5.5. Развертки многогранников

Совмещение всех граней многогранника с одной плоскостью путем последовательного вращения их вокруг ребер называется разверткой многогранника.

Все грани многогранника на развертке изображаются в натуральной величине. Поэтому построение развертки сводится к построению натуральных величин граней многогранника. Их расположение и последовательность могут быть различны.

Чтобы получить развертку выпуклого многогранника нужно на его поверхности провести линию разреза, которая должна удовлетворять трем условиям:

1) проходить через все вершины выпуклого многогранника;

2) не должна быть замкнутой;

3) состоять из связанных между собой участков (линия разреза должна представлять собой одну линию).

Задача: Построить развертку прямой четырехугольной усеченной призмы, с основанием на плоскости Н, (рис. 5.10).

Решение.

1. Определяем линию разреза многогранника для построения развертки (САВD4312).

2. Устанавливаем, что нижнее основание (АВСD) призмы изображено в натуральную величину на горизонтальной плоскости проекций, а ребра призмы изображены в натуральную величину на фронтальной плоскости проекций.

3. Определяем натуральную величину верхнего основания (сечения) призмы методом вращения вокруг проецирующей оси проходящей через точку 1 перпендикулярно плоскости V: (1_н,2_н,3_н,4_н - натуральная величина сечения).

Рис. 5.10 – Построение развертки прямой четырехугольной

Усеченной призмы

4. Строим развертку призмы. На горизонтальной линии отложим отрезки DВ = D_нВ_н; ВА = В_нА_н; АС = А_нС_н; СD = С_нD_н (ширина каждой из боковых граней).

На перпендикулярах к этим отрезкам откладываются величины ребер D4=D_v4_v; В2=В_v2_v; А1=А_v1_v; С3=С_vЗ_v.

Многоугольник D42134D представляет собой развертку боковой поверхности призмы. Нижнее основание призмы, равное горизонтальной проекции его (А_нВ_нD_нС_н) пристраивается, например, к стороне СD развертки боковой поверхности призмы. Натуральная величина основания (1_н2’_н3’_н4’_н) примыкает к развертке боковой поверхности стороной 24.

Глава 6. Кривые линии

6.1. Основные определения и проекции кривых

Кривая в начертательной геометрии определяется как множество последовательных положений точки, непрерывно перемещающейся в пространстве с изменением направления движения. Если движение точки изменяется по определенному закону, то кривая называется закономерной. Если движение произвольное, то получается кривая общего вида.

Кривые линии могут быть плоскими и пространственными. У плоской кривой все точки инцидентны некоторой плоскости. Закономерные плоские кривые могут определяться своими уравнениями - алгебраическими (окружность, гипербола, эллипс, парабола и др.) или трансцендентными (спираль Архимеда, синусоида). Кривые общего вида могут задаваться только графически. Степень уравнения алгебраической кривой определяет ее порядок. Графически порядок кривой определяется количеством точек пересечения с прямой, причем точки берутся как действительные, так и мнимые. Порядок кривой сохраняется и у проекций кривой. Если спроецировать кривую b на плоскость Н по направлению S, то на ней получится проекция кривой b_H, обладающая всеми свойствами, которые сохраняются при параллельном проецировании (см. рис.6.1).

Рис. 6.1 – Проекция кривой Рис. 6.2 – Касательная к

b на плоскость Н кривой b

Касательной t к плоской кривой b в точке A называется предельное положение секущей t₁, когда точки A₁ и A₂, оставаясь на кривой b, стремятся к точке A (рис.6.2).

Нормалью n к кривой b в точке A называют прямую инцидентную плоскости P и перпендикулярную к касательной t в этой точке. К плоской кривой может быть проведена только одна нормаль. К пространственной кривой в данной точке можно провести бесчисленное множество перпендикуляров к касательной, которые определяют нормальную плоскость.

Касательная к кривой в заданной точке проецируется в касательные к ее проекциям (t_H; t_v). Проекции нормали (n_H; n_V) (рис.6.3) не перпендикулярны к проекциям (t_H; t_v) на чертеже, если плоскость, в которой находится кривая – плоскость общего положения (см. рис. 6.1)

Рис. 6.3 – Проекция кривой b на эпюре

Монжа

На кривой можно выделить обыкновенные, особые и экстремальные точки.

Обыкновенная точка А кривой характеризуется тем, что направление движения точки по кривой и направление касательной остаются неизменными (см. рис. 6.2).

Если же в данной точке меняется направление касательной или направление самой кривой, точка является экстремальной или особой.

Рассмотрим некоторые из особых точек.

1.Точка перегиба E, в которой касательная и нормаль меняют направление, а кривая пересекает касательную (рис. 6.4а).

2.Вершина кривой B – точка, в которой нормаль является осью симметрии для некоторого участка кривой (рис. 6.4б).

3.Точки возврата O и C (клюв), в которых ветви кривой имеют общую касательную (рис. 6.4 в, г).

4.Двойная точка (F, F₁), в которой кривая пересекает самое себя и меняется направление касательной (рис. 6.4 д, е).