Сборник_ТЗ
.pdfПригадаємо кутові коефіцієнти сторін трикутника: |
||||||||||
|
,/ |
* |
; |
/L |
; |
|
,L |
. |
||
За формулою (2.23) маємоD : |
|
|
|
|
; |
|
||||
|
KNO KNP |
|
Q E BF |
Q·RSB·$ |
|
|||||
HI M |
|
$ |
R |
%- |
|
|
|
|||
*.KNO·KNP |
*.Q·E BF |
%-TQ·B |
|
C |
|
|||||
M |
'UVHI C; |
|
$ |
|
R |
%- |
|
|
|
|
|
B E %F |
TB·-S%·R |
; |
|||||||
HI M |
KNP KPO |
|
R |
|
- |
BW |
|
|
|
|
*.KNP·KPO |
*.E BF·E %F |
B·%-S% |
|
|
||||||
M |
'UVHI ; |
|
|
R |
- |
%- |
|
|
|
|
|
-% $Q |
|
T%·$RTQ·- |
|
|
|
|
|||
HI M |
KOP KNO |
|
|
|
; |
|||||
*.KOP·KNO |
*.E %F·Q |
B·RTBQ |
|
C |
C |
|||||
M |
'UVHI C . |
|
|
- |
$ |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Визначимо тип трикутника. В п. 2.1 ми обчислили довжини сторін трикутника. З результатів прямує, що трикутник
різносторонній. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
З |
умови |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
прямує, |
трикутник |
гострокутний |
|
|
|
Зауважимо що в |
|||||||||||||||||||||||||
|
що V |
|
M ' ! |
|
|
|
|
|
M |
|
. ; |
|
65 |
,M 52 |
||||||||||||||||||
згаданій нерівності за |
|
|
вважаємо найдовшу з сторін |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
41 |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.5. Координати центра мас трикутника обчислимо за |
|||||||||||||||||||||||||||||||
формулами (2.8), (2.9): |
B. -. % |
|
*.C. |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B. -. % |
|
. .D * . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
* . |
|
||||||||||
Центр мас трикутника розташований у точці |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2.6. Для того, щоб записати |
|
|
y |
|
|
|
E3; F |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
рівняння медіани |
|
|
, |
|
згадаємо, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
за визначенням |
медіана |
поділяє |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
, |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
протилежну сторону навпіл. Медіана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
поділяє |
навпіл |
|
|
сторону |
|
|
|
. |
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Знайдемо |
координати |
|
точки |
|
як |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
середини |
|
за |
формулами |
(2.6), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
7 |
|||||||||||||||||||||
(2.7): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
131 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
P. O |
C. |
|
|
5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
P. O |
.D |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Точка |
|
|
|
має координати: |
|
|
|
|
|
|
|
. Рівняння |
прямої |
4 |
|
запишемо |
|||||||||||||||||||||||||||||||
за вже |
|
згаданою нами формулою |
(2.18): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
.* |
|
|
|
4 5; 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
* |
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |: 2 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||
* |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 9 |
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Остаточно маємо |
4: |
|
|
|
|
|
* *. |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Рівняння |
|
|
висоти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
знаходимо за визначенням висоти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
З нього прямує, що висота |
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
перпендикулярна |
|
стороні |
|
|
|
|
|
|
|
За |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
умовою перпендикулярності (2.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
маємо: |
|
|
|
|
KNP* |
|
|
|
|
*B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
LZ |
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Про |
висоту |
|
|
|
R |
|
нам відомі |
|
кутовий |
|
|
коефіцієнт |
та |
|||||||||||||||||||||||||||||||
координати однієї точки |
– . |
Скористаємося рівнянням прямої |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.20): |
|
||||||||||
що проходить через задану точку у заданому напрямку |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Підставимо |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
рівняння* |
|
|
|
. та координати точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LZ |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
: 24 8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Остаточно маємо рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
8 |
3 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Щоб |
знайти |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
згадаємо що |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
довжину |
висоти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
найкоротша |
відстань |
|
|
|
|
|
|
8 16 |
|
та |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
по |
|||||||||||||||||||
|
між |
|
точкою |
|
|
|
прямою |
|
лягає |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикуляру. Отже, довжина висоти |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
дорівнює відстані |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
від точки до прямої |
|
|
|
. |
В формулі (2.27) рівняння прямої має |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вигляд |
|
загального |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|,&./&.L|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Перепишемо |
|
|
рівняння√, ./ |
|
у |
|
вигляді |
|
загального |
і |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
підставимо у формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
: 8 23 |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
132 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 5| 7 |
|
|
|*·.D·D| |
|
|
(од.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√*-.D- |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2.8. |
|
|
Знайдемо |
рівняння |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
бісектриси |
|
|
|
|
|
. |
За |
визначенням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
бісектриси, |
|
|
вона |
поділяє |
|
|
кут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
навпіл. Для розв’язання задачі |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
скористаємося |
|
|
|
|
|
|
властивістю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
бісектрис, |
|
|
а |
|
|
|
саме: |
|
бісектриса |
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
поділяє |
протилежну |
|
сторону |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
відношенні, |
|
|
|
|
яке |
|
|
|
|
дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
3 7 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
відношенню |
|
прилеглих |
|
сторін. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Стосовно бісектриси |
6, ця властивість має вигляд: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,[ |
,/ |
√ |
|
|
|
|
\ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[L |
|
/L |
√* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6: |
|
|||||||||
За формулами (2.4), (2.5) знайдемо координати точки |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*. |
√WQ · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B.]- |
|
|
|
|
-√B% |
|
|
|
√*. √ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*.] |
|
|
|
|
|
*.-√√WQB% |
|
|
|
|
√* .√ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B.]- |
|
. |
√WQ ·D |
|
|
|
√*. √ |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-√B% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*.] |
|
|
|
|
|
*.-√√WQB% |
|
|
|
√* .√ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Координати |
|
|
|
|
точки |
|
|
|
6 E |
√*. √ |
|
; |
√*. √ . |
|
Рівняння |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√* .√ |
|
√* .√ F |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
бісектриси 6 за формулою (2.18) набуває вигляду: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
√ |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
√ |
|
C |
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
^ G :2√13 |
√65; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
T- |
B% |
S% |
WQ |
C |
|
W |
B% |
S$ WQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
-√B%S√WQ |
|
-√B%S√WQ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
√*. √ *√*C√ |
√*. √ √*. √ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
*√*√ |
|
|
√*. √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
D√*√ |
|
|
|
√*. √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 · |
: 8√13 |
2√65; |
|
7 |
· |
:√13 3√65;; |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2√65; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
: 8√13 |
16√13 |
4√65 |
:√13 |
3√65; 7√13 |
21√65 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
:і, 8√13 , |
2√65;: |
|
|
|
|
:√13 3√65; 23√13 25√65 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||
нарешті |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
* |
. √ |
|
|
√*. √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D√*. √ |
|
D√* . √ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9. Координати центру та радіус описаного кола можна знайти двома різними способами. Опишемо кожний з них, а розв’яжемо задачу лише одним, запропонував інший розв’язок
другим способом читачеві. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По-перше, за визначен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ням, відомим нам з курсу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
середньої школи, центр описа- |
8 |
|
|
|
|
C |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ного кола лежить в точці |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
перетину |
серединних |
перпен- |
|
|
|
|
|
R O2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
дикулярів. Отже, щоб знайти |
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
координати |
центру, |
необхідно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
скласти рівняння двох середин- |
-1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
7 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
них перпендикулярів |
(знайти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координати середин протилежних сторін та, з умови перпендикулярності, кутові коефіцієнти, рівняння – за формулою (2.20)) та точку їх перетину (як результат розв’язку системи).
По-друге, за визначенням кола, центр – точка, рівновіддалена від всіх точок, що належать колу, тобто від всіх вершин трикутника. На наш погляд, розв’язання задачи цим методом потребує від нас менших зусиль та використання
приведеним |
|
|
X , |
|
|
|
|
. |
|
, |
|
||||||
меншої кількості формул. Тому розважимо задачу саме так. |
|
||||||||||||||||
|
Нехай |
точка |
|
|
|
|
|
|
- |
центр описаного кола. За |
|||||||
|
|
|
визначенням |
|
|
X |
X X |
|
Отже |
|
за |
||||||
формулою (2. ) маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
X |
8 |
1 3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X |
8 |
7 2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X |
8 3 8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
||
рівнянь зX |
X |
|
X |
X |
X |
у |
|
вигляді |
|
: |
|||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Перепишемо |
тотожність |
|
|
|
|
|
|
|
двох |
||||||||
рівнянь |
|
i |
|
|
|
- отримаємо |
|
систему |
|
двох |
|
1 3 |
7 |
2 ; |
|||
_ |
|
вдома |
невідомими які відразу |
підведемо до квадрату |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
3 |
8 |
За формулами квадрат суми та квадрат різниці спростимо отримані рівняння:
134
|
2 1 |
6 9 |
14 49 4 4; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
_ |
2 1 |
6 9 |
6 9 |
16 64 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
16 2 |
|
|
|
43; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
_8 10 |
|
|
|
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∆ |
16 |
|
2 |
|
|
160 16 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8 |
|
10 |
|
176 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∆ |
43 2 |
430 126 |
556; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∆ |
63 |
|
10 |
1008 344 |
664; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
16 |
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∆a |
8 |
|
63 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
* 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∆ |
|
|
*C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∆b |
|
|
|
|
D; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆ |
|
|
*C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Отже, розв’язок системи: |
|
* 0 |
|
D . |
D. Звідси координати |
|||||||||||||||||||||||||||||
центру |
|
описаного |
кола |
|
* 0 |
; |
А |
радіус |
знайдемо, |
|||||||||||||||||||||||||
наприклад, як c |
X |
|
X E |
|
F |
|
*C |
|
|
|
|
√ |
|
|
||||||||||||||||||||
c |
|
|
* 0 |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
*D |
|
|
|
|
|
(од.) |
|||||||||||||||
9E |
1F E |
3F |
9E |
|
F |
E F |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
X E* 0 |
Відповідь: |
|
Координати |
|
|
центру |
описаного |
кола |
||||||||||||||||||||||||||
; DF, радіус c |
|
√ |
(од.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2.10. |
|
Координати точки |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
перетину медіани |
|
та прямої, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
||||||||||||||||
результат |
|
|
|
’ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
через |
|
точку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
проходить |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
як |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
паралельно |
|
|
|
|
знаходяться |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
K |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
розв язку |
системи |
яка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
складається |
|
|
з |
рівнянь, |
що |
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
описують вказані лінії. Нагадаємо, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
що рівняння медіани |
4 |
ми вже |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
знайшли у п. 2.6: |
* |
|
*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 7 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
прямої |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Рівняння |
що |
|
проходить |
|
|
|
через |
точку |
і : |
||||||||||||||||||||||
паралельно |
D* |
знайдемо зdумови, |
паралельності прямих |
e |
||||||||||||||||||||||||||||||
e |
|
,/ |
|
|
(2.21). Нам відомий кутовий коефіцієнт |
D* |
||||||||||||||||||||||||||||
і координати точки 3,8 , тому за формулою(2.20) маємо: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D |
|
3 ; |
|
|
|
135 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*D CD .
Отже система набуває вигляду: |
|
|
||||||||||||
f |
|
* |
|
* |
|
|
або |
|
|
|
|
|
. |
|
|
* |
|
C |
|
_ 3 10 |
|||||||||
|
D |
D |
|
|
|
|
8 67 |
|
||||||
За правилами Крамера маємо: |
|
|
||||||||||||
∆ |
|
1 3 |
|
8 3 11; |
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
8 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆ |
10 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||
67 |
|
8 |
|
80 201 121 |
|
|||||||||
∆ |
1 |
|
10 |
|
67 10 |
|
. |
; |
|
|
||||
1 |
|
67 |
|
|
77 |
|
|
|||||||
|
|
* * |
|
11; |
|
|
CC |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
** |
|
|
** |
|
|
|
|
|
Відповідь: Точка перетину має координати
3. Діагоналі ромба утворюють осі координат. Записати рівняння сторін ромба, якщо відомо, що довжини діагоналей дорівнюють 8 та 14 одиницям довжини.
|
Розв’язання: За властивостями |
A |
|
||||
ромбу, |
його |
діагоналі |
перпендикулярні і |
-4 |
|
||
точкою перетину поділяються навпіл. |
|
|
|||||
Звідси прямує, що осі координат можуть |
|
|
|||||
утворювати діагоналі ромбу, й відсікають |
|
|
|||||
на осі абсцис по 4 одиниці, а на осі ординат |
|
|
|||||
– по 7. |
Підставимо отримані результати в |
|
|
||||
рівняння прямої у відрізках (2.16): |
|
|
|
||||
: |
C |
1; |
h i |
1. |
|
|
|
: |
|
C |
1; |
|
|
|
|
j: |
|
C |
1; |
|
|
|
|
j : |
C |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136 |
|
|
|
g 11,7 .
y
7 B
|
C |
O |
4 x |
-7 D
|
4. Записати рівняння прямої, що з’єднує точку перетину |
||||||
прямих |
Розв’язання: |
та |
|
з точкою |
|
. |
|
|
Знайдемо точку |
перетину |
прямих |
як |
|||
|
3 2 5 |
0 4 1 |
0 |
|
|
X 0,0 |
|
розв язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
’ |
|
|
|
5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
||||
Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
_ 4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆ |
3 2 |
3 8 11; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
5 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
1 |
5 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∆ |
|
3 |
5 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 2 |
6 20 26 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∆a |
|
|
|
|
∆b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∆ |
|
** ; |
|
∆ |
** |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k E ** ; |
**F. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рівняння шуканої прямої Xk знайдемо за формулою (2.18): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
BB% |
|
BB-W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
** |
|
|
** |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j |
Відповідь: Xk: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. Довести, що чотирикутник |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
з |
|
вершинами |
в |
точках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
10,1 ,j 1, 2 |
є |
|
|
|
|
|
A |
|
B |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
трапеція |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2,3 , . 5,4 , |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Розв’язання. За визначенням, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
трапеція – |
|
це чотирикутник, |
у якого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
дві протилежних сторони паралельні. |
O |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Обчислимо кутові коефіцієнти сторін |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чотирикутника (за формулою (2.17)) й перевіримо, чи є така пара коефіцієнтів, яка б задовольняла умові паралельності
(2.21). |
* |
; |
|
/L |
* |
|
; |
|
,/ |
|
|
|
* |
|
|||
Ll |
* |
|
* |
; |
,l |
|
. |
|
* * |
|
|
* |
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
137 |
|
|
Бачимо, що ,/ |
Ll, звідси прямує, що || j . Отже, j |
-трапеція.
6.Знайти рівняння середньої лінії трапеції j з
завдання 5. |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. g< |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ми з’ясували, що |
|
|
||||||||||
|
|
|
Розв’язання. В |
завданні |
лінія |
, |
|||||||||||||||||||||
тобто |
|
|
і |
|
|
|
|
- |
основи трапеції. |
Шукана середня |
|
|| j |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.* |
|
g |
|
|
|
|
j* |
|
|
* . |
|
j |
|
|
||||
проходить через середині бічних сторін паралельно |
і |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Знайдемо точку |
; |
|
- середину |
(2.6), (2.7): |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
; g E |
; F |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
З умови паралельності (2.21) |
mn |
|
,/ |
*. Підставимо |
||||||||||||||||||||
у формулу (2.10): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
* |
|
* E |
F; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
* |
|
* |
|
*; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
* |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Відповідь: g<: |
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|||||||||||||||
3 5 8 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
8. |
Знайти. |
відстань |
|
між |
прямими |
|
3 5 7 |
0 та |
||||||||||||||||
|
|
|
Розв’язання. Задані прямі паралельні тому що |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
. Приведемо рівняння прямих до нормального вигляду: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(* |
|
( |
) |
|
- |
* |
- |
|
|
|
) |
|
* |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 : |
|
|
|
8 |
. |
|
|
|
C |
√ |
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 : |
|
|
|
√ |
|
√ |
|
|
√ |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
o* |
√ |
|
|
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
√ , |
o |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Звідси |
|
|
|
C |
|
|
|
|
D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прямі розташовані по обидві сторони від початку координат. Відстань між прямими – це сума відстаней від
початку координатC кожноїD з*прямих:
7 o* o √ √ √ .
Відповідь: 7 √* .
138
9. Записати рівняння катетів прямокутного
рівнобедреного трикутника, якщо відомі рівняння гіпотенузи |
||||||||||||||||
|
2. 3 5 |
0 |
і координати вершини прямого кута |
|||||||||||||
|
|
|
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2, 1 |
|
|
|
|
Кутовий |
|
|
коефіцієнт |
гіпотенузи з умови |
|||||||
кути,/ |
|
. Трикутник |
|
|
|
- рівнобедрений прямокутний, тому |
||||||||||
при основі дорівнюють |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
*D & 0 & |
|
|
|
|
. |
|
|||
СкористаємосяM M формулою |
|
|
|
45 і знайдемо кутові коефіцієнти |
||||||||||||
сторін і : |
|
|
- |
|
(2.23) |
|
||||||||||
HI45 |
|
KNO KNP |
|
KNO.% |
|
|
|
1 |
; |
|
||||||
|
*.KNO·KNP |
|
* -KNO |
|
|
|
|
|||||||||
|
,L |
* |
; |
1 ,L; |
% |
|
|
|
*; |
|
||||||
|
,L |
|
|
|
||||||||||||
|
,L |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||
аналогічно, |
|
|
%- KPO |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I45 |
|
KNP KPO |
|
|
|
1 |
; |
|
|
|||||||
*.KPO·KNP |
|
* -KPO |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
/L |
; |
1 |
/L;% |
|
|
/L |
|
|
5. |
|
|||||
* |
,L |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||||
За формулою (2.20) шукані рівняння мають вигляд: |
||||||||||||||||
: |
|
1 |
* 2 ; |
|
|
|
|
* C; |
|
|||||||
: |
|
1 |
5 |
2 ; |
|
|
|
|
5 9. |
5 9. |
||||||
|
|
|
Відповідь: |
: |
|
|
|
* C; : |
139
Завдання 4.1
3. Довести, що рівняння . 1 є рівнянням прямої.
Записати рівняння цієї прямої у вигляді: 3.1. Загальне рівняння прямої.
3.2. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. 3.3. Рівняння прямої у відрізках.
3.4. Нормальне рівняння прямої.
4. Дано1; 2трикутник; 2,5; 8,1 с вершинами в точках
. Знайти:
4.1.Периметр та площу трикутника.
4.2.Рівняння сторін.
4.3.Кути трикутника.
4.4.Визначити тип трикутника (за сторонами та кутами).
4.5.Координати центра4мас трикутника.
4.6.Рівняння медіани . 5
4.7.Рівняння та довжину висоти .
4.8.Рівняння бісектриси 6.
4.9. |
Координати центру та радіус описаного кола. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4.10. |
Координати точки перетину медіани |
4. |
та прямої |
, |
що |
||
проходить через точку |
паралельно |
|
|
|
5.Діагоналі ромба утворюють осі координат. Записати рівняння сторін ромба, якщо відомо, що довжини діагоналей дорівнюють 4 та 6 одиницям довжини.
6. |
Записати рівняння прямої, що з’єднує точку перетину |
|||||||||||||||||||
8. |
прямих |
|
* |
|
та |
|
|
|
|
|
|
з початком координат. |
5. |
|||||||
1,4 , 3,5 , 11,1 , j 1, 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 7 |
|
|
вершинами в точках |
|||||||||
7. |
Довести |
що |
чотирикутник |
j |
єзтрапеція. |
|
|
|
||||||||||||
10. |
|
відстань між |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
з завдання |
|
||||||
|
Знайти рівняння середньої лінії трапеції |
|
|
|
||||||||||||||||
9. |
Знайти площу трапеції |
|
|
з завдання 5. |
|
|
|
|
||||||||||||
11. |
Дано дві |
|
|
|
|
5 4 |
|
5 13 |
|
|
|
|||||||||
|
Знайти |
|
|
|
|
паралельними прямими |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
та |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
перетину |
його медіан |
j 3,1 |
. |
|
2,2 , 3,0 |
та точка |
|||||||||||||
|
трикутника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
вершини |
|
трикутника |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти |
третю вершину |
|||||
12. |
Теоретичне питання. Рівняння прямої у відрізках. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|