну неявно заданої функції:

19.

cos sin 0

.

.

ятати, що

диференціюванні таких функцій ми зобов’язані пам’

є функцією , тому диференціювати її потрібно за

правилами

диференціювання складних функцій

Наша функція складається

з двох

доданків, кожний

з яких

має вигляд

добутку,

у

cos’ 2 sin 3

1 · sin cos · 0

:

відповідності з вже відомими правилами маємо:

′

′

.

2cos cos 3: sin sin

Розв яжемо лінійне рівняння відносно шуканої похідної

′

.

Остаточно маємо

′

9:7 _5_ 9:7 .

<=9 <=9 _

′

5_ #′

;

5 H

5_

· _

·

q

·_ ·_

′

5 _·_

′

_

·

.

5_

_

· 5_

Виконаємо необхідні перетворення:

_ _′

5__′

;

5_

′ 5_

′

;

′

;

2 3

′

_ .

_5

остаточно маємо

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

21.

r

4W 15.

`

(4.26),

язання.

За формулою

для того щоб знайти

Розв’

2W

,

похідну

функції, заданої параметрично,

спочатку необхідно

4;

6W

W.

знайти похідні′

та

′за параметром.

Заc

формулою c(4.26) маємо:

′

_tt′′

+c

c.

22.

r

22cos W W sin W3.

`

Розв’

22sin W W cosW3

(4.26):

c′

22 sin W sin W W cos W3 2W cos; W;

c′

язання. Скористаємося формулою

22cosW′

cos W W sin W3 2W sin W

′

_tt′

cc<=99:7 cc tg W.

Завдання 7.1.

Знайти похідні:

18

25 1 13 3 · ubX

3 +

1.

1 √

1

;

2.

efY ;

;

3.

2

\]^5 4WX3

;

4.

51

5.

2vfd cd;

6.

\]^14 ;

7.

ab\9 p;

8.

J WX 7 18;

22 8 143 · aWX 5

9.

5

· ab\√

;

10.

wxeYZ[ ;

3

· I

11.

v[ ecd

;

12.

ubX 2\]^5

;

13.

5

;

14.

wxecd 2LH 3.

v[2efY1 3

2 v[ 5 3

15.

2ab\9 3vfd ;

16.

2WX7 3LH 5;

P

5

17.

213y· 253 ;

18.

.

2 3

K ubX 2\]^3 3

Знайти похідну неявно заданої функції:

19. aWX 5 3 ;

20. u^25 3 3 _ _ 0

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

21.

3W 8 ;

22.

2W 93ab\3W.

r 6W W `

r 2W 93\]^3W

`

Завдання 7.2.

Знайти похідні:

2 3

22 5 3 · 3

4√

1.

+ 5 √

;

2.

YZ[ 5 ;

;

3.

7aWX4 I+ u^3

;

4.

58

5.

ubX1

2ab\ 3;

6.

z{a\]^85 ;

7.

WX6 ;

8.

√IYZ[+ 12 ;

22 6 3 · ab\ 7

J1

9.

;

10.

wxeecdJ;

P

ab\7 + · WX √ #;

11. 8 Kvfd · aWX 6 ;

12.

13.

√1 ;

14.

wxeefY 2 H 3.

v[2YZ[ 3

2 v[1 3

15.

2\]^8 3efY;

16.

2z{aaWX2 3v[P1;

17.

25+3P· 253 ;

18.

.

2 13

K5 WX2I

53

Знайти похідну неявно заданої функції:

· \]^ 2 WX 0

19.

8 ;

20.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

21.

W

1;

22.

Ic\]^4W.

r 6W

`

r Icab\4W`

23.

Теоретичне питання. Визначення похідної.

Завдання 7.3.

Знайти похідні:

24 5 3 · \]^ ;

1.

J

5

9 √

;

2.

√

cd 51 ;

3.

2z{aab\5 4ubX 9

; 4.

1 5

5.

IwxeefY;

6.

ab\ 9 ;

7.

aWX8

;

8.

5v[213 8

;

5

24 213 · \]^+2

9.

;

10.

1wxecdy2 3;

11. 4efY 2 13 · \]^ ;

12. WX2z{a\]^2 32√ ;

P

wxeYZ[ 2 H 3.

13.

√ 5 ;

14.

v[2cd 3

2 efY 3

15.

2WX5 3wxeYZ[;

16.

2\]^2 3v[ 2 5 3;

17.

2 3J

;

18.

58

\]^2

.

2 3

J

K

8

3 3

· 253

Знайти похідну неявно заданої функції:

ab\ 4\]^3 .

19.

\]^22 3 2 · ab\ ;

20.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

21.

7ab\W;

22.

z{a\]^W .

23.

r 9\]^W`

питання.

r W · √1 W `

Теоретичне

Техніка

диференціювання

12 4√

√

24

5

3

· ab\

1.

√ 5;

2.

8

;

3.

4ab\7 2ubX12 Icd

;

4.

+ecd

;

5P

5.

ubX+2I

3 3;

6.

WX 7 ;

7.

z{a\]^5 ;

8.

P√ab\ 9 7 ;

23 7 3 · aWX 7

5

9.

3cd

1 #

;

10.

1YZ[ ;

11.

· u^2\]^8 3

12.

ab\22 13WX√

;

;

13.

y

;

14.

cd 2H5 3

.

v[2ecd+ 3

2wxeYZ[3

15.

2aWX6 3wxeefY;

16.

2ab\6 3 cd ;

17.

253 · 2 3 ;

18.

.

2 3

K5 ab\√ 6

Знайти похідну неявно заданої функції:

3 3_ 35_.

19. ab\ 3 · u^ ;

20.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

21.

ab\W

;

22.

Icab\ W.

| 4W 9\]^W`

r Ic\]^ W

`

23.

Теоретичне питання. Основні правила диференціювання.

Похідна алгебраїчної суми.

Завдання 7.5.

Знайти похідні:

9

24 2 3 · WX

2

y

1.

+ √ P

;

2.

1v[ 5 ;

;

3.

9WX5 4I

z{aaWX7

;

4.

J

5.

u^2z{aaWX6 153;

6.

aWX 8 ;

7.

z{aab\3 1;

8.

KubX+3 9 ;

25 8 17 3 · ab\12 ;

9.

10. t}8HJ;

11. 9efY √ · WX27 8 33;

12. ubX 2WX2 35efY ;

P

13.

;

14.

ecdJ2H3

.

v[2wxeYZ[ 3

2wxeefY 53

15.

2z{a\]^2 3√ ;

16.

2WX5 3 H 1;

17.

21 3

;

18.

51

.

2 3 · 253

K1 u^2WX2 3

Знайти похідну неявно заданої функції:

WX24 1

3 3

+.

19.

2 u^

;

20.

_

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

21.

W · 2

c

;

22.

.

r W 2W`

~

1 √W

`

Завдання 7.6.

Знайти похідні:

29 1 223 · aWX

7 8

1.

8 5

;

2.

1

;

22 13 ab\5 2u^6

3.

\]^22 14 3;

; 4.

vfd + ;

5.

6.

z{a\]^ 5 ;

7.

u^8 1;

8.

WX 12 4 ;

29 35 3 · WX 8

J5

9.

;

10.

·L•€• H ;

11. 7vfdy2cd 3 · z{aab\√ p;

12.

u^2z{aWX5 32efY√ ;

y

wxeYZ[ 2LH5 3.

13.

√ 5 1;

14.

v[2wxeefY1 3

2 v[ 3

15.

2z{aWX5 3v[ ;

16.

2aWX4 13wxeYZ[ ;

y

P

17.

2 513P· 2 5 3 ;

18.

.

2 3

K 5 WX2u^5 3

Знайти похідну неявно заданої функції:

· z{a\]^ .

19.

2

· u^ 7 8

3ab\ ;

20.

Знайти похідну функції, заданої параметрично:

.

21.

WXW

;

22.

r \]^2W ab\2W`

W21 \]^W3

r W · ab\W

`