Geodeziya_1_chastina_26-09-2011

451

Y B Y A ctg X B X A . ctg ctg

Якщо в цих формулах перенести ХА і УА в праву частину і здійснити зведення подібних членів, то отримаємо більш зручні формули для обчислення координат шукано-

називають формулами Юнга.

При обчисленні координат за визначеними формулами необхідно дотримуватися порядку позначень, прийнятого при виведенні, а саме: якщо дивитися з вихідної сторони на шуканий пункт Р, то ліворуч повинен бути вихідний пункт А і кут α, а праворуч – пункт В та кут β. Якщо позначити вершини трикутника в іншому порядку, то формули змінюють свій вигляд.

Правильність обчислення координат шуканого пункту можна перевірити отриманням абсциси або ординати одного з вихідних пунктів, якщо вважати шуканий та другій із вихідних пунктів даними. Тоді для абсциси, наприклад, пункту В, будемо мати формулу:

Для забезпечення польового контролю координати пункту Р визначаються з трьох вихідних пунктів, тобто обчислюються двічі (з двох трикутників).

452

Приклад обчислення координат пункту:

Розбіжність у значеннях координат шуканого пункту, отриманих із різних трикутників, не повинна перевищувати визначеного для даного виду геодезичних робіт; вона є як польовим, так і обчислювальним контролем.

Порядок обчислення комбінованої засічки залишається такий самий, як і для прямої засічки.

19.4.1.3. Обчислення прямої засічки за формулами котангенсів дирекційних кутів

Якщо засічка здійснена з вихідних пунктів, між якими немає видимості, то в результаті польових вимірювань немає можливості отримувати кути трикутників. У цьому випадку координати шуканого пункту доцільно обчислювати безпосередньо за координатами вихідних пунктів і дирекційним кутам напрямків із вихідних на шукані пунк-

ти.

Нехай дані дирекційні кути

αар і αвр напрямків АР і ВР та координати вихідних пунктів А

і В. Необхідно визначити координати пункту Р.

453

Із формул оберненої геодезичної задачі випливають такі рівняння :

Відраховуючи від першого рівняння друге та розкривши дужки, отримаємо:

X A X B Y P ctg BP Y B ctg BP Y P ctg AP Y A ctg AP,

або

X A X B Y P ctg BP ctg AP Y B ctg BP Y A ctg AP,

звідси

Це рівняння не буде порушено, якщо до чисельника його правої частини додати і одночасно відняти один і той самий член : Y B ctg AP . Тоді:

Отримавши з цього виразу ординату шуканої точки, обчислюють її абсцису за формулою

X P X A Y P Y A ctg AP.

Контроль обчислення шуканих координат можна здійснити додатковим обчисленням ординати точки Р за контрольною формулою

454

X X

Y P Y B ctgP B .

BP

Зазначимо: якщо величина ctg AP є великим числом, то

похибка закруглення обчисленого значення ординати Ур може викликати значну похибку абсциси Хр.

При визначенні абсциси Хр необхідно надавати перевагу тому дирекційному куту, котангенс якого менше. Отже, не однаково, який із вихідних пунктів вважати за пункт А. Через А позначається той вихідний пункт, напрямок з якого на шуканий пункт Р створює з віссю абсцис менш гострий кут.

Для контролю польових вимірювань і підвищення точності координат шуканого пункту отримують із трьох вихідних пунктів. Поєднуючи три напрямки по два, можна отримати три комбінації.

Приклад обчислення координат пункту:

455

Здебільшого обирають такі пари напрямків, кожна з

яких створює на шуканому пункті кут, більш близький до

900.

19.4.2. Обернена засічка

Визначення пункту оберненою засічкою, на відміну від прямої і комбінованої, здійснюється по кутах, виміряних тільки на шуканому пункті.

Для обчислення координат пункту Р необхідно мати як мінімум три вихідних пункти, наприклад А, В і С, та два виміряних кути α і β. Щоб перевірити правильність отриманих координат, окрім кутів α і β, вимірюють контрольний кут ε . Таким чином, для визначення одного пункту оберненою засічкою необхідно мати чотири вихідних пункти − А,В,С і К .

При проектуванні оберненої засічки слід мати на увазі, що рішення буде невизначеним, якщо шукана точка знаходиться на колі, яке проходе через три вихідних пункти, оскільки з будь-якої точки цього кола (наприклад Р і Р!) сторони АВ і ВС будуть спостерігатися відповідно під кутами α і β. Якщо шуканий пункт буде знаходиться поблизу кола АВС, то рішення буде ненадійним. Шуканий пункт повинен бути віддаленим від кола, яке проходить через три вихідних пункти, принаймні на 1/5 довжини її радіуса (площа, на яку недоцільно проектувати визначення пунктів оберненими засічками, на рисунку заштрихована). Най-

456

більш надійно визначається засічкою пункт, який розташовується всередині трикутника, створеного трьома вихідними пунктами А, В і С або знаходиться на одній з його вершин (між продовженнями сторін).

Сьогодні відомо багато способів визначення координат пункту оберненою засічкою. Розглянемо два способи: спосіб допоміжних кутів і спосіб котангенса дирекційного кута.

19.4.2.1. Спосіб допоміжних кутів

Нехай на шуканому пункті Р виміряні горизонтальні кути α, β і ε між напрямками на вихідні пункти А, В, С і D.

Необхідно визначити за цими кутами і координатами вихідних пунктів координати пункту Р.

З рисунка видно, що якщо будуть знайдені допоміжні кути γ і δ, тоді неважко буде знайти і дирекційні кути напрямків із вихідних пунктів на шуканий, а потім обчислити шукані координати пункту Р за формулами котангенсів дирекційних кутів.

Для відшукування кутів γ і δ розглянемо чотирикутник АВСР. Легко встановити, що:

3600 B .

(1)

При цьому кут В визначається за вихідними дирекційними кутами:

B BA BC.

Щоби знайти кожний із допоміжних кутів, які входять до рівняння (1), необхідно скласти ще одне рівняння з невідомими γ і δ. З трикутника АВР на підставі теореми синусів можна записати:

Користуючись останнім рівнянням , складемо похідну пропорцію:

Знайдену за цією формулою напіврізницю кутів γ і δ та знаючи їх суму, знайдену за формулою (1), а отже, й напівсуму, легко отримати значення кожного із кутів із виразу:

Використовуючи значення допоміжних кутів γ і δ, а також виміряних кутів α, β і ε, можна обчислити дирекційні кути напрямків із вихідних пунктів на шуканий за такими формулами, які легко встановити з рисунка:

CP CB ,

DP AP .

За отриманими значеннями дирекційних кутів і координатами вихідних пунктів за формулами (див. обчислення прямої засічки)

X P X A Y P Y A ctg AP.

двічі обчислюють координати шуканого пункту Р.

Щоб за збіжністю обчислених значень координат пункту Р проконтролювати не тільки правильність самих обчи-

459

слень, але й результатів вимірювання кутів, бажано одне зі значень координат отримати, використовуючи дирекційний кут надлишкового напрямку DP. Відсутність грубої помилки при визначенні координат пункту Р може бути перевірена також порівнянням значень дирекційного кута αdp, обчисленого за формулою (2), з його значенням, знайденим із рішення оберненої задачі за координатами пунктів Р і D. Для контролю можна також використовувати формулу

X X

Y P Y B ctgP B .

BP

Приклад обчислення оберненої засічки способом допоміжних кутів:

460

Обчислення координат

19.4.2.2. Спосіб котангенса дирекційного кута

Сутність цього способу знаходження оберненої засічки полягає в безпосередньому обчисленні дирекційного кута напрямку АР, не обчислюючи допоміжні кути.

З рисунка видно, що, знаючи дирекційний кут αАР, можна

легко визначити дирекційні кути напрямків з усіх інших вихідних пунктів, а саме:

DP AP .

Потім, як і при застосуванні допоміжних кутів, обчислюють шукані координати за формулами (див. обчислення прямої засічки)