Geodeziya_1_chastina_26-09-2011

501

Рис. 185. Координати точки А в різних зонах

Протягом кількох років різними авторами (А.М. Віровець, Б.Н. Рабінович, А.А. Тімофєєв, Є.Є. Бірюков, В.Л. Коган та ін.) складено багато таблиць. Але всі вони дозволяють виконувати перетворення координат із зони в зону для пунктів, віддалення яких від осьового меридіана не перевищує 3°30′, тобто у смузі шириною біля 30′ на схід і на захід від роздільного меридіана.

При підготовці вихідних даних для розв’язання задач на великі відстані необхідність у перетворенні координат пунктів виникає у більш широкий смузі на стиках зон. У цьому випадку застосування вищезазначених таблиць або обмежене, або взагалі неможливе.

Найбільш зручні для цієї цілі таблиці В.П. Морозова. Вони дозволяють виконувати переобчислення координат пунктів із однієї шестиградусної зони проекції Гаусса в суміжну шестиградусну зону в смузі перекриття, що дорівнює ширині зони.

При користуванні зазначеними таблицями для перетворення прямокутних координат із однієї шестиградусної зони в іншу використовують такі формули:

502

xII xI co c x c (k)x k (c2 )x c2 (ck)x ck (k 2 )x k 2(c2k)x c2k (ck2 )x ck2 (k3 )x 0.1k3

yII yI ko (c)y c (k)y k (c2 )y c2 (ck)y ck (k 2 )y k 2

(c2k)y c2k (ck2 )y ck2 (k3 )y 0.1k3.

де хІ, уІ – відомі координати пункту, які необхідно перетворити; хІІ, уІІ – невідомі координати того ж пункту в системі сумі-

жної зони;

с = (хІ – х0) · 10 -5

k = (уІ – у0) · 10 -5 – інтерполяційні множники; х0 – найближча до хІ таблична абсциса;

у0 – таблична ордината, зазначена під значенням х0. Величини с0, k0, (с)х, (с)у, (k)х, (k)у, …, (k3)у є членами

рядів розкладу функції координат за ступенями різниці довгот осьових меридіанів. Вони дозволяють увести в координати пунктів, які необхідно перетворити в систему суміжної зони, поправки на поворот координатних осей і на зміну масштабу зображення в проекції Гаусса.

Значення величин с0, k0, (с)х, (с)у, (k)х, (k)у, …, (k3)у вибирають із таблиць без інтерполяції за аргументами х0, у0.

У коефіцієнтів, поданих у таблиці з подвійними знаками, верхні знаки використовуються при переході з західної зони в суміжну східну.

Для контролю обчислень перетворення координат доцільно здійснювати двічі, тобто після перетворення із західної зони в східну виконують зворотний перехід – із східної в західну з метою отримання вже відомих координат.

Надійний контроль надає також використання при обчисленнях двох систем коефіцієнтів, які відповідають двом аргументам, один з яких х0<хІ, а другий х0>хІ.

Точність переобчислення координат за вказаними вище таблицями залежить від величини k (принаймні при переході в суміжну зону вони дозволяють перетворити коорди-

503

нати з точністю до 1 м). Існують і більш точні формули та відповідні їм таблиці.

3.2. Перетворення геодезичних координат у плоскі прямокутні координати Гаусса

Щоби перетворити геодезичні координати в плоскі прямокутні координати, необхідно встановити математичну залежність між відомими геодезичними координатами В

іL деякої точки А еліпсоїда і невідомими плоскими прямокутними координатами Гаусса х і у тієї ж точки. Скористаємося для цього системою прямокутних сферичних координат як перехідною, тобто спочатку встановимо зв’язок відомих і невідомих величин із прямокутними сферичними координатами Х і Y.

Залежність між плоскими прямокутними і сферичними координатами однієї і тієї ж точки, як уже зазначалося, виражається формулою (7.13). Якщо тепер прямокутні сфероїдичні координати виразити через геодезичні (географічні)

іпотім прийняти сфероїдичні прямокутні координати точки на еліпсоїді такими, що збігаються зі сферичними прямокутними координатами, та підставити ці вирази у рівняння (7.13), можна вважати, що задача буде розв’язана. Такий шлях виведення формул, що визначають залежність між географічними і плоскими прямокутними координатами, був наданий Б.С. Кузьміним.

Поверхня земного еліпсоїда близька до сферичної, тому для спрощення виведення приймемо її за поверхню кулі з радіусом, що дорівнює довжині нормалі N в даній точці. Тоді, вважаючи, що сферична ордината Y точки А (рис.

186) приблизно дорівнює довжині дуги паралелі АА0, можна записати

l"" Y .

r

504

Оскільки із трикутника АСС1 r N cos B, то

Y l"" N cos B.

Наведемо без виведення більш строгий вираз сферичної ординати через координати В і l:

де l′′ – довгота точки А відносно осьового меридіана ОР, вираженого в секундах; В – геодезична широта точки А;

N – довжина нормалі під широтою В;

ρ′′ – величина радіана, виражена в секундах градусної міри.

Підставивши тепер значення Y із виразу (7.37) в другу формулу (7.13) і зберігаючи при цьому члени третього порядку і менш відносно l, отримаємо значення плоскої ординати у, виражене через геодезичні координати, тобто

505

Сферичну абсцису Х точки А можна зобразити у вигляді суми двох дуг: дуги ОА0=S (рис. 187) і дуги

вибрати за аргументом В даної точки зі спеціальних таблиць.

Отже, щоби найти Х, достатньо відшукати різницю Х –

S.

Рис. 188. Визначення різниці Х – S

Для отримання Х – S скористаємося фігурою АА0М, де А0М і АМ – дотичні в точках А0 і А до відповідних меридіанів, які створюють при точці М кут γ, що збігається з кутом зближення меридіанів даних точок.

З’єднавши точки А і А0 прямою, розглянемо отриманий трикутник АА0М на окремому рисунку (рис. 188). Прове-

демо AA0' перпендикулярно А0М. Перпендикуляр AA0"

506

приймемо рівним сферичній ординаті Y, а відрізок A0 A0' –

різниці Х – S.

У рівнобедреному трикутнику АА0М кут

Підставивши у вираз (7.40) значення Y із формули (7.37), а γ із формули (7.32), отримаємо

X S Nl2 sin B cos B, 2 2

звідки

Але за першою формулою (7.13) х = Х, тому

При виведенні формул (7.38) і (7.42) були зроблені спрощення, тому ці формули дають приблизне вираження

507

плоских прямокутних координат через геодезичні координати. Вони забезпечують перетворення координат з точні-

Уформулах (7.44) х і уо – плоскі прямокутні координати Гаусса, при цьому уо – ордината, що показує відстань від даної точки до осьового меридіана зони, виражена в

метрах. Знак уо визначається знаком l.

Практично перетворення координат звичайно здійснюють за допомогою заздалегідь складених таблиць.

Удеяких спеціальних посібниках розміщені таблиці, складені за формулами (7.44) з позначенням (7.43). Величини Х, а, с обирається з них за аргументом В (широта точки) із застосуванням лінійного інтерполювання. Поправка

δу (в метрах) обирається за аргументами В і lо (довгота точки від осьового меридіана). Вона алгебраїчно додається до сl. При від’ємних значеннях l табличні знаки δу необхідно змінити на зворотні, оскільки таблиця складена для додатних значень l.

Щоб уникнути зайвих помилок при перетворенні геодезичних координат у плоскі табличні інтерполяційні коефіцієнти можна ввести безпосередньо в робочі формули

508

(7.44). Посібником з обчислення азимута передбачені для цього такі позначення:

S X X1 Xm.

Тоді формули (8.38) і (8.42) набудуть вигляду

де т = (В – Втабл.)′′ – інтервал інтерполяції;

∆а1, ∆b1 і ∆Х – зміни табличних величин а1, b1 і Х при зміні широти В на 1′′;

х і уо – шукані абсциса і умовна ордината.

Значення Х1, а1, b1, b2 та інтерполяційні коефіцієнти ∆Х, ∆а1 і ∆b1 обираються без інтерполяції із таблиць за аргументом Втабл (найближчим меншим значенням широти В, закругленим до 10′).

Формули (7.44) і (7.46) – ідентичні. Їх зовнішня відмінність викликана лише позначеннями, що відрізняються одне від одного.

У таблиці 35 наведений приклад перетворення координат за формулами (7.46).

Для перетворення геодезичних координат у плоскі з більш високою точністю можуть бути застосовані інші таблиці, складені за більш строгими формулами.

509

Таблиця 35 Перетворення геодезичних координат у плоскі прямокутні

координати

При переобчисленні координат із точністю до 0.001 м використовують таблиці для обчислення координат Гаусса

– Крюгера в межах широт від 30 до 80°, складені під керів-