Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Сборник_ТЗ

.pdf
Скачиваний:
141
Добавлен:
28.02.2016
Размер:
3.18 Mб
Скачать

Пригадаємо кутові коефіцієнти сторін трикутника:

 

,/

*

;

/L

;

 

,L

.

За формулою (2.23) маємоD :

 

 

 

 

;

 

 

KNO KNP

 

Q E BF

Q·RSB·$

 

HI M

 

$

R

%-

 

 

 

*.KNO·KNP

*.Q·E BF

%-TQ·B

 

C

 

M

'UVHI C;

 

$

 

R

%-

 

 

 

 

 

B E %F

TB·-S%·R

;

HI M

KNP KPO

 

R

 

-

BW

 

 

 

*.KNP·KPO

*.E BF·E %F

B·%-S%

 

 

M

'UVHI ;

 

 

R

-

%-

 

 

 

 

-% $Q

 

T%·$RTQ·-

 

 

 

 

HI M

KOP KNO

 

 

 

;

*.KOP·KNO

*.E %Q

B·RTBQ

 

C

C

M

'UVHI C .

 

 

-

$

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. Визначимо тип трикутника. В п. 2.1 ми обчислили довжини сторін трикутника. З результатів прямує, що трикутник

різносторонній.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З

умови

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямує,

трикутник

гострокутний

 

 

 

Зауважимо що в

 

що V

 

M ' !

 

 

 

 

 

M

 

. ;

 

65

,M 52

згаданій нерівності за

 

 

вважаємо найдовшу з сторін

 

 

 

41

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Координати центра мас трикутника обчислимо за

формулами (2.8), (2.9):

B. -. %

 

*.C.

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B. -. %

 

. .D * .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

* .

 

Центр мас трикутника розташований у точці

 

 

 

 

 

 

2.6. Для того, щоб записати

 

 

y

 

 

 

E3; F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

рівняння медіани

 

 

,

 

згадаємо, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

за визначенням

медіана

поділяє

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

протилежну сторону навпіл. Медіана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поділяє

навпіл

 

 

сторону

 

 

 

.

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо

координати

 

точки

 

як

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

середини

 

за

формулами

(2.6),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

-1

 

 

 

 

3

 

 

7

(2.7):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

131

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

P. O

C.

 

 

5

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

P. O

.D

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точка

 

 

 

має координати:

 

 

 

 

 

 

 

. Рівняння

прямої

4

 

запишемо

за вже

 

згаданою нами формулою

(2.18):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

.*

 

 

 

4 5; 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

;

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 |: 2

;

 

 

*

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

6 3

 

 

 

 

 

 

3 9

 

 

 

1;

 

 

 

 

 

10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточно маємо

4:

 

 

 

 

 

* *.

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння

 

 

висоти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знаходимо за визначенням висоти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З нього прямує, що висота

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перпендикулярна

 

стороні

 

 

 

 

 

 

 

За

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

умовою перпендикулярності (2.22)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

маємо:

 

 

 

 

KNP*

 

 

 

 

*B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LZ

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

3

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Про

висоту

 

 

 

R

 

нам відомі

 

кутовий

 

 

коефіцієнт

та

координати однієї точки

– .

Скористаємося рівнянням прямої

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.20):

 

що проходить через задану точку у заданому напрямку

 

 

 

 

 

Підставимо

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рівняння*

 

 

 

. та координати точки

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LZ

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

: 24 8

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остаточно маємо рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

8

3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Щоб

знайти

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

згадаємо що

 

 

 

 

довжину

висоти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найкоротша

відстань

 

 

 

 

 

 

8 16

 

та

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

по

 

між

 

точкою

 

 

 

прямою

 

лягає

перпендикуляру. Отже, довжина висоти

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дорівнює відстані

від точки до прямої

 

 

 

.

В формулі (2.27) рівняння прямої має

вигляд

 

загального

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

|,&./&.L|.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перепишемо

 

 

рівняння√, ./

 

у

 

вигляді

 

загального

і

підставимо у формулу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: 8 23

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

132

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| 5| 7

 

 

|*·.D·D|

 

 

(од.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*-.D-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.8.

 

 

Знайдемо

рівняння

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бісектриси

 

 

 

 

 

.

За

визначенням

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бісектриси,

 

 

вона

поділяє

 

 

кут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

навпіл. Для розв’язання задачі

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скористаємося

 

 

 

 

 

 

властивістю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

бісектрис,

 

 

а

 

 

 

саме:

 

бісектриса

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поділяє

протилежну

 

сторону

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

відношенні,

 

 

 

 

яке

 

 

 

 

дорівнює

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

3 7

 

 

відношенню

 

прилеглих

 

сторін.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Стосовно бісектриси

6, ця властивість має вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,[

,/

 

 

 

 

\

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[L

 

/L

√*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6:

 

За формулами (2.4), (2.5) знайдемо координати точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*.

WQ ·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B.]-

 

 

 

 

-√B%

 

 

 

*. √

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*.]

 

 

 

 

 

*.-WQB%

 

 

 

 

√* .√

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B.]-

 

.

WQ ·D

 

 

 

*. √

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-√B%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*.]

 

 

 

 

 

*.-WQB%

 

 

 

√* .√

 

 

 

 

 

 

 

Координати

 

 

 

 

точки

 

 

 

6 E

*. √

 

;

*. √ .

 

Рівняння

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√* .√

 

√* .√ F

 

 

 

бісектриси 6 за формулою (2.18) набуває вигляду:

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ G :2√13

65;

 

 

 

 

 

 

 

T-

B%

S%

WQ

C

 

W

B%

S$ WQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-√B%S√WQ

 

-√B%S√WQ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

√*. √ *√*C√

√*. √ √*. √

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

· 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*√*√

 

 

√*. √

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D√*√

 

 

 

*. √

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ·

: 8√13

2√65;

 

7

·

:√13 3√65;;

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2√65;

 

 

: 8√13

16√13

4√65

:√13

3√65; 7√13

2165

:і, 8√13 ,

2√65;:

 

 

 

 

:√13 3√65; 23√13 25√65

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

нарешті

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

. √

 

 

*. √

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D√*. √

 

D√* . √

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

133

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.9. Координати центру та радіус описаного кола можна знайти двома різними способами. Опишемо кожний з них, а розв’яжемо задачу лише одним, запропонував інший розв’язок

другим способом читачеві.

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По-перше, за визначен-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ням, відомим нам з курсу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

середньої школи, центр описа-

8

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ного кола лежить в точці

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перетину

серединних

перпен-

 

 

 

 

 

R O2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дикулярів. Отже, щоб знайти

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координати

центру,

необхідно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

скласти рівняння двох середин-

-1

 

 

 

 

 

3

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

них перпендикулярів

(знайти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

координати середин протилежних сторін та, з умови перпендикулярності, кутові коефіцієнти, рівняння – за формулою (2.20)) та точку їх перетину (як результат розв’язку системи).

По-друге, за визначенням кола, центр – точка, рівновіддалена від всіх точок, що належать колу, тобто від всіх вершин трикутника. На наш погляд, розв’язання задачи цим методом потребує від нас менших зусиль та використання

приведеним

 

 

X ,

 

 

 

 

.

 

,

 

меншої кількості формул. Тому розважимо задачу саме так.

 

 

Нехай

точка

 

 

 

 

 

 

-

центр описаного кола. За

 

 

 

визначенням

 

 

X

X X

 

Отже

 

за

формулою (2. ) маємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

8

1 3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

8

7 2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

8 3 8

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

X

 

 

 

 

 

рівнянь зX

X

 

X

X

X

у

 

вигляді

 

:

 

,

 

 

 

 

 

Перепишемо

тотожність

 

 

 

 

 

 

 

двох

рівнянь

 

i

 

 

 

- отримаємо

 

систему

 

двох

 

1 3

7

2 ;

_

 

вдома

невідомими які відразу

підведемо до квадрату

 

 

 

 

 

 

 

1

3

3

8

За формулами квадрат суми та квадрат різниці спростимо отримані рівняння:

134

 

2 1

6 9

14 49 4 4;

 

_

2 1

6 9

6 9

16 64

 

16 2

 

 

 

43;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_8 10

 

 

 

63

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

2

 

 

160 16

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

10

 

176

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43 2

430 126

556;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

63

 

10

1008 344

664;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

8

 

63

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

D;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, розв’язок системи:

 

* 0

 

D .

D. Звідси координати

центру

 

описаного

кола

 

* 0

;

А

радіус

знайдемо,

наприклад, як c

X

 

X E

 

F

 

*C

 

 

 

 

 

 

c

 

 

* 0

 

 

 

 

 

D

 

 

 

*D

 

 

 

 

 

(од.)

9E

1F E

3F

9E

 

F

E F

 

 

 

X E* 0

Відповідь:

 

Координати

 

 

центру

описаного

кола

; DF, радіус c

 

(од.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.10.

 

Координати точки

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перетину медіани

 

та прямої, що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

результат

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через

 

точку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проходить

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

як

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

паралельно

 

 

 

 

знаходяться

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

K

 

 

 

 

 

 

 

розв язку

системи

яка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

складається

 

 

з

рівнянь,

що

 

 

 

A2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

описують вказані лінії. Нагадаємо,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що рівняння медіани

4

ми вже

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знайшли у п. 2.6:

*

 

*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

прямої

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння

що

 

проходить

 

 

 

через

точку

і :

паралельно

D*

знайдемо зdумови,

паралельності прямих

e

e

 

,/

 

 

(2.21). Нам відомий кутовий коефіцієнт

D*

і координати точки 3,8 , тому за формулою(2.20) маємо:

 

8

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

3 ;

 

 

 

135

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*D CD .

Отже система набуває вигляду:

 

 

f

 

*

 

*

 

 

або

 

 

 

 

 

.

 

*

 

C

 

_ 3 10

 

D

D

 

 

 

 

8 67

 

За правилами Крамера маємо:

 

 

 

1 3

 

8 3 11;

 

 

 

 

 

 

1

8

3

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

;

 

67

 

8

 

80 201 121

 

1

 

10

 

67 10

 

.

;

 

 

1

 

67

 

 

77

 

 

 

 

* *

 

11;

 

 

CC

 

7

 

 

 

 

 

**

 

 

**

 

 

 

 

 

Відповідь: Точка перетину має координати

3. Діагоналі ромба утворюють осі координат. Записати рівняння сторін ромба, якщо відомо, що довжини діагоналей дорівнюють 8 та 14 одиницям довжини.

 

Розв’язання: За властивостями

A

 

ромбу,

його

діагоналі

перпендикулярні і

-4

 

точкою перетину поділяються навпіл.

 

 

Звідси прямує, що осі координат можуть

 

 

утворювати діагоналі ромбу, й відсікають

 

 

на осі абсцис по 4 одиниці, а на осі ординат

 

 

– по 7.

Підставимо отримані результати в

 

 

рівняння прямої у відрізках (2.16):

 

 

 

:

C

1;

h i

1.

 

 

:

 

C

1;

 

 

 

 

j:

 

C

1;

 

 

 

 

j :

C

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

136

 

 

 

g 11,7 .

y

7 B

 

C

O

4 x

-7 D

 

4. Записати рівняння прямої, що з’єднує точку перетину

прямих

Розв’язання:

та

 

з точкою

 

.

 

Знайдемо точку

перетину

прямих

як

 

3 2 5

0 4 1

0

 

 

X 0,0

 

розв язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилами

 

 

 

 

 

5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

Крамера:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ 4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

3 8 11;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

5 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

5

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 2

6 20 26 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∆a

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

** ;

 

**

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k E ** ;

**F.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рівняння шуканої прямої Xk знайдемо за формулою (2.18):

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BB%

 

BB-W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

**

 

 

**

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

Відповідь: Xk:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Довести, що чотирикутник

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з

 

вершинами

в

точках

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10,1 ,j 1, 2

є

 

 

 

 

 

A

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

трапеція

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,3 , . 5,4 ,

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

Розв’язання. За визначенням,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

трапеція –

 

це чотирикутник,

у якого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дві протилежних сторони паралельні.

O

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обчислимо кутові коефіцієнти сторін

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чотирикутника (за формулою (2.17)) й перевіримо, чи є така пара коефіцієнтів, яка б задовольняла умові паралельності

(2.21).

*

;

 

/L

*

 

;

,/

 

 

 

*

 

Ll

*

 

*

;

,l

 

.

 

* *

 

 

*

5

 

 

 

 

 

 

 

137

 

 

Бачимо, що ,/

Ll, звідси прямує, що || j . Отже, j

-трапеція.

6.Знайти рівняння середньої лінії трапеції j з

завдання 5.

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. g<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 ми з’ясували, що

 

 

 

 

 

Розв’язання. В

завданні

лінія

,

тобто

 

 

і

 

 

 

 

-

основи трапеції.

Шукана середня

 

|| j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.*

 

g

 

 

 

 

j*

 

 

* .

 

j

 

 

проходить через середині бічних сторін паралельно

і

 

 

 

 

 

Знайдемо точку

;

 

- середину

(2.6), (2.7):

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

m

 

 

; g E

; F

 

 

 

 

 

 

 

З умови паралельності (2.21)

mn

 

,/

*. Підставимо

у формулу (2.10):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

* E

F;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

*

 

*;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь: g<:

 

 

 

 

 

 

*

 

 

3 5 8

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

8.

Знайти.

відстань

 

між

прямими

 

3 5 7

0 та

 

 

 

Розв’язання. Задані прямі паралельні тому що

 

 

 

 

. Приведемо рівняння прямих до нормального вигляду:

 

 

 

(*

 

(

)

 

-

*

-

 

 

 

)

 

*

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 :

 

 

 

8

.

 

 

 

C

0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 :

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси

 

 

 

C

 

 

 

 

D .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямі розташовані по обидві сторони від початку координат. Відстань між прямими – це сума відстаней від

початку координатC кожноїD з*прямих:

7 o* o √ √ √ .

Відповідь: 7 * .

138

9. Записати рівняння катетів прямокутного

рівнобедреного трикутника, якщо відомі рівняння гіпотенузи

 

2. 3 5

0

і координати вершини прямого кута

 

 

 

Розв’язання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2, 1

 

 

 

 

Кутовий

 

 

коефіцієнт

гіпотенузи з умови

кути,/

 

. Трикутник

 

 

 

- рівнобедрений прямокутний, тому

при основі дорівнюють

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*D & 0 &

 

 

 

 

.

 

СкористаємосяM M формулою

 

 

 

45 і знайдемо кутові коефіцієнти

сторін і :

 

 

-

 

(2.23)

 

HI45

 

KNO KNP

 

KNO.%

 

 

 

1

;

 

 

*.KNO·KNP

 

* -KNO

 

 

 

 

 

,L

*

;

1 ,L;

%

 

 

 

*;

 

 

,L

 

 

 

 

,L

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

аналогічно,

 

 

%- KPO

 

 

 

 

 

 

 

I45

 

KNP KPO

 

 

 

1

;

 

 

*.KPO·KNP

 

* -KPO

 

 

 

 

 

 

/L

;

1

/L;%

 

 

/L

 

 

5.

 

*

,L

 

 

p

 

 

 

 

 

 

За формулою (2.20) шукані рівняння мають вигляд:

:

 

1

* 2 ;

 

 

 

 

* C;

 

:

 

1

5

2 ;

 

 

 

 

5 9.

5 9.

 

 

 

Відповідь:

:

 

 

 

* C; :

139

Завдання 4.1

3. Довести, що рівняння . 1 є рівнянням прямої.

Записати рівняння цієї прямої у вигляді: 3.1. Загальне рівняння прямої.

3.2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. 3.3. Рівняння прямої у відрізках.

3.4. Нормальне рівняння прямої.

4. Дано1; 2трикутник; 2,5; 8,1 с вершинами в точках

. Знайти:

4.1.Периметр та площу трикутника.

4.2.Рівняння сторін.

4.3.Кути трикутника.

4.4.Визначити тип трикутника (за сторонами та кутами).

4.5.Координати центра4мас трикутника.

4.6.Рівняння медіани . 5

4.7.Рівняння та довжину висоти .

4.8.Рівняння бісектриси 6.

4.9.

Координати центру та радіус описаного кола.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.10.

Координати точки перетину медіани

4.

та прямої

,

що

проходить через точку

паралельно

 

 

 

5.Діагоналі ромба утворюють осі координат. Записати рівняння сторін ромба, якщо відомо, що довжини діагоналей дорівнюють 4 та 6 одиницям довжини.

6.

Записати рівняння прямої, що з’єднує точку перетину

8.

прямих

 

*

 

та

 

 

 

 

 

 

з початком координат.

5.

1,4 , 3,5 , 11,1 , j 1, 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3 7

 

 

вершинами в точках

7.

Довести

що

чотирикутник

j

єзтрапеція.

 

 

 

10.

 

відстань між

 

 

j

 

 

 

 

 

 

j

з завдання

 

 

Знайти рівняння середньої лінії трапеції

 

 

 

9.

Знайти площу трапеції

 

 

з завдання 5.

 

 

 

 

11.

Дано дві

 

 

 

 

5 4

 

5 13

 

 

 

 

Знайти

 

 

 

 

паралельними прямими

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

перетину

його медіан

j 3,1

.

 

2,2 , 3,0

та точка

 

трикутника.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вершини

 

трикутника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти

третю вершину

12.

Теоретичне питання. Рівняння прямої у відрізках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

140