Мета роботи:

Освоїти методи дисперсійного аналізу. Навчитись вирішувати практичні завдання експлуатації електромеханічних систем на основі аналізу, наявних в підрозділах підприємств електротранспорту, статистичних даних.

Зміст роботи:

Методи математичної статистики дозволяють вирішити широке коло завдань, які виникають під час експлуатації засобів електротранспорту. Досить поширеним завданням є таке, коли згідно із списком чи найменуванням обладнання (матеріалу, комплектуючих, технологічного процесу, тощо) потрібно з цілої сукупності вибрати те, яке найкраще задовольняє поставленим вимогам, встановити, яке обладнання (матеріал, технологічний процес) з даного списку найкраще задовольняє потребам експлуатації. З точки зору математики це завдання визначення впливу змінної, що задається у шкалі найменувань (класифікаційній шкалі), на характеристики об’єкта, тобто визначити за статистичними даними відмінність між об’єктами, описаними в шкалі найменувань, і вибрати ті, які найбільше задовольняють поставленим вимогам. Такі завдання вирішують методами дисперсійного аналізу.

Методи дисперсійного аналізу засновані на адитивності дисперсії, тобто на властивості, що загальну дисперсію, викликану рядом факторів, можна розбити на складові співвіднесені до кожного з факторів. Задачі дисперсійного аналізу дуже різноманітні. Найпростіший випадок – це випадок однофакторного дисперсійного аналізу, коли визначається тільки вплив одного фактора, поданого в шкалі найменувань. До двофакторного дисперсійного аналізу приводять завдання, в яких на кінцевий результат певного процесу можуть впливати два фактори. Розрізняють завдання двофакторного аналізу з повторними вимірами або без них.

Дані для двофакторного аналізу без повторних вимірів представляють у вигляді двомірної таблиці. Обидва фактори розглядають як такі, що можуть вплинути на результати, дані групують залежно від конкретного значення фактора. При двофакторному дисперсійному аналізі розраховують дисперсії впливу кожного з факторів і визначають суттєвість впливу. При виявленні суттєвого впливу факторів на результат процесу аналізують кожний рівень фактора і визначають, як він впливає на кінцевий результат.

Дані для двофакторного аналізу з повторних вимірами представляють у вигляді трьохмірної таблиці або сукупності декількох двомірних таблиці (застосовують методи крос табуляції). Двофакторний дисперсійний аналіз з повтореннями відрізняється від такого ж аналізу без повторень тим, що він дозволяє виявити не тільки вплив кожного фактора зокрема, а також виявити наявність статистичної взаємодії між факторами. Статистична взаємодія – це явище, коли кінцевий результат залежить не від дії кожного фактора зокрема, а від сукупної дії факторів, тобто відповідає випадкам, коли кожен з факторів не впливає на результат а їх сукупність призводить до суттєвої зміни результату. Така статистична взаємодія може мати певну фізичну причину і викликатись резонансними або іншими явищами. Математичне моделювання не ставить за мету пояснення причини такої взаємодії, а тільки її виявлення. Під час фізичної інтерпретації результатів аналізу бажано вказати можливу причину такої взаємодії, оскільки вказівка на наявність взаємодії, без її пояснення, сприймається як дещо несподіване і незрозуміле.

У цьому завданні розглянемо порядок виконання двофакторного дисперсійного аналізу для вирішення практичного завдання вибору покришок для закупівлі в депо. Треба зробити вибір між декількома заводами, які виготовляють покришки для коліс тролейбуса з тим, щоб закупити найбільш довговічні, які мають більший пробіг.

Під час побудови математичної моделі вважається, що є два фактори А_і, – завод виробник та В_j, – маршрут який обслуговується, подані в шкалі найменувань, які впливають на розглядувану характеристику Y – пробіг покришок в кілометрах. Крім цього на характеристику впливає і взаємодія факторів, що подається, як їх добуток А_і, В_j.

Математична модель вирішення завдання виглядає таким чином. Початкова гіпотеза Н₁ що потрібна характеристика У залежить від впливу названих факторів:

Н₁: , (47)

де – термін служби покришки номер -к, виготовленої на заводі номер - і при експлуатації на маршруті номер – j; – середнє значення пробіг покришок;А_i – ефект впливу заводу – виробника; Вj – ефект впливу покриття шляху; A_iB_j – ефект взаємодії;– випадкова похибка.

Альтернативні моделі мають такий вигляд:

Н₀¹: , (48)

Н₀²: , (49)

Н₀³: , (50)

Н₀⁴: . (51)

У цих моделях враховуються тільки певні ефекти:

1) - у першій відсутні ефект впливу усіх факторів, експеримент показує, що відмінність пробігу шин зумовлена тільки впливом випадкових факторів;

2) - у другій – на пробіг шин впливає тільки дорожнє покриття, вплив заводу-виробника не суттєвий;:

3) - у третій – пробіг шин залежить тільки від заводу-виробника, на різних маршрутах шини ведуть себе однаково;

4) - в четвертій – пробіг шин залежить від заводу-виробника та покриття шляху і не залежить від взаємодії між покриттям шляху і заводом-виробником.

Завданням дисперсійного аналізу є визначення тієї математичної моделі, яка відповідає наявним статистичним даним, і побудова цієї моделі. На основі моделі потрібно зробити практичний висновок і підготовити заявку на закупівлю шин.

Порядок виконання роботи

1. Відкрити нову книгу EХCEL, оформити титульний аркуш задачі 4. Описати мету експерименту, фактори, які потрібно врахувати, величину відклику. Ввести вхідні дані для виконання аналізу, згідно з варіантом завдання, в порядку вказаному в п. 4.1 – 4.8 лабораторної роботи № 8 [1].

2. Виконати за допомогою пакету „АНАЛИЗ ДАННЫХ” двофакторний дисперсійний аналіз у порядку, вказаному в п. 4.9 – 4.14 лабораторної роботи № 8 [1], вибравши рівень значимості альфа, в таблиці дисперсійного аналізу (п.4.12), рівним 0,01 (α = 0,01).

Таблиця 4 – Кількість покришок, які потрібно закупити в депо

№ варіанта	Всього	У тому числі для маршруту
		М1 Літо	М2 Літо	М3 Літо	М1 Зима	М2 Зима	М3 Зима
1	140	40	20	20	20	20	20
2	150	40	10	30	30	10	30
3	160	40	30	20	30	20	20
4	170	30	40	20	30	30	20
5	180	60	40	30	20	10	20
6	190	60	20	30	50	10	20
7	200	50	50	30	40	10	20
8	210	60	60	30	30	10	20
9	220	50	40	30	40	20	40
10	230	50	50	30	40	40	20
11	250	40	70	30	40	20	50
12	260	50	60	60	40	30	20
13	270	50	60	40	40	30	50
14	280	80	60	40	40	40	20
15	300	50	50	50	50	50	50
16	310	50	60	30	90	40	40
17	320	80	50	40	60	60	30
18	330	90	80	30	60	40	30
19	340	70	70	30	60	60	50
20	350	80	80	80	40	30	40
21	360	100	40	80	60	40	40
22	370	120	40	80	50	30	50
23	380	80	100	40	60	60	40
24	390	120	60	60	30	60	60
25	400	140	100	50	50	20	40

3. Виконати математичний аналіз результатів.

Аналіз слід розпочинати з таблиці дисперсійного аналізу. У цій таблиці (див.рис.8) рядок «Выборка» відповідає заводу, рядок «Столбцы» – маршруту, рядок «Взаимодействие» – взаємодії факторів і рядок «Внутри» – похибці експерименту, викликаної випадковими факторами.

У колонках таблиці розміщені:

1) SS – сума квадратів, обрахована для фактора;

2) Df – число ступенів свободи фактора;

3) MS – сума квадратів розрахована на один ступінь свободи фактора;

4) F – критерій Фішера, Він розраховується діленням суми квадратів MS фактора на відповідну сума квадратів похибки;

5) P-Значение – значення, яке відповідає ймовірності появи одержаної величини критерію Фішера в результаті випадку;

6) F критическое – критичне значення критерію Фішера, яке відповідає заданому рівню значимості альфа (α = 0,01).

Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значе-ние	F крити-ческое
Завод (A)	6031,4	2	3015,7	94,05	2,5E-18	5,02
Маршрут (B)	2526,7	5	505,35	15,760	1,5E-09	3,37
Взаимо- действие (AB)	1261,61	10	126,16	3,93	0,00046	2,66
Ошибка	1731,52	54	32,06
Итого	11551,3	71

Рис. 9 – Приклад таблиці дисперсійного аналізу

Значимість впливу кожного з факторів визначається шляхом порівняння розрахованої статистики (величини критерію Фішера) з критичною величиною. Якщо розраховане значення статистики більше від критичного, то робиться висновок, що вплив даного фактора суттєвий.

Відповідно до того, вплив яких факторів є суттєвим, вибирається та чи інша математична модель з моделей (47) – (51). Для прикладу наведеного на рис.10, суттєвим є вплив усіх факторів. Йому відповідає така математична модель:

. (52)

Це самий складний випадок для подальшого виконання роботи, оскільки треба враховувати не тільки вплив заводу виробника та маршруту але і взаємодію факторів.

Числові значення моделі встановлює за результатами таблиці «ИТОГИ».

Величина μ – це загальний середній пробіг шин в тис.км. Його визначають, підсумувавши середні значення по заводах (або маршрутах), розділивши на кількість заводів (маршрутів).

А_і визначає вплив заводу-виробника і має три значення. Його встановлюють, віднявши від середніх по заводам, приведеним в таблицях «ИТОГИ» значення загального середнього. Розраховані значення А_і записують у вигляді вертикальної матриці розміром 1*3.

Коефіцієнти В_і визначають вплив маршруту на величину пробігу шин. Це матриця розміром 1*6, (оскільки у завданні розглянуто 6 маршрутів). Значення впливу маршруту визначають аналогічно попередньому, віднявши від середніх за маршрутами загальне середнє.

ИТОГИ	М1 Літо	М2 Літо	М3 Літо	М1 Зима	М2 Зима	М3 Зима	Итого
Завод 1
Счет	4	4	4	4	4	4	24
Сумма	312,2	312,2	314,6	318,2	307,7	295,1	1860
Среднее	78,05	78,05	78,65	79,55	76,92	73,77	77,5
Дисперсия	29,75	21,16	9,83	49,9	26,09	17,5	23,6
Завод 2
Счет	4	4	4	4	4	4	24
Сумма	303,4	293,4	253,7	256,8	234,9	234,4	1576,
Среднее	75,85	73,35	63,425	64,2	58,725	58,6	65,69
Дисперсия	12,94	22,17	6,515	52,98	22,062	36,9	66,64
Завод 3
Счет	4	4	4	4	4	4	24
Сумма	299,7	231,6	226,8	209,9	187,7	166,5	1322
Среднее	74,92	57,9	56,7	52,475	46,925	41,62	55,09
Дисперсия	41,08	1,286	63,6	82,289	37,689	43,26	149,6
Итого
Счет	12	12	12	12	12	12
Сумма	915,3	837,2	795,1	784,9	730,3	696
Среднее	76,27	69,76	66,25	65,40	60,85	58
Дисперсия	24,722	92,99	113,78	184,60	189,53	214,78

Рис. 10 – Приклад заповнення таблиці «ИТОГИ»

Коефіцієнти А_іВ_j визначають вплив взаємодії заводу та маршруту на величину пробігу шин. Це матриця розмірами 3*6. Для обчислення її значень потрібно знайти середні значення для кожної клітинки домірної матриці вихідних даних (середній пробіг заводу на кожному маршруті, всього 18 значень) і відняти від них значення, розраховані згідно з формулою:

. (53)

Числові математичної моделі значення для нашого прикладу наведені в табл.5:

Таблиця 5 – Значення коефіцієнтів математичної моделі пробігу шин

Пробіг шин тис.км	Серед ній пробіг шин μ	Вплив заводу, тис. км Аі	Вплив марш руту, тис. км Bj	Вплив взаємодії Аі Bj
				М1	М2	М3	М4	М5	М6
Yij	66,09	10,41 -0,4 -10,0	10,18 3,67 0,16 -0,69 -5,24 -8,09	-11,63 -0,02 11,65	-3,12 3,98 -0,86	0,98 -2,43 1,444	2,74 -0,8 -1,93	4,66 -1,73 -2,93	4,37 1 -5,37

На основі моделі здійснюють інтерпретацію результатів, тобто пояснення їх в термінах, зрозумілих фахівцям електротранспорту. За моделюю з врахуванням потреб, заданих у завданні, оформляється заявка на придбання шин. Наприклад, з даної моделі видно, що середній пробіг шин становить 66,09 тис км. Найкращими є шини заводу №1, їх пробіг суттєво, на 10,41 тис.км, більший від середнього пробігу. На маршруті М1 Літо шини будь-якого заводу ведуть себе краще, ніж на інших маршрутах, їх пробіг в середньому на 10,18 тис.км більший середнього. Крім цього шини різних заводів ведуть себе неоднаково на різних маршрутах. Особливо це помітно на маршруті №1, де найгірші шини заводу №3 мають значно більший пробіг, ніж кращі шини заводу №1. Пробіг шин заводу №3 на маршруті М1 Літо в результаті взаємодії збільшується на 11,65 тис.км, а заводу №1 зменшується на 11,63 тис.км. Для інших маршрутів взаємодія не так суттєво впливає на пробіг шин. Певне зменшення пробігу шин заводу №1 на 3,12 тис.км, є ще на маршруті М2 Літо. На інших маршрутах взаємодія тільки збільшує пробіг шин заводу №1. Тому для всіх маршрутів, крім вказаних, потрібно замовляти шини заводу №1. Щоб вирішити питання закупівлі шин для експлуатації на маршрутах М1 Літо та М2 Літо потрібно підрахувати їх пробіги відповідно до моделі. Обраховані значення подають в окремій табл.6.

Таблиця 6 – Пробіг шин обрахований згідно з математичною моделлю

	М1 Літо	М2 Літо
Завод 1	66,09+10,41+10,18-11,63 = 75,05	66,09+10,41+3,67-3,12= 77,05
Завод 2	66,09-0,4+10,18-0,02= 75,85	66,09-0,4+3,67-3,12= 66,24
Завод 3	66,09-10,0+10,18+11,65= 77,92	66,09-10,0+3,67-0,86= 58,90

У даному прикладі видно, що на маршруті М2 Літо пробіг шин заводу №1 суттєво більший, і тому замовляють шини цього заводу. На маршруті М1 Літо пробіг шин заводу №1 менший – 75,05 тис.км проти 77,92 тис.км заводу №3. Тому для цього маршруту треба замовити шини заводу №3, а для експлуатації на інших маршрутах слід замовляти шини заводу №1. Отже, наприклад, до варіанта №1 завдання (табл.4) слід вказати, що потрібно закупити: 40 шин заводу №3 і 100 шин заводу №1. Заявку на закупівлю шин треба подати директору депо разом з пояснювальною запискою. Директор депо може проаналізувати розраховані значення і прийняти до виконання подану заявку. Можливо, він прийме інше рішення, наприклад, з міркувань доставки шин з урахуванням одержаних результатів. Пробіг шин на маршруті М1 Літо не значно відрізняється для заводів №1 і 3, різниця становить всього 2,87 тис.км. Якщо для доставки потрібний окремий транспорт, то можливо, що директор зупиниться на варіанті закупівлі шин тільки заводу №1.

Побудована модель, крім практичного значення для виконання конкретного завдання закупівлі шин, має і ряд інших призначень. З її допомогою можна виконувати прогнози відносно експлуатації шин. Можна також звернути увагу на вплив маршруту, наявність статистичної взаємодії, виявити її причини і розробити програму покращення дорожнього покриття на маршруті. Можна також дати рекомендації заводам щодо покращення характеристик шин.