Geodeziya_1_chastina_26-09-2011

491

нені увігнутістю у бік осьового меридіана (осі абсцис), як це показано на рис. 180, а.

Рис. 180. Знаки поправок δ за схемою мережі

При використанні схеми знак поправки δab визначається так. Якщо при переході від дотичної Аb (рис. 180, б) в початковій точці кривої Аσ1В до хорди АB відлік напрямку чисельно збільшується, то поправка δab має знак плюс; якщо ж відлік напрямку зменшується, то поправка, наприклад δac, має знак мінус. Це правило зазвичай використовується для контролю визначення знаків шуканих поправок

δ.

Поправка кута на кривизну зображення геодезичних ліній обчислюється так само, як і величина самого кута по виміряних напрямках, тобто вона дорівнює різниці поправок у напрямки, що утворюють цей кут. Так, поправка кута А трикутника ABC

δa = δac - δab,

де δac і δab – поправки в напрямки АС і АВ.

2.5. Залежність між азимутом і дирекційним кутом одного і того ж напрямку

При орієнтуванні геодезичних ліній еліпсоїда вихідним орієнтуючим напрямком служить геодезичний меридіан.

492

Напрямок якої-небудь лінії відносно меридіана визначається її геодезичним азимутом, тобто кутом між північним напрямком меридіана, проведеним через початкову точку лінії, і даною лінією. Нехай точки В, С і D (рис.181) належать одній геодезичній лінії; криві ВР і СР – геодезичні меридіани точок В і С. Тоді кут РВС=Аbc буде геодезичним азимутом напрямку ВС в точці В, а кут PCD = Acd – азимутом напрямку CD в точці С.

Оскільки меридіани ВР і СР точок В і C між собою не паралельні, то і кути Аbс і Aсd не дорівнюють один одному, причому кут Aсd більше від кута Аbс.

Отже, одна і та ж геодезична лінія в різних своїх точках має різні азимути; тому при орієнтованні її по азимуту необхідно вказувати початкову точку напрямку, для якого визначається азимут.

Рис. 181. Геодезичне зближення меридіанів точок В і С

Для орієнтування лінії в будь-якій її точці практично зручніше визначати орієнтуючі кути не від меридіанів точок, а від напрямків, паралельних якому-небудь одному меридіану, а отже, паралельних між собою. У такому разі всі орієнтуючі кути однієї і тієї ж лінії в різних її точках будуть рівні між собою і напрямок кожної лінії визначатиметься тільки однім орієнтуючим кутом.

493

При проектуванні геодезичних мереж з еліпсоїда на площину в проекції Гаусса так і роблять: середній меридіан зони, в якій розташована оброблювана мережа, приймають за осьовий меридіан і орієнтування усіх ліній в зоні здійснюють по кутах, що утворюються цими лініями з напрямками, паралельними осьовому меридіану. Якщо, наприклад, меридіан точки B вважати осьовим, то в точці С для орієнтування відрізка CD орієнтуючий кут відраховується не від меридіана цієї точки, а від напрямку СТ, паралельного осьовому меридіану ВР (від геодезичної паралелі).

Кут TCD = Tсd, що утворений в цій точці геодезичною паралеллю осьовому меридіану і шуканим напрямком, називається дирекційним кутом цього напрямку на еліпсоїді.

Для точки, взятої на осьовому меридіані, очевидно, дирекційний кут будь-якої лінії дорівнює її азимуту. Для точок, що розташовані в стороні від осьового меридіана, дирекційні кути шуканих напрямків різняться від їх азимутів на величину кута γs, який називається геодезичним зближенням меридіанів.

Рис. 182. Зв’язок між азимутом і дирекційним кутом

Геодезичне зближення даного й осьового меридіанів, тобто кут, утворений у цій точці її меридіаном і перерізом поверхні еліпсоїда в цій точці, паралельним осьовому ме-

494

ридіану, можна розглядати як азимут північного напрямку геодезичної паралелі.

На рис. 181 кут γs зображений як кут між меридіаном СР точки С і напрямком СТ, паралельним ВР. Як видно з рисунка,

Така залежність між геодезичним азимутом і дирекційним кутом одного і того ж напрямку на еліпсоїді.

При орієнтуванні напрямків на площини в проекції Гаусса початковим орієнтуючим напрямком є зображення осьового меридіана (прямою, що приймається за вісь абсцис на площині). В цьому випадку всі шукані напрямки при їх орієнтуванні відносять до додатного напрямку осі абсцис.

Нехай точки c і d (рис. 182) є зображеннями на площині в проекції Гаусса точок С і D еліпсоїда; крива ср – зображення меридіана СР, що проходить через точку С; cσd – зображення на площині геодезичної лінії CD еліпсоїда; сx′

– пряма, паралельна осі абсцис ох на площині.

Кут x’cd= αcd, що утворюється лінією х'с, паралельною осі абсцис, і прямою cd, що з’єднує кінці зображення геодезичної лінії cσd, називається дирекційним кутом цієї прямої на площині. Відлік дирекційних кутів здійснюється аналогічно азимутам: від додатного напрямку осі абсцис або ліній, їй паралельних, за рухом годинникової стрілки від 0 до 360°.

Кут γc між зображенням меридіана точки С і прямою сх', паралельною осі абсцис (тобто азимут в цій точці додатного напрямку осі абсцис), називається зближенням меридіанів на площині або гауссовим зближенням меридіанів. У практиці його зазвичай називають просто зближенням меридіанів у даній точці.

Зближення меридіанів вважається додатним для усіх точек, що розташовані на схід від осьового меридіана

495

(рис. 182, б), і від’ємним – для точок, що розташовані на захід від осьового меридіана (рис.182, а), тобто кут γ має завжди той же знак, що й ордината даної точки.

Внаслідок рівнокутності проекції кут між зображенням меридіана ср точки С і зображенням cσd геодезичної лінії CD, яка дорівнює геодезичному азимуту Асd цієї лінії, що дозволяє, знаючи зближення меридіанів, переходити від геодезичного азимута лінії на еліпсоїді до дирекційного кута прямої cd на площині, і навпаки.

Безпосередньо з рис. 182, б випливає, що

Отже, для переходу від геодезичного азимута лінії на еліпсоїді до дирекційного кута прямої на площині необхідно від геодезичного азимута алгебраїчно відняти зближення меридіанів в початковій точці напрямку й алгебраїчно додати поправку на кривизну зображення геодезичної лінії, обчислену для шуканого напрямку.

2.6. Обчислення кута зближення меридіанів

Нехай точка А (рис. 183) на поверхні еліпсоїда задана широтою В і довготою l від осьового меридіана PQ деякої зони; PA – меридіан і AA1 – паралель даної точки, що перетинає осьовий меридіан у точці А1; крива AT – переріз поверхні еліпсоїда площиною, паралельною площині осьового меридіана PQ (геодезична паралель осьовому меридіану); AT1 – дотична до геодезичної паралелі АТ; АМ і А1М – дотичні до меридіанів у точках А і А1; γ – геодезичне зближення меридіанів точок А і А1, що дорівнює куту при точці А між меридіаном АР і геодезичною паралеллю AT.

При досить малій довготі l точки А можна вважати, що дотична розташована в площині трикутника АА1М і паралельна площини осьового меридіана. Тому вважатимемо, що кут МАТ1, або γ, дорівнює куту AMA1.

496

Помітимо, що кути γ і l спираються на одну і ту ж дугу AA1 паралелі.

Довжина дуги АА1 паралелі з різницею довгот l визначається формулою

З іншого боку, вважаючи фігуру AMA1 плоским сектором з радіусом AM і центральним кутом γ, довжину тієї ж дуги АА1 можна визначити з рівності

S AM .

Рис. 183. Кут зближення меридіанів по географічних координатах

Якщо врахувати, що у прямокутного трикутника АМn

497

Прирівнявши обидва значення дуги АА1, що визнача-

Така формула для визначення зближення меридіанів по географічних координатах В і l.

Кут зближення меридіанів γ виражається в тих же кутових одиницях, що й різниця довгот l, і має той самий знак, що й l.

Якщо, наприклад, геодезичні координати деякої точки визначаються величинами: широта B = 58° 12′,5 і довгота L = = 36°16′,3, то ця точка розташована в 7-й шестиградусній зоні, довгота осьового меридіана якої L0 = 6°·п – 3° = 39°.

Отже, різниця довгот цієї точки і осьового меридіана

зони L L0 36o 16 ,3 39o 20 43 ,7 ,

а шуканий кут зближення меридіанів в цій точці

l sin B 163 ,7 0,8500 139 ,1 2019 ,1.

Помилка значення кута γ, обчисленого за формулою

(7.32), при l≤3° не перевищує 4", а при l≤ 1°,5 – 0",5.

Якщо відомі не геодезичні координати В і l точки А, а плоскі прямокутні х і у, то обчислення кута γ здійснюють за формулою з плоскими прямокутними координатами. Щоб отримати таку формулу, в рівності (7.32) величини l і В замінимо так.

Знаючи, що кут l досить малий, замінимо невідому широту В точки А (рис. 184) широтою Во точки Ао, що розташована на осьовому меридіані й має абсцису, що дорівнює абсцисі х даної точки А. Широту Вo за наявністю абсциси точки А можна вважати відомою, оскільки її легко визначити, користуючись таблицями дуг меридіана.

498

Рис. 184. Кут зближення меридіанів по плоских координатах

Ординату у точки А приблизно можна вважати рівною довжині дуги S паралелі з широтою Во і різницею довгот l. Тоді

S y No cos Bo l ,

звідки

де No – радіус кривизни під широтою Вo перерізу першого вертикала, що дорівнює довжині нормалі.

Після підставляння цього значення l у формулу (7.32), вважаючи при цьому, що В= Вo, отримаємо

499

Для точок однієї паралелі кут зближення меридіанів можна вважати пропорційним ординаті у, як це видно з

формули (7.33), а вираз tgBo , що залежить тільки від х

No

даної точки, можна розглядати як коефіцієнт пропорційності.

Якщо ординату у виразити в кілометрах, довжину нормалі – в метрах, а шуканий кут γ – в мінутах, то замість формули (7.33) отримаємо:

tgB0 1000yки

N0

ли для обчислення кута зближення меридіанів мають вигляд:

за наданими географічними координатами –

за заданими плоскими прямокутними координатами –

3. Перетворення координат

3.1. Перетворення плоских прямокутних координат із однієї шестиградусної зони проекції Гаусса в суміжну шестиградусну зону

У практиці геодезичних робіт доволі часто мережі тріангуляції, полігонометричні ходи і геодезичні лінії, особ-

500

ливо великої протяжності, виходять за межи однієї зони, тобто спираються своїми кінцями на пункти, розташовані в різних координатних зонах і, отже, задані в різних системах координат. Зрозуміло, що різносистемні координати непридатні для сумісного використання в геодезичних роботах: спочатку вони повинні бути зведені в одну систему, тобто до одного осьового меридіана.

Отже, наявність шестиградусних координатних зон, на яких ділиться земна поверхня при використанні плоских прямокутних координат у проекції Гаусса, призводить інколи до необхідності перетворювати ці координати із системи однієї зони в систему іншої зони.

Задача перетворення координат із зони в зону полягає в тому, що за даними плоскими прямокутними координатами хІ, уІ точки А в системі однієї зони визначаються координати хІІ, уІІ тієї ж точки А в системі іншої, звичайно суміжної зони (рис. 185).

Для її розв’язання існує кілька різних способів. Можна, наприклад, переобчислення координат хІ, уІ точки А із зони

з осьовим меридіаном LI0 перенести в суміжну зону з осьовим меридіаном LII0 через геодезичні координати, тобто

спочатку перетворити плоскі прямокутні координати хІ, уІ в геодезичні ВІ і lІ, потім віднести отримані геодезичні координати до осьовому меридіану сусідньої зони (в нашому прикладі ВІІ=ВІ, lІІ = lІ - 6°) і, нарешті, перетворити геодезичні координати ВІІ і lІІ в плоскі прямокутні координати хІІ і уІІ. Однак таке розв’язання доволі трудомістке, тому ним можна скористатися лише у тих випадках, коли необхідно перетворити координати невеликої кількості пунктів.

При значній кількості пунктів переобчислення координат із зони в зону здійснюють за спеціальними таблицями, що значно спрощує роботу.