Сборник_ТЗ

Розділ 10

В цьому розділі ми познайомимося з невизначеними інтегралами. Запропоновані завдання допоможуть читачеві засвоїти на практиці основні прийоми інтегрування, а саме: безпосереднє знаходження первісних за таблицею невизначених інтегралів, метод заміни змінної, інтегрування частинами… Зрозуміло, що основним інструментом в розв’язанні цих задач є таблиця невизначених інтегралів (стор. 217) та основні властивості невизначених інтегралів (5.2) – (5.6). Метод заміни змінної переконає нас в необхідності пам’ятати таблицю похідних. Для полегшення роботи над наступним завданням, радимо мати під рукою обидві ці таблиці (похідних та невизначених інтегралів). За відповідним теоретичним матеріалом звертайтеся до розділів 5.1 – 5.8 посібника «Вища математика для менеджерів».

Приклади розв’язання типового варіанту

таблицею, за властивістю лінійності (5.2), (5.3), розіб’ємо інтеграл на три:

341

скористатися або властивістю (5.6) невизначних інтегралів, або

функціях, аргумент яких лінійний відносно незалежної змінної, за знак інтегралу виходить коефіцієнт, обернений коефіцієнту при , що цілком відповідає властивості (5.6). Запам’ятав це, надалі ми не будемо звертатися до заміни змінної в таких

342

простих випадках, а будемо користуватися згаданою властивістю.

7899:;

6.2 .

Розв’язання. Інтеграл не табличний. Звернувшись до таблиці похідних, бачимо, що в підінтегральному виразі

присутній диференціал арккотангенсу. Це для нас і є підказкою при заміні змінної:

HIJ &

7.AKL .

/ 1 / 1

8.'(P .

343

9.4 2.

Розв’язання. Настав час познайомиться з чотирма формулами наприкінці нашої таблиці інтегралів, які містять квадратичні вирази. Формули для нас принципові, тому що ще

попередньому прикладу. Лише звернутися ми будемо вимушені до іншої формули:

присутній . Помічаємо, що в знаменнику – многочлен другого степеня, а в чисельнику – першого. При диференціюванні

інтегруванні даної функції не можна, тому що в чисельнику

344

3

12.√ .

Розв’язання. При розв’язанні цього прикладу звернемося до розглянутих прикладів 9-11. Поділимо чисельник на знаменник, розіб’ємо інтеграл на два, методи інтегрування кожного з яких нам вже відомі. Щоб запис був зрозумілішим, ми кожну з первісних знайдемо окремо, а результат отримаємо як

Розв’язання. В знаменнику підінтегральної функції –

квадратний тричлен. Для інтегрування таких виразів(см2 . п4. 5.4.1)9 необхідно/2 4виділити41 4повний9 /квадрат212 : 5.

Підставимо в підінтегральний вираз виділений повний квадрат,

345

Розв язання. Метод інтегрування таких виразів детально розглянутий у п. 5.4.2. Проілюструємо його на прикладі. Звернемо увагу, що в чисельнику – многочлен першого степеня, а в знаменнику – другого. Диференціал многочлена другого степеня є многочлен першого степеня. Тому зрозуміло, що з

Отриманий інтеграл є сенс розбити на два, методи інтегрування

розглянутому у попередньому прикладі. Оцінимо диференціал підкореного виразу/3: 2 221 / 2 4 1.

Спробуємо отримати його в чисельнику. Підібрати дрібний коефіцієнт не завжди зручно, тому, якщо в цьому є потреба,

347

2

17..

Розв’язання. Підінтегральна функція – раціональний дріб, дріб неправильний, тому що максимальний степінь чисельника перевищує максимальний степінь знаменника.

Розв’язання. Підінтегральна функція – раціональний правильний дріб. Для того, щоб з’ясувати, якого він типу2, ми повинні узнати корені знаменника. Один з коренів – , ми

348

простіших (5.411): 4 b c d /21/ 1 /21/ 1/ 1 2 .

Знайдемо невідомі коефіцієнти. Для цього приведемо дробі до

4спільного2 39знаменникаe/ 11/та дорівняємо51 f/ чисельники21/ 51 : / 11/ 21;

Підставляючи по черзі корені знаменника, ми відразу знаходимо невідомі коефіцієнти:

ln| 2| 3 ln| 1| 2 ln| 5|

2 i

19./ 1 .

Знайдемо невідомі коефіцієнти. Приведемо дробі до спільного 2знаменника2 30, дорівняємоe/ 61чисельникиf / 6:1 2.

349

.

2 / 1i 5 3

Отже переписав підінтегральну функцію знаходимо первісну

ln| | 3 ln| 6|

.

2

20..

.

Щоб знайти два інших розкриємо дужки в нашій тотожності та

можемо її не розв’язувати, а підставити в перше та третє

350