Navch_pisib_stat+kinem

F має складові Fx , Fy та Fz в напрямках осей координат, величини яких є

проекціями вектора сили на відповідні осі координат. Величина цих проекцій визначається залежностями:

Fx = F × cosα; Fy = F × cosβ; Fz = F × cosγ ,

де α, β, γ –кути нахилу вектора сили до координатних осей.

Якщо величини Fx , Fy та Fz проекцій сили задані, то сила, як вектор визначається залежністю

модуль сили

а напрямок сили визначається направляючими косинусами кутів нахилу вектора сили до координатних осей:

причому cos2α + cos2β + cos2γ =1.

x i

Рисунок 17

20

1.5 Система збіжних сил

Система сил, лінії дій яких перетинаються в одній точці, назива-

ється системою збіжних сил. Це є найпростіша з існуючих систем сил. Окрім систем збіжних сил існують також системи довільно розміще-

них сил та системи паралельних сил. Кожен з цих типів систем сил може складатись із сил, розміщених в одній площині (плоска система сил) або в просторі (просторова система сил).

Для одержання умов рівноваги кожну із систем сил необхідно перш за все спростити шляхом еквівалентного перетворення.

Для приведення системи збіжних сил до простішого вигляду доведемо таку теорему.

Система збіжних сил має рівнодіючу, яка дорівнює геометричній сумі сил системи і проходить через точку перетину їх ліній дії.

Нехай задано систему збіжних сил (F1, F2 ,...Fn ), показану на рис.18,а, лінії дії яких перетинаються в точці О. Треба довести, що (F1, F2 ,...Fn )~ R ,

де R = åFn – рівнодіюча, прикладена в точці О. Доведення теореми здійснимо в декілька етапів:

-застосовуючи наслідок із аксіом 1 і 2, перенесемо кожну із сил системи вздовж лінії її дії в точку О (рис.18,б);

-використовуючи аксіому паралелограма сил послідовно складемо сили, прикладені в точці О (рис. 18,в):

бражена на рис. 18,а, і сила R , зображена на рис. 18,г, еквівалентні між собою, тобто теорема доведена.

21

F1

Геометричне складання сил системи можна здійснювати не тільки за аксіомою паралелограма сил, а і шляхом побудови силового многокутника, прибудовуючи початок вектора наступної сили до кінця вектора попередньої (рис. 19). Тоді замикаючий вектор R цього многокутника буде вектором рівнодіючої даної системи сил (F1, F2 ,...Fn )

F2

F1 F3

o

22

Аналітичний спосіб визначення рівнодіючої полягає в обчисленні її проекцій на осі координат (див. рис. 18,г).

Проецюючи залежність (8) на осі x, y, z , одержимо:

Модуль рівнодіючої

1.6 Умови рівноваги системи збіжних сил

Так як система збіжних сил зводиться до рівнодіючої, то для її рівноваги необхідно і достатньо, щоб ця рівнодіюча дорівнювала нулю:

За умови, що R = 0 кінець вектора останньої сили системи при побудові силового многокутника співпаде з початком вектора першої сили.

Звідси можна зробити висновок: система збіжних сил буде знаходитись у стані рівноваги тоді і тільки тоді, коли силовий многокутник цієї системи сил буде замкнутим.

При виконанні умови (12) із формули (10) одержимо:

Rx = 0; Ry = 0; Rz = 0,

звідки з урахуванням (9) випливають рівняння рівноваги:

23

Рівняння (13) виражає аналітичні умови: для рівноваги системи збі-

жних сил необхідно і достатньо, щоб сума проекцій всіх сил системи на кожну з трьох осей координат дорівнювала нулю.

У випадку плоскої системи збіжних сил використовують тільки два з трьох рівнянь рівноваги:

1.7 Теорема про три сили

Якщо тіло під дією трьох непаралельних сил знаходиться у стані рівноваги, то всі сили лежать в одній площині, а їх лінії дії перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай із трьох непаралельних сил (F1, F2 , F3 ) ~0, що діють на зрівноважене тіло (рис. 20), лінії двох сил F1 і F2 , прикладених в точках А і В, перетинаються в точці О (рис. 20,а).

Перенесемо сили в цю точку і замінимо їх рівнодіючою R = F1 + F2 (рис. 20,б). При цьому одержана система двох сил (R, F3 ) ~0 буде зрівноваженою, тому, на підставі аксіоми 1, сили R та F1 направлені вдовж однієї прямої.

Отже, лінії дії всіх трьох сил перетинаються в точці О, а самі сили лежать в одній площині.

За допомогою цієї теореми в деяких випадках можна визначити напрямок реакції нерухомого шарніра, не представляючи її в вигляді двох взаємно перпендикулярних складових. Наприклад, для балки АВ, яка закріплена в точці А і опирається в точці D на виступ (рис. 21), лінія дії реак-

24

ції RA нерухомого шарніра буде проходити через центр шарніра та точку Е перетину сили P ваги балки та реакції ND гладенької поверхні.

F1

Рисунок 20

Е

B

N

C

RA D

A P

Рисунок 21

1.8 Розв’язання задач статики

Розв’язання задач з рівноваги матеріального об’єкта проводиться за таким алгоритмом:

1)вибрати об’єкт (тверде тіло, окрему точку), рівновагу для якого слід розглядати (в подальшому – тіло);

2)прикласти активні сили, що діють на це тіло;

3)застосувавши аксіому в’язей, звільнити тіло від в’язей і показати їх реакції;

4)для одержаної зрівноваженої системи сил скласти рівняння рівно-

ваги;

5)визначити з цих рівнянь невідомі величини.

25

Коли в задачі кількість невідомих величин перевищує кількість рівнянь рівноваги, то задача є статично неозначеною. Для усунення статичної неозначеності необхідно або зменшити кількість невідомих величин, застосувавши, наприклад, теорему про три сили для системи збіжних сил, або шукати спосіб збільшення кількості рівнянь рівноваги до кількості невідомих величин, розглянувши, наприклад, рівновагу частини елементів складеної конструкції чи добавивши до рівнянь рівноваги залежність сили тертя від нормальної реакції при накладанні на об’єкт рівноваги шорсткої поверхні, як в’язі.

Приклад 1

Електрична лампочка вагою P = 20H підвішена за допомогою двох шнурів АВ і АС, прикріплених до стіни і до стелі (рис. 22). Визначити реакції шнурів TAB і TAC , якщо кути нахилу шнурів до стелі та стіни відповід-

но дорівнюють α = 60o; β =135o . Вагою шнурів знехтувати.

Розв’язання

Розглянемо рівновагу вузла А, на який діють: сила ваги P (активна сила) та реакціїTAB і TAC шнурів (рис.22,а) направлені вздовж шнурів до точок В і С закріплення.

На рис. 22,б показана схема розміщення у вибраній системі координат зрівноваженої збіжної системи сил, які діють на вузол А.

Складемо рівняння рівноваги цієї системи сил:

n

å Fkx = 0; TAB sin30o − TAC sin 45o = 0; k=1

n

å Fky = 0; TAB cos30o + TAC cos45o − P = 0. k=1

26

Рисунок 22

Розв’язуючи ці рівняння, знайдемо:

Приклад 2

Котел з рівномірно розподіленою за довжиною вагою P = 40 кН та радіусом R =1 м лежить на виступах кам’яної кладки (рис. 23). Відстань між стінками кладки l =1,6 м. Нехтуючи тертям, знайти тиск котла на кладку в точках A і B .

Рисунок 23

27

Розв’язання Котел знаходиться у стані рівноваги під дією трьох сил: сили ваги

котла P та реакцій N A і NB гладенької поверхні прикладених в точках і напрямлених перпендикулярно дотичним до кругової поверхні котла в точках A і B (рис. 23,б). Реакції N A , NB проходять через центр O кола котла і нахилені до горизонталі під кутами α (див. рис. 23,б)

Для зрівноваженої плоскої системи збіжних сил складемо рівняння рівноваги (обрані осі координат показані на рис. 23,б):

Тригонометричні функції кута α знайдемо, розглянувши трикутник

AOD (рис. 22,б):

cosα = OAAD = 0R,5l = 0,8; sinα = 1− cos2 α = 1 − 0,82 = 0,6.

Розв’язуючи систему рівнянь рівноваги, знайдемо з першого рівняння N A = NB = N , а з другого одержимо:

Приклад 3

Балка АВ закріплена в точці А за допомогою нерухомого шарніра і утримується в горизонтальному положенні рухомим циліндричним шарніром в точці В (рис. 24). У середині балки діє сила Р=2 кН під кутом 45o до горизонту. Визначити реакції опор, взявши розміри з рисунка і нехтуючи вагою балки.

28

D

у

Перенесемо всі сили в точку D (рис. 24,б) і складемо рівняння рівноваги плоскої системи збіжних сил:

n

å Fkx = 0; RA cosα − Pcos45o = 0; k=1

n

å Fky = 0; RA sinα + RB − Psin 45o = 0. k=1