Geodeziya_1_chastina_26-09-2011

401

Для усунення нев’язки ωS виправимо виміряні значення

де ωS – вільний член умовного рівняння базисів.

Рис. 166. До правила написання умови базиса

У практиці вирівнювальних обчислень геометричні умови базисів складають так само, як і умови полюсів, безпосередньо за схемою, користуючись при цьому таким правилом: сума логарифмів вихідної сторони і синусів зв’язкових кутів, направлених до іншої вихідної сторони, мінус сума логарифмів

кінцевої вихідної сторони і синусів зв’язкових кутів, направлених від неї до початкової вихідної сторони, повинна дорівнювати нулю.

Наприклад, згідно з рис. 166, умову базисів можна записати так:

(lg AB + lg sin III + lg sin VI + lg sin IX) –

−(lg BC + lg sin VII + lg sin IV + lg sin I) = 0,

авідповідне йому умовне рівняння базисів, звичайно, буде

β3 (3) + β6 (6) + β9 (9) – β7 (7) – β4 (4) – β1 (1) + ωS = 0.

13.3. Поняття про умову координат

402

Умови координат (умови абсцис і умови ординат) виникають у такій тріангуляції, в якій є вихідні пункти, безпосередньо пов’язані між собою.

Рис. 167. Ряд трикутників Наприклад, у тріангуляції, зображеній на рис. 167, ви-

хідні пункти А і В не пов’язані вихідними даними з пунктами С і D, тому в цій тріангуляції виникають умови координат, які містять вимогу, щоби значення координат пункту С або D, обчислені за координатами пунктів А або В і вирівняними значеннями кутів, дорівнювали значенням координат.

Умова координат, як правило, не виникає в простих фігурах тріангуляції.

14. Незалежні і залежні умови в тріангуляції

Один надлишково виміряний елемент в тріангуляції може створювати в ній не одну геометричну умову, а декілька.

Так, у чотирикутнику АВСD (рис. 168) при відсутності діагоналі АС було б лише дві умови фігур трикутників

АВD і ВDС:

Наявність діагоналі АС у результаті надлишково виміряних кутів 7 і 8 створює ще сім нових умов: дві умови фігур перекриваючих трикутників АDС і АВС

що з’явилися тільки дві умови незалежні: одна умова фігури трикутника (будь-яка з двох) і одна умова полюсів (будь-яка з п’яти).

Рис. 168. Геодезичний чотирикутник

Дійсно, приймаючи одну умову з двох нових умов фігур трикутників за незалежну, наприклад умову (в), легко переконатися, що умова (г) у цьому випадку буде залежною від умов

(а), (б) і (в). Насправді, додавши рівняння (а) і (б) та віднявши від суми рівняння (в), отримаємо рівняння (г). Якщо ж прийняти умову (г) як незалежну, тоді, звичайно, умова (в) буде залежною від умов (а), (б) і (г).

Так само можна довести і залежність чотирьох полюсних, згаданих вище, якщо прийняти одну з п’яти за незалежну.

Отже, надлишково виміряний елемент тріангуляції може створювати в ній і не одну, а кілька геометричних умов, але з усіх цих умов тільки одна є незалежною. Тому при виборі умовних рівнянь необхідно керуватися от чим:

1)жодне умовне рівняння, яке виникає в даній мережі, не повинно бути залишено без уваги;

2)умовні рівняння повинні бути незалежними в тому сенсі, що жодне з них не повинно бути наслідком решти рівнянь;

3)обрані рівняння мають бути найбільш простими з можливих у даній мережі рівнянь.

404

15. Визначення кількості незалежних умов у тріангуляції графічним способом. Вибір незалежних умов

Для визначення кількості незалежних умов графічним способом роблять креслення даної мережі тріангуляції і відмічають на ньому дугами кути, необхідні для наступного обчислення координат усіх шуканих пунктів. Потім підраховують кількість усіх незалежних умов r, що виникають у даній тріангуляції, яка дорівнює кількості всіх надлишково виміряних кутів. Далі нумерують надлишково виміряні кути і по кожному занумерованому куту визначають незалежну геометричну умову, яка виникає в мережі. Так, у тріангуляції, зображеній на рис. 169, дев’ять надлишково виміряних кутів створюють дев’ять таких незалежних умов:

кут 1 – створює умову фігури трикутника ВDС; кут 2 – створює умову фігури трикутника ЕDС; кут 3 – створює умову фігури трикутника FDE;

кут 4 – створює умову дирекційних кутів (АВ) і (ВС); кут 5 – створює умову базисів АВ і СВ;

гур – 5; горизонту – 1; дирекційних кутів – 1; базисів – 1 і полюса – 1. Окрім зазначеного вище графічного способу, кількість незалежних умов за видами можна порахувати по кресленню, користуючись нижченаведеними правилами.

405

1. Кількість умов фігур трикутників дорівнює кількості трикутників, що не перекриваються, з усіма виміряними в них кутами, доданій до кількості суцільних діагоналей.

При наявності діагоналей для підрахунку кількості умов фігур зручніше використовувати спосіб ходової лінії. У цьому випадку всі пункти мережі з’єднуються загальною ходовою лінією, яка складається із суцільних сторін і проходить через кожен пункт тільки один раз. Тоді кількість умов фігур буде рівною кількості всіх суцільних сторін, які не потрапили в ходову лінію.

2. Кількість умов горизонту дорівнює кількості центральних систем.

3.Кількість умов полюсів дорівнює кількості центральних систем, разом із кількістю діагоналей.

4.Кількість умов дирекційних кутів дорівнює кількості вихідних дирекційних кутів без одного.

5.Кількість умов базисів у тріангуляції, не замкненій вихідними сторонами, дорівнює кількості вихідних сторін (базисів) без однієї. Якщо ж тріангуляція замкнута вихідними сторонами, то кількість умов базисів дорівнює кількості вихідних без трьох. Але у цьому випадку умову полюсів можна замінити більш простими умовами базисів.

Приклад 1. В тріангуляції, зображеній на рис. 170, є: трикутників, що не перекриваються – 6; суцільних діагоналей – 1; центральних систем – 1; вихідних дирекційних кутів – 2 і вихідних сторін – 2. Отже, на підставі викладених вище правил у ній виникає:

………………………………………………….

Приклад 2. В тріангуляції, зображеній на рис. 171, є: трикутників, що не перекриваються – 3; центральних систем – 1; вихідних дирекційних кутів – 3 і вихідних сторін – 3. Отже, в цій тріангуляції виникає:

Якщо надлишково виміряний елемент створює не одну, а дві або кілька геометричних умов, то як незалежну умову можна взяти будь-яку з них. Але для зручності обчислень доцільніше обирати таку, умовне рівняння якого було б більш простим як у складанні, так і в розв’язанні та містило б меншу кількість поправок кутів.

Так, умову базисів, яка виникає в тріангуляції, зображеній на рис. 170, можна обирати так:

(lg AB + lg sin III + lg sin V) – (lg BC + lg sin IV + lg sin I) = 0.

Але цю ж умову базисів можна було б обрати і так:

(lg AB + lg sin II + lg sin XVIII + lg sin XVI + lg sin VII + lg sin V) –

− (lg BC + lg sin VI + lg sin IX + lg sin XI + lg sin XX + lg sin I) = 0.

Будь-яку з написаних двох умов можна взяти як незалежну, але доцільніше, звичайно, брати першу, оскільки

407

вона коротша, а отже, й простіша як у складанні, так і в розв’язанні.

Окрім того, з метою спрощення вирівнювальних обчислень іноді замінюють одні незалежні умови, як менш вигідні для обчислень, іншими,

еквівалентними їм. Наприклад, у тріангуляції,

показаній на рис. 171, незалежну умову горизонту, що включає в себе три кути, можна замінити еквівалентною їй третьою умовою дирекційних кутів, яка включає в себе два кути. Можливість такої заміни можна довести так. Припустимо, що замість

Додавши рівняння (д), отримаємо умовне рівняння горизонту (в). Отже, при заміні двох умов дирекційних кутів

408

і однієї умови горизонту, трьома умовами дирекційних кутів умова горизонту буде залежною, тобто наслідком трьох умов (д).

Так само легко довести, що умову полюса даної мережі, як менш вигідну для обчислень, можна замінити більш простою умовою базисів.

16. Визначення кількості незалежних умов у тріангуляції аналітичним способом

У великих і складних тріангуляціях тяжко простежити за тим, щоби були обрані всі і при цьому тільки незалежні умови. Тому в таких випадках підрахунок кількості незалежних умов доцільніше робити аналітичним способом.

Формули для підрахунку кількості умов у тріангуляції можна отримати, виходячи з таких міркувань.

Позначимо через п – кількість всіх виміряних кутів, т – кількість шуканих пунктів і s – кількість шуканих сторін.

Оскільки для визначення координат одного пункту тріангуляції, крім вихідних даних, необхідно мати два виміряних кути, то для визначення координат т пунктів їх, зрозуміло, необхідно 2т. Отже, кількість усіх умов r, що виникають у мережі, дорівнює кількості надлишково виміряних кутів, визначається за формулою

r = n – 2m. (6.28)

Усі геометричні умови поділяються на синусні, до яких відносять умови полюсів, базисів і координат, і кутові, до яких належать умови фігур, горизонту й дирекційних кутів.

Визначення умов за їх видами (фігур, горизонту, полюсів і т. ін.) при відомій кількості кутових і окремо синусних умов звичайно утруднень не викликає. Тому виведемо формулу для підрахунку кількості разом узятих синусних умов і окремо кутових.

409

Кількість синусних умов дорівнює кількості надлишково шуканих сторін. Якщо б у тріангуляції положення пунктів визначалося не по виміряних кутах, а по виміряних сторонах, то, звичайно, для визначення одного пункту тріангуляції достатньо було б мати дві сторони (не враховуючи, зрозуміло, вихідних сторін). Отже, для визначення т пунктів необхідно мати 2 т сторін. Тоді кількість синусних умов r2, що дорівнює кількості надлишково шуканих сторін, визначається за формулою

r2 = s – 2m. (6.29)

Кількість кутових умов r1 можна визначити як різницю між кількістю всіх незалежних умов r і кількістю синусних умов r2, тобто

Використовуючи формули (6.28), (6.29) і (6.30), можна перевірити правильність виконаного графічним способом підрахунку кількості незалежних умов за видами. Застосовуючи ці формули до тріангуляції, зображеної на рис. 170, отримаємо:

кількість усіх умов

r = п – 2т = 20 – 8 = 12;

кількість синусних умов (у даному прикладі полюсів і базисів)

r2 = s – 2т = 11 – 8 = 3;

кількість кутових умов (фігур, горизонту і дирекційних кутів)

r1 = п – s = 20 – 11 = 9.

Стосовно тріангуляції, зображеної на рис. 171, отримаємо:

r = п – 2т = 9 – 2 = 7;

r2 = s – 2т = 3 – 2 = 1; r1 = п – s = 9 – 3 = 6.

410

Як бачимо, результати графічного і аналітичного підрахунків кількості незалежних умов збігаються.

Наведені формули (6.28) – (6.30) не є загальними. Вони використовуються лише для геодезичних мереж, вихідні дані яких представлені координатами, а виміряні величини

– кутами.

На практиці ж дуже часто вимірюються не тільки кути або напрямки, але й базиси, азимути, а також довжини сторін. У цьому випадку для підрахунку кількості незалежних умов, що виникають у геодезичній мережі, можна користуватися формулами, запропонованими І.М. Герасімовим. Їх виведення ґрунтується на таких міркуваннях.

Положення геодезичного пункту на поверхні визначається двома незалежними елементами мережі (кут, сторона, абсциса і ордината тощо). Будь-який надлишковий незалежний елемент (вихідний або виміряний – однаково) викликає одну незалежну умову. Отже, слід визначити кількість усіх невідомих незалежних елементів (вихідних і виміряних) і відняти кількість необхідних елементів, тобто при вирівнюванні кутів

де R – кількість усіх незалежних умов, що виникають у мережі;

N – кількість усіх відомих незалежних елементів (абсцис і ординат, виміряних кутів, сторін, азимутів і т. ін);

М – кількість усіх пунктів (вихідних і шуканих). Кількість незалежних кутових умов R1 дорівнює кіль-

кості надлишкових орієнтувань у мережі. Звичайно, для визначення R1 необхідно знати загальну і необхідну кількість орієнтувань.

У загальну або відому кількість орієнтувань, крім вихідних дирекційних кутів, необхідно включати виміряні азимути, а також виміряні кути, оскільки кожний кут дає незалежне орієнтування будь-якої сторони. Кожна сторона