Сборник_ТЗ

Обчислити границі:

lim

lim

1.

2.

;

;

limG

limG

3.

4.

;

;

limG

limG √#

√

√

5.

lim

;

6.

lim

"

;

JKL

√

7.

√

;

8.

HIJ;

;

9.

lim 3

JKL ;

10.

;3<

;

limG ; <

11.

12.

lim

#

.

limG ; <

%

Обчислити границі:

1.

lim

;

2.

lim

;

limG

limG

3.

;

4.

;

limG

limG √ √ !

5.

;

6.

lim

√ √

;

7.

√ √

;

8.

HIJ HIJ ;

lim

·TU

9.

lim 3

HIJ JKL;

10.

;

3

;

limG ; <

11.

12.

lim

.

limG ; <

ML ML

222

Знайти похідні:

1.

√

2

27

.

Розв’язання. Функція

проста

степенева представлена у

√

,

,

4

27

.

Знайдемо її похідну

5

3

2:

′ 5 · 4 3 · 2 · 5 4 · 0

20

10

√ .

2.

.

,

представлена

у вигляді

Розв’язання. Функція проста

8

6√ #

· arcsin

добутку. Скористаємося формулою (4.6):

+

* 8

6√

;

′

;

*′

24 √

, arcsin ;

,

.

Підставимо у формулу (4.6):

√

# ·

.

′ 24

· arcsin

8 6

Зауваження.

√Тим

,

хто

легко

впорався√

√ з технікою

–

складна функція, тому диференціювати їх будемо за правилом

(4.11), згідно таблиці похідних:

· 24 3

4 5283 28 3

2513 67 1

2 73

52 cos 4 3

′

′

′

′

2513 67 1

20 cos 4 5+

.

Розв’язання. Функція проста,

представлена

у вигляді

* 5 sin 6

;

*′

5 cos .

12

частки. Скористаємося формулою

(4.9):

9 8

, 3 8 4

,

;

;

′

Підставимо у формулу (4.9):

9:7 5+ # 8#.

′

2 <=9 53

8 5 #

2 8 5 3

5.

ctg 5

1.

.

-

Розв’язання. Функція складна

Поступово

диференці

юємо її, спочатку котангенс, а потім його аргумент –

степеневу

функцію:

9:7 · 25 13′ 9:7 · 35 +.

′

6.

arccos

9

.

.

-

Розв’язання.

Функція складна

Поступово

диференці

арккосинус, і, наприкінці, аргумент арккосинусу:

′

5 arccos 9 · 2arccos 9 3

′

5 arccos 9 · > 2 3 ? · 29 3

′

5 arccos 9 · 8 · 9

8

@A<<=9 .

–

корінь квадратний натурального логарифма, і, нарешті, сам

логарифм:

′

9BC

√67 # ln′

9 ·

tg 5√ln ##′

9BC

√67 # ln 9 · 3 tg

5√l

n

# ·′

· tg 5√ln ## 9BC

√67 # ln 9 · 3 tg

5√ln # <=9

5√ln #

√67 #

9BC

√67 # ln 9 · 3 tg

· 2ln 3

′

5√ln # <=9 √67 # · 5

√67

· DE √FG H#

67 ·BC √67 #.

·√67 ·<=9

√67 #

8.

@A<<BC +

.

складна

Знаходимо

похідну

Розв’язання

.

Функція

.

I

12

степеневої

функції,

а

потім

–

похідну

кожного з

доданків

підкореневого виразу:

′

1

I@A<<BC +

12 # J

· I@A<<BC +

12 #′

′

1

J

· I@A<<BC +

·

2arcctg

6 3 12#

K LMNOODE JH

5

′

· I@A<<BC +

·

52+ 3

26 3 12

MNOODE JH

J

1

K

L

5

·L

MNOODE JH

.

>12

5 + P

?

MNOODE JH

J

1

K

L

5

9.

.

,

представлена

у вигляді

Розв’язання.

Функція

складна

23

5 3

· log

24

63

добутку. Скористаємося формулою (4.6):

*

5

;

′

15

;

3 5

*′

5

′

, log224

2

;

2

8

.

, 24 2

63 ln 2 ·

63

24 63 24 2 63 ln 2

Підставимо у формулу (4.6):

8 .

′

215 53 · log2

24 2 63 23 5 5 3 · 24 2

63 ln 2

Розв’язання. Функція складна, представлена у вигляді

* tg 7

*′

<=9

1

· 27 3

<=9

1 · 14

частки.

Скористаємося формулою

(4.9):

2

;

,

′

4

12

2 ′

;

, 4

.

4

3;

228

Підставимо у формулу

(4.9):

′

OQR

· 443

# tg 72

#

H

2 4433

приведемо чисельник до загального знаменника, маємо

4

43# tg 72

# <=9

1 .

2 4433 <=9 1

,

11.

ln2sin 3 3 · I

√ 5.

Розв’язання.

Функція складна представлена

у вигляді

* ln2sin 3 3;

добутку. Скористаємося формулою (4.6):

,′

I√ 5;

′

′

3 ctg 3

;

*

9:7 2sin 3 3 9:7′

· cos 3 · 23 3

·L H S.

,′ I√ 5 ·

√ 4#

I√ 5 ·

5

2 43′

Підставимо у формулу (4.6):

√

√ 5

′

3 ctg 3 · I√ 5 ln2sin 3 3

H S

· ·L√ 5 .

12. 5@A<BC

· K9 .

Розв’язання. Функція складна, представлена у вигляді

* 5@A<BC

;

добутку. Скористаємося формулою (4.6):

,′

√9 ;

· ln 5 · 2arctg

′

′

* 5@A<BC

3 3 5@A<BC

· ln 5 · 52 3 23 3

,

′

5@A<BC

· ln 5 ·

5′ ;

.

· 29

3

′

5@A<BC

· ln 5 · 5 · √9 5@A<BC · √5 .