Geodeziya_1_chastina_26-09-2011

471

Рівновеликі проекції зберігають площі (еліпси спотворень усюди мають однакову площу), але порушують подібність фігур.

Існують багато проекцій, які не є ні рівнокутними, ні рівновеликими, − їх називають довільними. Але немає і не може бути проекції, яка була б одночасно рівнокутною і рівновеликою. Чим більше спотворення кутів, тим менше спотворення площ і навпаки. Поміж довільних проекцій виокремлюють рівно проміжні, в усіх точках яких масштаб по одному із головних напрямків постійний і дорівнює головному масштабу (наприклад, по меридіанах або паралелях у проекціях, де вони збігаються з головними напрямками). За своїми властивостями довільні проекції знаходяться між рівнокутними і рівновеликими.

В картографічній практиці розповсюджена класифікація проекцій за видом допоміжної геометричної поверхні, яка може бути використана при їх побудові. З цієї точки зору виокремлюють проекції: циліндричні, коли допоміжною поверхнею служить бокова поверхня циліндра, дотичного до еліпсоїда, або січного еліпсоїда; конічні, коли допоміжною площиною є бокова поверхня дотичного або січного конуса; азимутальні, коли допоміжна поверхня – дотична або січна площина.

Проекції, при побудові яких осі циліндра і конуса суміщалися з полярною віссю земної кулі, а площина розміщувалась дотично в точці полюса, називаються нормальними.

За видом нормальної сітки розрізняють також проекції: псевдоциліндричні, в яких паралелі – прямі, паралельні між собою, а меридіани − криві, симетричні відносно середнього прямолінійного меридіана; псевдоконічні, де паралелі – дуги концентричних кіл, а меридіани – криві, симетричні відносно середнього прямолінійного меридіана; поліконічні, паралелі яких – дуги ексцентричних кіл із

472

центрами на середньому прямолінійному меридіані, а меридіани – криві, симетричні відносно середнього меридіана.

Поряд з нормальними сітками в картографії для циліндричних і азимутальних проекцій широко використовують інші орієнтування циліндра і площині: поперечні, коли вісь циліндра знаходиться в площині екватора, а площина торкається кулі в одній з точок екватора; косі, коли вісь циліндра створює з полярною віссю гострий кут, а площина торкається кулі в будь-якій точці між полюсом і екватором.

Вазимутальних проекціях виокремлюють перспективні, отримані проектуванням поверхні кулі на площину за законом перспективи за допомогою променів із точки зору, розташованій на прямій, що проходить через центр кулі перпендикулярно дотичній площині (картинній площині). Розрізняють перспективні проекції: ортографічні, коли точка зору віддалена в нескінченність і проектування здійснюється пучком паралельних променів; в цій проекції ми практично бачимо поверхню Місяця; стереографічні, коли точка зору розташовується на поверхні кулі і діаметрально протилежна точці торкання картинної площини, стереографічна проекція рівнокутна; будь-яке коло на поверхні кулі зображується в цій проекції також колом; гномонічні, коли точка зору знаходиться в центрі кулі; в цій проекції всі великі круги кулі зображуються прямими лініями.

Проекції, які за видом сітки не підходять під вищезазначені, називаються умовними.

Впрактиці сучасної картографії сітки отримують не шляхом геометричних побудов, а аналітичним шляхом. В результаті обчислень за формулами проекції визначають прямокутні координати вузлових точок сітки (точок перетинання меридіанів і паралелей), величину і розподілення спотворень.

473

2. Плоскі прямокутні координати Гаусса

2.1. Загальні відомості

Положення геодезичних пунктів може бути визначено в будь-якій системі координат. Але як основні прийняті геодезична і плоска прямокутна системи. Саме в одній із двох систем, як правило, визначаються координати геодезичних пунктів.

Основною вимогою при виборі системи координат є простота і зручність її використання при розв’язанні практичних задач геодезії. Крім того, система координат повинна бути загальною для достатньо великих ділянок земної поверхні.

Умову загальності найкраще задовольняє система геодезичних координат, тобто система, в який положення точки визначається її широтою В і довготою L; вона може бути розповсюджена як єдина координатна система на всю поверхню земного еліпсоїда. При вивченні фігури Землі й визначенні її розмірів, а також при розв’язанні геодезичних задач, пов’язаних із великими відстанями, система геодезичних координат найбільш доцільна. В цій системі звичайно отримують координати пунктів астрономогеодезичної мережі; крім того, вона служить основою для переходу до будь-якої системи координат на поверхні еліпсоїда.

Але система геодезичних координат незручна для широкого використання в практичних цілях. Дійсно, взаємне положення пунктів у цій системі визначається в кутових одиницях (градусах, мінутах і секундах широт і довгот), тоді як на земній поверхні відстані між пунктами вимірюються (або задаються) завжди тільки в лінійному вимірі. До того ж кутові одиниці вимірювання широт і довгот мають різне лінійне значення в залежності від широти пункту; напрямки меридіанів, від яких відраховуються азимути,

474

не паралельні між собою. Обчислення з використанням геодезичних координат, навіть при малих відстанях між пунктами, доволі трудомісткі, оскільки існує складна залежність між координатами точок, відстанями й азимутами.

Для практичного використання найбільш зручна система плоских прямокутних координат. В цій системі залежність між координатами точок, відстанями і напрямками між ними виражена простими формулами аналітичної геометрії і прямолінійної тригонометрії, що суттєво спрощує обчислення.

Але використання прямокутних координат замість геодезичних потребує переходу від поверхні земного еліпсоїда на площину. Поверхню еліпсоїда розгорнути на площину без розривів неможливо, у її можна зобразити на площині лише в тій чи іншій проекції.

При виконанні геодезичних робіт надають перевагу конформній (рівнокутній) проекції, яка володіє властивістю зберігати подібність нескінченно малих фігур.

Відомо, що в подібних фігурах відповідні кути збігаються, а збіжні сторони пропорційні. Тому в конформних проекціях масштаб постійний у нескінченно малій частині навколо точки і величини кутів фігур будь-яких розмірів не спотворюються.

Теорія конформного зображення з використанням плоских прямокутних координат була розроблена в 1822 році відомим математиком К.Ф. Гауссом.

В СРСР система плоских прямокутних координат Гаусса для прямокутних координат Гаусса для топографогеодезичних робіт була прийнята у 1928 р.

Територія України переноситься на площину в проекції Гаусса частинами. Такими окремими частинами є меридіанні зони. Кожна зона являє собою сфероїдний двокутник, створений двома меридіанами з різницею довгот 6°. Середній меридіан зони називається осьовим меридіаном. Гра-

475

ничні меридіани кожної шестиградусної зони збігаються з меридіанами, які обмежують західну і східну сторони рамки карти масштабу 1 : 1 000 000. Отже, осьові меридіани кожної зони збігаються з середніми меридіанами аркушів карти цього масштабу.

Довготи осьових меридіанів шестиградусних зон можна вирахувати за формулою

Lо = 6n – 3°, (7.4)

де n – номер зони, тобто довготи осьових меридіанів 1, 2, 3, ... зон відповідно дорівнюватимуть 3°, 9°,15°, …

Кожна зона зображується на площині самостійно, але за одним і тим же законом.

Проекція Гаусса для окремої зони характеризується такими основними властивостями:

1.Осьовий меридіан зони зображується на площини прямою лінією, що приймається за вісь абсцис. Початком координат є точка перетину осьового меридіана з екватором, зображення якого на площині у вигляді прямої лінії береться за вісь ординат.

2.Масштаб зображення вздовж осьового меридіана постійний і дорівнює одиниці. Отже, абсциси точок осьового меридіана дорівнюють довжинам його дуг від екватора до цих точок на еліпсоїді.

3.Кутові спотворення в проекції відсутні, тобто вона рівнокутна. При цьому нескінченно мала фігура на еліпсоїді зображується подібною до неї фігурою на площині.

2.2.Зображення геодезичної мережі на площині в проекції Гаусса

Нехай на еліпсоїді задана геодезична мережа у вигляді тріангуляції ABCDE (рис. 176, а), в якій відомі геодезичні координати В і L одного з пунктів, наприклад А, довжина сторони АВ, геодезичний азимут цього напряму, а також усі кути трикутників.

476

При зображенні цієї мережі на площині в проекції Гаусса на рис. 176, б отримаємо таку картину.

Осьовий меридіан ОР зони, в якій розташована мережа, і екватор OQ зобразяться двома взаємно перпендикулярними прямими ох і оу, що є осями координат. Проекціями сфероїдних трикутників ABC, BCD, ... є плоскі трикутники abc, bcd, ... з криволінійними сторонами, що не збігаються з відповідними сторонами на еліпсоїді, але утворюють кути, які збігаються з проектованими. Меридіан АР точки А зобразиться на площині кривою ар.

Рис.176. Зображення геодезичної мережі

Розв’язати плоскі трикутники з криволінійними сторонами не видається можливим. Тому криві сторони замінюють хордами, що їх стягують. Тоді сфероїдний трикутник, наприклад ABC, зобразиться плоским із прямолінійними сторонами, і його обчислення не викличе ніяких утруднень. Але при цьому слід мати на увазі, що кути трикутників, утворені кривими сторонами, не дорівнюють кутам, утвореним хордами, що стягують їх. Тому перші необхідно виправити відповідними поправками. Практично поправки вводяться не в кути, а в напрямки. Малий кут між кривою, що зображує цю сторону на площині (наприклад, amb), і її хордою (ab) є поправкою щодо напрямку, яку прийнято називати поправкою за кривизну зображення геодезичної лінії. Вона позначається буквою δ. Поправка

477

δab = δ 'ab означає поправку в напрямок за кривизну зображення цієї лінії на площині в проекції Гаусса.

Зображення лінійних елементів на площині в цій проекції виходять загалом значно спотвореними. Тому при проектуванні довжин ліній фігур з еліпсоїда на площину в проекції Гаусса в ці довжини вводяться поправки, які називаються редукціями відстаней.

Орієнтування ліній у плоскій прямокутній системі координат відносять до додатного напрямку осі абсцис. Якщо через точку а провести пряму ах1, паралельну осі абсцис, то між цією прямою і зображенням меридіана ар точки а утворюється кут γ, який називають зближенням меридіанів. Легко помітити, що кут γ необхідний для переходу від геодезичного азимута А до дирекційного кута α, складеного додатним напрямком лінії, паралельної осі абсцис, і даним напрямком (хордою ab).

Отже, при перенесенні геодезичної мережі з еліпсоїда на площину в проекції Гаусса необхідно виконати таке:

1.Обчислити поправки до довжин виміряних сторін для перенесення їх з еліпсоїда на площину.

2.Обчислити поправки δ до виміряних напрямків щодо кривизни зображення геодезичних ліній (сторін трикутників) на площині в проекції Гаусса.

3.Обчислити кути зближення меридіанів на початкових пунктах і перейти від геодезичних азимутів заданих напрямків до відповідних їм дирекційних кутів.

4.Здійснити перехід від геодезичних координат В і L початкових пунктів до плоских прямокутних координатах

хі у, тобто переобчислити геодезичні координати в плоскі прямокутні.

Підготувавши в такий спосіб усі необхідні дані, можна обчислювати геодезичну мережу не на поверхні еліпсоїда, а на площині за більш простими формулами.

478

Перейдемо тепер до детальнішого розгляду питань, пов’язаних із проектуванням геодезичних мереж на площину в проекції Гаусса.

2.3. Формули для переходу від відстані на еліпсоїді до відстаней на площині

2.3.1. Масштаб зображення в проекції Гаусса

Перехід від відстаней на еліпсоїді до відстаней на площині в проекції Гаусса пов’язаний із поняттям масштабу зображення. Тому заздалегідь виведемо формулу масштабу зображення в проекції Гаусса.

Масштаб проекції, взагалі кажучи, величина змінна. Він змінюється при переході від однієї точки до іншої і є функцією координат цієї точки. Якщо, наприклад, S – довжина лінії на поверхні еліпсоїда і D відповідна їй довжина лінії на площині, то масштаб m буде різний для кожного нескінченно малого елемента взятої лінії. Відношення нескінченно малого відрізка dD лінії на проекції до відповідного нескінченно малого відрізка dS на поверхні еліпсоїда, тобто

називається масштабом зображення у напрямку обраних елементів. Величина і ступінь змінності масштабу зображення є мірилом спотворення лінійних елементів на проекції в окремих її частинах.

Масштаб проекції Гаусса в даній точці можна отримати так.

Нехай А і В (рис. 177) – нескінченно близькі між собою точки, узяті на поверхні земної кулі на деякій віддалі від осьового меридіана РОР1 (осі сферичних абсцис); точка О

– початок прямокутних сферичних координат. Положення точки А на поверхні сфери визначається: дугою ОА0 = ХА –

479

сферичною абсцисою і дугою AA0 = YA – сферичною ординатою; положення ж точки В – відповідно координатами XA + dX і YA+dY, де dX і dY – нескінченно малі прирости координат точки В відносно точки А. Відстань між цими точками дорівнює dS.

Якщо через точку А провести дугу рАр1 малого круга, паралельну осьовому меридіану РОР1, то на сфері вийде нескінченно малий трикутник ABC із прямим кутом при точці С.

Рис. 177. Масштаб зображення

Нехай тепер трикутник ABC зобразився на площині проекції конформно у вигляді нескінченно малого трикутника abc, тобто відповідні кути цих трикутників збігаються між собою. Точки а, b і с будуть зображеннями на площині проекції відповідно точок А, В і С. Осями координат тут будуть прямі ох і оу, що є зображеннями осьового меридіана РОР1 і екватора QOQ1, а координатами точок а і b – ха, уа і xa + dx, уа + dy. Відстань між точками дорівнює dD. Точка с має ординату, що дорівнює ординаті точки а, оскільки відрізок АС дуги малого круга (лінії рівних ординат) зобразиться на площині відрізком ас прямої, паралельної осі абсцис.

480

З рисунка видно, що зображення плоского трикутника abc на площині буде перебільшене у порівнянні з трикутником ABC. Збільшення масштабу проекції в точці А найнаочніше виявляється з порівняння відрізка ас на площині з відрізком АС дуги малого круга на сфері. Дійсно, лінії сферичних ординат точок А і В у міру видалення від осьового меридіана поступово зближуються між собою, тоді як плоскі ординати проекцій тих же точок залишаються паралельними і знаходяться один від одної на відстані, що дорівнює різниці абсцис цих точок (dX).

Отже, за умовою побудови проекції Гаусса, елементарний відрізок ас або dx, що дорівнює відрізку dX дуги осьового меридіана, буде завжди більше від елементарного відрізка АС на сфері.

Однією з властивостей проекції Гаусса, як уже зазначалось, є подібність нескінченно малих фігур еліпсоїда їх проекціям на площині, тобто, наприклад, коло нескінченно малого радіусу зобразиться на площині також колом. Отже, масштаб в точці А повинен бути однаковим, незалежно від напрямку лінійного елемента. Звідси можна зробити висновок, що масштаби по напрямках АВ і АС повинні збігатися. Аналітично це положення запишемо так:

Враховуючи позначення ab = dD, AB = dS, а також вимогу проекції Гаусса про те, щоб масштаб уздовж осьового меридіана дорівнював одиниці, тобто щоб ac =a0b0=A0B0, рівність (7.6) запишемо в такому вигляді: