Navch_pisib_stat+kinem

7 Що називають в’яззю? У чому полягає принцип звільнення від в’язей?

8Назвіть основні типи в’язей. Як направлені їх реакції?

9Що називають системою збіжних сил? Чому дорівнює рівнодіюча системи збіжних сил? Які умови і рівняння рівноваги плоскої системи збіжних сил?

2 МОМЕНТ СИЛИ. ПАРА СИЛ

2.1 Момент сили відносно точки

Раніше було встановлено, що проекція сили на вісь або площину характеризує здатність сили переміщувати тіло в деякому напрямку. Але дія сили на тіло не обмежується таким зміщувальним ефектом. При певних умовах сила здатна обертати тіло навколо точки або осі. Для врахування обертальної дії сили вводиться поняття моменту сили.

Векторним моментом сили F відносно точки О називають прикладений в цій точці вектор M 0 (F ), який визначається векторним добут-

ком радіуса-вектора r точки прикладання сили відносно моментної точки О та вектора сили F (рис. 26):

Цей вектор, направлений перпендикулярно площині, в якій лежать вектори r і F , в тому напрямку, звідки обертання тіла під дією сили на менший кут видно проти ходу годинникової стрілки.

Модуль векторного моменту сили відносно точки обчислюють за правилами векторної алгебри:

де h = OC = r sin α – плече сили F відносно моментної точки, яке являє собою найкоротшу відстань між цією точкою і лінією дії сили.

32

x

При розгляданні плоскої системи сил, коли лінії дії сил та моментна точка лежать в одній площині, вводять поняття алгебраїчного моменту сили відносно точки.

Алгебраїчним моментом сили відносно точки називають взяту з певним знаком величину, що дорівнює добутку модуля сили на плече (рис. 27):

Знак алгебраїчного моменту вибирають у залежності від напряму повороту тіла під дією сили: момент сили вважається додатним, якщо сила намагається повернути тіло відносно точки проти ходу годинникової стрілки і від’ємним – при повороті за годинниковою стрілкою.

Так на рис. 27 маємо, що M 0 (F )> 0. Властивості моменту сили відносно точки:

1)момент сили відносно точки чисельно дорівнює подвоєній площі трикутника ОАВ, побудованого на силі і моментній точці;

2)момент сили не залежить від переносу сили вздовж лінії її дії;

3)момент сили відносно точки дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через моментну точку ( тоді h = 0 ), або коли сама сила дорівнює нулю.

Позначимо координати точки прикладання сили через x, y, z, а проекції сили на осі координат через Fx, Fy, Fz. Тоді векторний момент сили можна подати так:

33

а його проекції на координатні осі визначаються за формулами:

Модуль моменту

Напрямок вектора M o (F ) визначається направляючими косинусами:

2.2 Момент сили відносно осі

Моментом сили відносно осі називають алгебраїчний момент проекції сили на площину, перпендикулярну осі, відносно точки перетину осі з цією площиною. Відповідно для цього визначення для знаходження моменту сили відносно осі необхідно (рис.28):

-провести площину П, перпендикулярну осі z;

-знайти точку О перетину осі z з площиною П;

- спроеціювати силу F на площину П;

-знайти момент проекції FП відносно точки О. Тоді

34

Об’єднуючи ці два випадки, можна зробити висновок: момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо сила і вісь лежать в одній площині.

Аналіз властивостей моментів сили відносно точки та відносно осі дозволяє встановити таку залежність між цими двома характеристиками обертальної дії сили, яка характеризується теоремою:

Момент сили відносно осі дорівнює проекції на цю вісь векторного моменту сили відносно будь-якої точки на осі.

Справедливість цього твердження встановимо, розглянувши дію на тіло cили F , прикладеної в точці А( рис. 29).

Векторний момент сили F відносно центра О зображається вектором M 0 (F ), перпендикулярним до площини трикутника ОАВ, а його модуль

п

П

Рисунок 29

Величина моменту сили відносно осі, відповідно до формули (23), дорівнює M z (F )= 2пл. OA1B1 . Але трикутник OA1B1 являє собою проекцію на площину П трикутника ОАВ. Кут α між площинами цих трикутників дорівнює куту між перпендикулярами до цих площин. Тоді за відомою з геометрії формулою маємо:

пл. DOA1B1 = пл. DOAB × cosα ,

де α – кут між вектором M 0 (F) та віссю Оz. Звідси за формулами

(23) і (24)

36

Використовуючи цю залежність та формулу (19) одержимо аналітичні формули для обчислення моментів сили відносно координатних осей:

де x, y, z - координати точки прикладання сили, Fx , Fy , Fz - проекції сили на координатні осі.

2.3 Пара сил та її момент

Парою сил називають систему двох рівних за модулем сил, направлених вздовж паралельних прямих у протилежних напрямках (рис. 30).

Площина, в якій розміщені сили пари – це площина дії пари сил, а найкоротша відстань d між лініями дії сил називається плечем пари.

F

d

B

A

F/

Рисунок 30

Сили пари не складають зрівноважену систему сил, бо не мають спільної лінії дії, та не зводяться до рівнодіючої, так як їх геометрична сума дорівнює нулю. Дія пари сил зводиться до обертального ефекту, який характеризується моментом пари.

37

Алгебраїчний момент пари – це взята з відповідним знаком величина, яка дорівнює добутку модуля однієї із сил пари на плече пари:

Алгебраїчний момент пари сил буде додатним, якщо пара сил намагається обертати тіло проти ходу годинникової стрілки.

Відповідно до визначення, алгебраїчний момент пари сил чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на силах пари (рис. 31):

M = M (F , F ′)= пл. АВСD = 2пл.∆АВС = 2пл. ∆АВD.

D

F

A B

F /

C

Рисунок 31

Векторним моментом пари сил називається вектор M , модуль якого дорівнює добутку модуля однієї із сил на плече пари, і який напрямлений перпендикулярно площині дії пари в той бік, звідки напрямок повороту тіла під дією пари видно проти ходу годинникової стрілки (рис.32).

Із цього визначення можна встановити, що момент пари сил дорівнює моменту однієї із сил пари відносно точки прикладання другої сили, тобто

38

F

B M

A

rB

Рисунок 32

Покажемо справедливість висновку (теореми):

Сума моментів сил пари відносно будь-якої точки не залежить від положення цієї точки і дорівнює моменту пари сил. Обчислимо суму сил пари відносно довільно вибраної точки О (див. рис. 32), враховуючи, що

F = −F ′ :

Таким чином, дія пари сил на тверде тіло повністю визначається моментом пари сил. Оскільки положення точки О вибране довільно, то вектор M моменту пари можна прикладати у будь-якій точці, тобто цей вектор є вільним вектором.

2.4 Теореми про пари сил

Теореми про пари сил встановлюють умови еквівалентного перетворення пар сил без зміни їх дії на тверде тіло, які дозволяють приводити системи пар до простішого вигляду.

39