Сборник_ТЗ

Знайти похідну функції за допомогою метода логарифмічного диференціювання:

23. Теоретичне питання. Таблиця похідних. Похідні обернених тригонометричних функцій.

261

Знайти похідну функції за допомогою метода логарифмічного диференціювання:

23. Теоретичне питання. Логарифмічне диференціювання.

262

Завдання 7.29.

Знайти похідні:

Знайти похідну функції за допомогою метода логарифмічного диференціювання:

23. Теоретичне питання. Диференціювання неявної функції.

263

Завдання 7.30.

Знайти похідні:

Знайти похідну функції за допомогою метода логарифмічного диференціювання:

23. Теоретичне питання. Диференціювання функцій, заданих параметрично.

264

Розділ 8

У розділі 8 «Збірника тестових завдань» ми скористаємося набутими навичками у диференціюванні функцій для розв’язання прикладних задач, а саме: наближених обчислень за допомогою диференціала, застосування геометричного та фізичного сенсу похідної, граничного аналізу економічних процесів. Відповідний теоретичний матеріал читач може знайти на стор. 160-178 «Вищої математики для менеджерів».

Приклади розв’язання типового варіанту

1. За допомогою диференціала функції знайти наближене значення 15,.

Розв’язання. За формулою (4.31):

Підставимо отримані значення у формулу, знайдемо наближене значення функції:

Розв’язання. За формулою (4.35), рівняння нормалі має

Записати рівняння дотичної.

Розв’язання. За визначенням 4.6, кутовий коефіцієнт дотичної (кут її нахилу до осі абсцис) дорівнює значенню

похідної в точці дотику (4.32):

'д ′ .

Знайдемо похідну:

′ 2 5;

обчислимо її значення у точці дотику:

′ 2 · 3 5 1.

За визначенням кутового коефіцієнта

4. Закон руху матеріальної точки , - 2- 4- 9. Визначити швидкість та прискорення руху через - 2 с.

Розв’язання. За формулами (4.36) та (4.37) швидкість та прискорення руху дорівнюють першої та другої похідним

відповідно від закону руху матеріальної точки:

/ ,′ - ; 0 /′ - ,′′ - .

Знайдемо похідні та обчислимо їх значення через - 2с:

5. Функція витрат виробництва продукції деякої фірми має вигляд 2,1 0,4 15 284 (грошових одиниць).

Знайти середні та граничні витрати виробництва і обчислити їх

20 2,1 · 400 0,4 · 20 15 7

840 8 15 14,2 847,2;

′20 6,3 · 400 0,8 · 20 15 2520 16 15 2521.

Зотриманих результатів можемо зробити висновок, що на даному рівні виробництва (кількості продукції, що

випускається) середні витрати на виробництво однієї одиниці продукції складають 847,2 грошових одиниць, а збільшення об’єму на одну одиницю продукції буде коштувати фірмі 2521 грошових одиниці.

267

6.Об’єм виробництва продукції деякою фірмою

продуктивність праці, швидкість і темп її зміни: а) на початку року - 0 ; б) в другому кварталі - 6 .

Розв’язання. За визначенням:

-продуктивність праці – похідна від об’єму виробництва: : - 8′ - ;

-швидкість зміни продуктивності праці – похідна від

продуктивності праці:/; :′ - ; - темп зміни продуктивності праці – логарифмічна

< ;′ =

похідна від продуктивності праці: ; ; =.

Знайдемо похідні:

: - 8′ - 7- 5- 8; /; :′ - 14- 5;

<;′ = =

;; = 9=%=!7.

Обчислимо їх значення

од.). Знайти: а) граничну прихильність до споживання; б) граничну прихильність до збереження, якщо національний доход складає 25 млрд. грош. од.

Розв’язання. За формулою (4.40) національний доход

складає 6 @ . Звідси функція збереження є

@ 6 .

Знайдемо граничну прихильність до споживання

268

аїї значення

@′ 25 0,7 0,2 · 25 · √25 25,7 (млрд. грош.од.).

8. Відомі функції попиту A B! 9B! і пропозиції , C

7, де A і , - кількість товару, що покупається і пропонується на продаж відповідно на одиницю часу, C - ціна одиниці товару. Знайти: а) рівноважну ціну; б) еластичність попиту та пропозиції.

Розв’язання.

а) Рівноважна ціна визначається з умови A ,, тобто

B! 9B! C 7;

11C 17 C 8C 7; C 3C 10 0;

C 2 (не має сенсу);

C 5.

Отже, рівноважна ціна C 5 (грош.од.).

б) Знайдемо еластичність за попитом

Враховуючи, що отримані значення еластичності (за абсолютним значенням) не перевищують одиниці, то попит і пропозиція даного товару при рівноважній (ринковій) ціні нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціни не приведе до різкої зміни попиту і пропозиції.

269

6.Об’єм виробництва продукції деякою фірмою виражається формулою 8 - 7 - 9 - 5- 1120 (одиниць), де - -

календарний місяць року. Обчислити продуктивність праці, швидкість і темп її зміни: а) на початку року - 0 ; б) в другому кварталі - 6 .

7.Функція споживання деякої країни має вигляд 6 57 1,1 ,√ , де - сукупний національний дохід (грош. од.).

Знайти: а) граничну прихильність до споживання; б) граничну прихильність до збереження, якщо національний доход складає 36 млрд. грош. од.

8.Відомі функції попиту A B!B! і пропозиції , C 4, де A

і , - кількість товару, що покупається і пропонується на продаж відповідно на одиницю часу, C - ціна одиниці товару. Знайти: а) рівноважну ціну; б) еластичність попиту та пропозиції.

9.Теоретичне питання. Диференціал функції.

270