Geodeziya_1_chastina_26-09-2011

X P X A Y P Y A ctg AP.

Визначимо послідовність одного з варіантів виведення формули котангенса дирекційного кута:

Якщо до цих рівнянь приєднати два перших рівняння (1), то отримаємо систему чотирьох рівнянь із чотирма невідомими: Ур, αАР, αВР і αСР. Цю систему можна розв’язати відносно невідомого αАР в такій послідовності. Відраховуючи рівняння (3), з рівняння (2) отримаємо рівняння, в якому буде відсутнім УР. Підставивши в отримане рівняння значення невідомі αВР і αСР, знайдені рівняннями (1), будемо мати рівняння з шуканим невідомим αАР . Замінюючи в цьому рівнянні створену суму котангенсів дирекційного і виміряного кутів, скориставшись для цього відомою в тригонометрії формулою

ctg(a b) ctga ctgb 1.

Звільнившись від знаменників і приводячи подібні члени, отримаємо формулу для обчислення шуканого дирекційного кута αАР у вигляді:

На практиці, для здійснення контролю, координати пункту визначаються оберненою засічкою, як мінімум по чотирьох відомих пунктах.

462

Маючи напрямок на четвертий пункт D, можна переконатися у відсутності грубої помилки при польових і камеральних роботах. Для цієї цілі, як і при способі допоміжних кутів, обчислюються вторинні значення координат пункту Р, використовуючи дирекційний кут напрямку DP.

Часто контроль визначення координат пункту Р здійснюють порівнянням значення дирекційного кута αдр , отриманого із третього рівняння (1), з його значенням знайденим із розв’язання оберненої задачі за координатами пунктів P i D та довжиною сторони dpd . Після цього підраховується помилка положення точки Р відносно вихідних пунктів за формулою

" 206265" (величина радіана).

Приклад обчислення оберненої засічки способом котангенса дирекційного кута.

Робочі формули:

X P X A Y P Y A ctg AP.

463

αAP=153 31 14;ctg αBP = − 2.007 493;ctg αBP – ctg αAP = - 2.079 911

(YB−YA) ctg αAP = + 139.2

+

(XA−XB)=−4 419.9YP=7621353.2+(4280.7):(−2.079911)=7623411.3 =−4 280.7

464

19.5. Передача (знесення) координат із вершини знака на землю

При прив’язці полігонометричного (теодолітного) ходу до пунктів тріангуляції, на яких неможливо встановити прилад (церкви, вежі, труби, башти і т. ін), обирають на землі поблизу цих пунктів (на відстані 50 – 100 м від них) точку Р (рис. 175) в такому місці, щоби, крім основного пункту було видно два віддалених пункти вихідної мережі (один із них необхідний для контролю) і зручно було виміряти два базиси для неприступної відстані АР.

Рис. 175. Передача (знесення) координат з вершини знака на землю

Для розв’язання задачі вимірюють базиси b і b' та шість кутів 1, 2 , 1!, 2! , , ! , при цьому другій базис і кути при

ньому використовують для контролю визначення відстані АР і підвищення точності отримання остаточного його значення, а кут δ' – для контролю правильності виконаних вимірювань, виписки вихідних даних і підвищення точності визначення остаточних значень координат точки Р.

Найбільш точно положення точки Р визначається у то-

му випадку, коли кути γ і γ' дорівнюють 90º, а кути δ і δ' −

180º.

Розв’язання задачі здійснюється в такому порядку.

1. Обчислення дирекційних кутів напрямків АВ і АС та віддалей АВ=S і АС=S'.

Маючи координати пунктів А і В, обчислюють

S (xB xA )2 ( yB yA )2 .

Якщо отримані значення S різняться на дві одиниці останнього знака, то за остаточне приймають середнє арифметичне. В іншому випадку необхідно перевірити результати обчислень.

Аналогічно визначають дирекційний кут напрямку АС і відстань АС.

2.Обчислення відстані АР=d.

Неприступну відстань АР=d визначають двічі, розв’язуючи трикутники АРR і АРR'. За теоремою синусів знаходять

межова відносна похибка вимірювання базисів b і b'.

За остаточне значення віддалі АР приймають середнє арифметичне значення

d d1 d2 . 2

3. Обчислення дирекційного кута напрямку АР. Розв’язуючі трикутники АВР і АСР, знаходимо допомі-

жні кути ψ і ψ'

За цими кутами обчислюють два значення дирекційного кута напрямку АР

Знак «+» або «−» в цих формулах береться в залежності від розташування кутів φ і φ' відносно напрямків АВ і АС.

Розходження обчислених значень дирекційних кутів повинно задовольняти нерівності

AP1 AP2 6m ,

де т – середня квадратична похибка вимірювання кута. 4. Обчислення координат точки Р.

За відстанню АР = d і дирекційним кутом αАР знаходять приростки координат

Потім обчислюють координати точки Р

Отримані значення координат не повинні різнитися більше ніж на величину d.

За остаточне значення координат приймають середнє арифметичне значення.

467

Середньою квадратичною похибкою положення точки Р називається середня величина зміщення відносно її точного положення. Визначається за формулою

M mx2 my2 ,

або

M ms2 (S m )2 .

Контрольні запитання та завдання

1.Надайте поняття про елементи приведення виміряних напрямків до центрів знаків.

2.Охарактеризуйте основні способи визначення елементів приведень.

3.Наведіть основні формули визначення елементів приведень.

4.Охарактеризуйте геодезичні мережі спеціального призначення.

5.Як визначити висоту знака?

6.Поясніть порядок складання технічного проекту тріангуляції.

7.Охарактеризуйте підготовчі роботи при складанні проекту тріангуляції.

8.Як розрахувати висоту знаків?

9.Поясніть порядок обстеження пунктів геодезичної мережі.

10.Визначте мету складання попереднього проекту тріангуляції.

11.Охарактеризуйте види полігонометричних ходів.

12.Поясніть порядок проектування полігонометричних хо-

дів.

13.Охарактеризуйте польові роботи при прокладанні полігонометричних ходів.

14.Поясніть сутність вимірювальних обчислень тріангуляції.

15.Визначте геометричні умови і умовні рівняння, які виникають у вільних мережах тріангуляції.

468

16.Визначте геометричні умови і умовні рівняння, які виникають у невільних мережах тріангуляції.

17.Охарактеризуйте незалежні і залежні умови в тріангуля-

ції.

18.Поясніть порядок обчислення допустимих вільних членів умовних рівнянь.

19.Визначте основні методи вимірювання довжин ліній.

20.Поясніть характерні особливості світловіддалемірів першого покоління.

21.Які характерні особливості світловіддалемірів другого покоління?

22.Визначте характерні особливості світловіддалемірів третього покоління.

23.Охарактеризуйте електронно-оптичні і електронні тахеометри.

24.Поясніть порядок обчислення координат точки лінійної засічки за двома вихідними пунктами.

25.Визначте порядок обчислення координат точки лінійної засічки за трьома вихідними пунктами.

26.Визначте способи обчислення прямої теодолітної засічки.

27.Поясніть способи обчислення оберненої теодолітної засічки.

28.Як здійснюється передача (знесення) координат із вершини знака на землю?

29.Визначте порядок обчислення координат оберненої азимутальної засічки за трьома вихідними пунктами.

30.Поясніть порядок обчислення координат точки комбінованим способом (лінійно-азимутальний ланцюг).

31.Охарактеризуйте види геодезичних мереж?

32.Поясніть основні методи побудови геодезичних мереж.

33.Як класифікуються геодезичні мережі?

34.Для чого закладаються геодезичні центри і будуються знаки?

35.Поясніть порядок розшуку геодезичних пунктів.

469

Розділ 7. Картографічні проекції

1. Поняття про картографічні проекції

При переході від фізичної поверхні Землі до її зображення на площині (на карті) виконують дві операції: проектування земної поверхні з її складним рельєфом на поверхню земного еліпсоїда, розміри якого встановлені за допомогою геодезичних і астрономічних вимірювань, і зображення поверхні еліпсоїда на площині за допомогою однієї з картографічних проекцій.

Картографічна проекція – математично визначений спосіб зображення поверхні еліпсоїда на площині – встановлює аналітичну залежність (відповідність) між географічними координатами точок земного еліпсоїда і прямокутними координатами однойменних точок на площині. Ця залежність може бути виражена двома рівняннями:

х = f1 (В, L), у =f2 (В, L), (7.1)

які називаються рівняннями картографічних проекцій. Вони дозволяють обчислювати прямокутні координати х, у зображеної точки за географічними координатами В, L. Кількість можливих функціональних залежностей, а отже, проекцій необмежена. Необхідно лише, щоби кожна точка В, L еліпсоїда зображувалась на площині однозначно відповідною точкою х, у і щоби зображення було безперервним.

Поверхню еліпсоїда (або кулі) неможливо розгорнути в площину без спотворень і розривів, тому, щоб отримати суцільне зображення земної поверхні на площині, необхідно застосовувати картографічні проекції. Безперервність і однозначність зображення досягається за рахунок нерівномірного розтягування (або стиснення), тобто деформації, поверхні еліпсоїда при суміщенні її з площиною. Звідси випливає, що масштаб плоского зображення не може бути постійним. У теорії картографічних проекцій доводиться,

470

що нескінченно мале коло на поверхні еліпсоїда у загальному випадку зображується на площині еліпсом, який називається еліпсом спотворень. Це означає, що масштаб зображення залежить не тільки від положення точки, але може змінюватися в даній точці зі змінною напрямку. Розрізняють головний масштаб моделі, що дорівнює моделі земного еліпсоїда, зменшеного у заданому відношенні для зображення на площині, а також інші масштаби, які називають частковими. Частковий масштаб визначається як відношення нескінченно малого відрізка ds на карті (на площині) до відповідного йому відрізка на поверхні еліпсоїда. Позначимо величину цього відрізка в головному масштабі через dS. Відношення цих величин характеризує спотворення довжин.

Поряд зі спотвореннями довжин розрізняють спотворення площ і кутів. За спотворення площі в деякий точці карти приймають відношення площі еліпса спотворень dP' до площі dP відповідного нескінченно малого круга на еліпсоїді.

Спотворенням кута називають різницю між кутом, створеним двома лініями на еліпсоїді, і зображенням цього кута на карті. Величина спотворення кутів у даній точці характеризується найбільшим значенням цієї різниці.

Проекцій, на яких відсутні спотворення довжин, не існує. Разом з тим існують проекції, вільні від спотворень кутів і площ.

Проекції, які передають величину кутів без спотворень, називають рівнокутними.