7.3.1. Цилиндр. Возможные сечения

Часто вид кривой, получающейся в сечении поверхности вращения плоскостью заранее известен.

Так при пересечении цилиндра плоскостью возможны следующие виды сечений:

• окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра (плоскость S);

• эллипс, если секущая плоскость пересекает все образующие цилиндра и не перпендикулярна к его оси (рис.7.4, плоскость Q), где линии [1_V2_V] – величина большой оси эллипса, а – [3_V4_V] – величина малой оси эллипса, равная диаметру основания;

• две параллельные прямые, если секущая плоскость параллельна образующей цилиндра (рис.7.4, плоскость Р).

Рис. 7.4. Сечения цилиндрической поверхности вращения

7.3.2. Конус. Возможные сечения

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса (i,l), то она пересекает его по двум образующим (рис.7.5а, плоскость Р).

Если же конус пересекает плоскость, не проходящая через его вершину, то в сечении получится одна из следующих кривых:

• окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к его оси (рис.7.5а, плоскость Q);

• эллипс, если секущая плоскость пересекает все образующие одной плоскости конуса и не перпендикулярна к его оси (рис.7.5а, плоскость R);

• парабола, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (рис.7.5б, плоскости Т₁ и Т₂). В этом случае угол между секущей плоскостью и осью конуса равен углу между осью конуса и образующей;

Рис. 7.5. Сечения конической поверхности вращения

• гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (рис.7.5б, плоскостьS). При этом угол между секущей плоскостью и осью конуса меньше угла между осью конуса и образующей.

Следует обратить внимание на углы , ₁, ₂ (рис.7.5б).

Угол  - между следами T_1V и T_2V плоскостей, пересекающих конус по параболам. Если проводить следы плоскостей через точку О внутри угла , то эти плоскости пересекут конус по гиперболам, а если внутри углов ₁ и ₂, то по эллипсам.

Задача: Построить линию пересечения конуса, поверхность Ф, с фронтально проецирующей плоскостью Р (рис.7.6).

Решение:

Линия пересечения b – эллипс (см. рис.7.5, плоскость R).

1 2 – большая ось эллипса.

3 4 – малая ось эллипса.

1 2 – натуральная величина большой оси эллипса.

Точки 3_V и 4_V делят большую ось эллипса пополам.

Если через эти точки провести окружность – параллель h, то натуральная величина малой оси определится как хорда 3_Н4_Н горизонтальной проекции окружности – параллели h_Н.

Ряд произвольных точек строят при помощи окружностей – параллелей.

Задача: Построить линию пересечения конуса, поверхность Ф, фронтально проецирующей плоскостью Q (рис.7.7).

Решение:

Линия пересечения b – парабола (см. рис.7.5, плоскости Т₁ и Т₂)

1 – вершина параболы,

S_H – фокус параболы (вершина конуса),

2 и 3 – точки, ограничивающие параболу.

Ряд произвольных точек строят при помощи окружностей – параллелей h_v так, как это показано для точек 4 и 5.

Рис. 7.6. Сечение конической Рис. 7.7. Сечение конической

поверхности вращения поверхности вращения

плоскостью Р плоскостью Q

Задача: Построить линию пересечения конуса, поверхность Ф, с фронтально проецирующей плоскостью R (рис.7.8).

Рис. 7.8. Сечение конической Рис. 7.9. Сечение конической

поверхности вращения поверхности вращения

плоскостью R плоскостью F

Решение:

Линия пересечения b – гипербола (см. рис.7.5, плоскость S).

Точка 1 – вершина гиперболы.

Точка S_H – центр гиперболы.

Точки 3 и 2 – ограничивают ветвь гиперболы. Ряд произвольных точек строят при помощи окружностей – параллелей h_V так, как это показано для точек 4 и 5.

Задача: Построить линию пересечения конуса, поверхность Ф, с горизонтально – проецирующей плоскостью F (рис.7.9).

Решение:

Линия пересечения b – гипербола. Горизонтальная проекция гиперболы совпадает со следом плоскости. Фронтальная проекция гиперболы строится по точкам.

Экстремальные точки:

1 – высшая точка (вершина гиперболы). Она расположена в плоскости ТF, причем 2_Н1_Н=1_Н3_Н. Фронтальная проекция точки 1 строится при помощи образующей конуса S_HK_H, проведенной через точку 1.

7 – точка границы видимости. Она расположена на главном меридиане конуса. Фронтальная проекция точки 7_V строится по линии связи на соответствующей проекции главного меридиана (крайней образующей).

2 и 3 – точки ограничивающие ветви гиперболы. Они расположены на окружности основания конуса. Фронтальные проекции этих точек находятся на фронтальной проекции основания.

Ряд произвольных точек строится при помощи окружностей - параллелей (см. предыдущие задачи).