3. Дослiдити послiдовнiсть функцiй на поточкову та рiвномiрну збiжностi:

4. Розв’язати рiвняння в повних диференцiалах:

1. Криволінійні інтеграли першого та другого роду, їх обчислення, зв'язок між ними.

Узагальненням визначеного інтеграла на випадок, коли областю нтегрування є деяка крива - криволінійні інтеграли

Є два типи криволінійних інтегралів - криволінійні інтегралами І і ІІ роду.

Нехай на площині розміщена деяка крива, гладка або кусково-гладка, і припустимо, що функціявизначена і обмежена на кривій.

 

  

Розіб’ємо криву точкаминадовільних частин, на кожній окремій дузівиберемо яку-небудь точкуі складемо суму

(1)

де довжина дуги. Сума (1) наз. інтегральною сумою для функціїпо кривій.

Означення. Якщо інтегральна сума (1) при має скінченну границю, яка не залежить ні від розбиття кривої, ні від вибору точок, то цю границю називають криволінійним інтегралом першого роду (або криволінійним інтегралом по довжині дуги) від функціїпо кривійі позначають.Таким чином, за означенням(2)

Якщо границя (2) існує, то функція називається інтегровною на кривій, криваконтуром інтегрування,початковою, акінцевою точками інтегрування. Криволінійний інтеграл першого роду зводиться до визначеного інтеграла за формулою(3)

де довжина кривої. Формула (3) не тільки зводить криволінійний інтеграл до звичайного, але й доводить існування криволінійного інтеграла для функції, яка неперервна на кривій.

інтегральній сумі (48) величини обов’язково додатні, незалежно від того, яку точку кривоїми рахуємо початковою, а якукінцевою, тобто

   Геометричний зміст криволінійного інтеграла першого роду. Якщо визначений інтеграл припредставляє собою площу криволінійної трапеції , то криволінійний інтегралпричисельно дорівнює площі частини циліндричної поверхні, твірні якої мають довжинуі паралельні осі, а напрямна збігається з кривоюна площині

Якщо не крива, а відрізок прямої, розміщений на осі, то, і криволінійний інтеграл буде звичайним визначеним інтегралом.

Обчислення. Нехай крива задана параметричними рівняннями

де інеперервні разом із своїми похіднимиіфункції, афункція неперервна вздовж цієї кривої, причому для визначеності будемо рахувати, що точцівідповідає значення, точцізначення. Тоді для будь-якої точкикривоїдовжинудугиможна розглядати як функцію параметра,і обчислити її за формулою:

звідки за правилом диференціювання інтеграла по верхній межі знаходимо 

Здійснивши заміну змінної у визначеному інтегралі рівності (3), з урахуванням (4), одержимо

Зокрема, якщо крива явно задана одним із рівнянь, або, і відповідно функціяаборазом із похідноюабонеперервні відповідно на відрізкахабо, то

Якщо крива задана рівнянням у полярних координатах, то

 

Нехай у площині задано кусково-гладку кривузамкнену чи незамкнену і на цій кривій визначено неперервну функцію.Площа циліндричної поверхні. Площациліндричної поверхні, визначеної функцією, обчислюється за формулою:(56)

Довжина кривої. Довжина кривоївизначається за формулою:

                                                         (57)

Формули (56) і (57) випливають з геометричного змісту криволінійного інтеграла першого роду.

Криволінійний інтеграл другого роду. Нехай функція ) визначена і обмежена на гладкій чи кусково-гладкій кривійу площиніНа відміну від інтегралів першого роду криварозглядається як напрямна лінія. Нехайїї початок, акінець. Розіб’ємоточкаминадовільних частин в напрямі віддо. Як і при означенні інтеграла першого роду, на кожній частинній дузівізьмемо по точці, і складемо суму(62) де()проекція векторана вісь(на вісь) Сума  називається інтегральною сумою для функції) по координаті() вздовж кривої.Означення. Якщо інтегральна сума (62) при має скінченну границю, яка не залежить ні від розбиття кривої, ні від вибору точок, то цю границю називають криволінійним інтегралом від функції() по координаті() вздовж кривоїпозначають.Таким чином,

                                    

Суму

                                           

називають криволінійним інтегралом по координатах або криволінійним інтегралом другого роду від функцій іпо кривійі позначають символом

Зв’язок мвж криволінійними інтегралами І і ІІ роду

Нехай напрямлена просторова крива з початкомі кінцем. Тоді всі дотичні дотакож напрямлені прямі.  Нехайкути, які утворює дотична доз осями координат. Вони є функціями координатточки дотику. Виділимо зелементарну дугу. Якщо рахувати її прямолінійною, то вона представляє собою векторз проекціями. Тоді

                               Звідси

                      

2. Поняття функцiї в сучасному курсi математики ЗНЗ. Рiзнi пiдходи до означення поняття функцiї, процес формування поняття функцiї Функція – одна з фундаментальних понять математики. В програмах з математики як шкіл (класів) із поглибленим вивчення математики, так базових шкіл тема «Функції» займає великий обсяг. Є різноманітні трактування загального поняття функції. У математиці відомі дві основні напрями: зване класичне, і сучасне (чи теоретико - множинне), що дозволяє значно розширити поняття функції, оскільки розглядає функції тільки від «величин». Згідно класичного напряму функції можна трактувати визначення функції: Оз. «Величина Y називається функцією змінної величини Х в області визначення D, якщо кожному значенню Х із D відповідає єдине значення величини Y. Незалежну зміну інакше називають аргументом, і про залежну змінну говорять, що вона є функцією від такої аргументу. Таке означення функції іноді називають класичним .Починаючи з другої половини ХІХ ст., після створення теорії множини, поняття функції ще більше розширили. Його не пов’язували з поняттям змінної величини, а означили через відповідність або відношення

Сучасний підхід: «Відношення між множинами X і У, при якому кожному елементу множини Х відповідає не більш одного елемента множини У, називається функцією». Це означення ширше класичного, бо значеннями величини в класичному означенні є число, а елементи множини це числа або будь-які інші об'єкти.

В загальноосвітній школі це означення трактується вужче: «Функція -це залежність змінної х, при якій кожному значенню х відповідає єдине значення у». При цьому у основній школі під х і у розуміють тільки числові змінні.

В окремих підручниках дають таке визначення функції. Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини відповідає єдине значення змінної у, то таку залежність називають функціональною залежністю, або функцією. При цьому змінну х називають незалежною змінною або аргументом, змінну у - залежною змінною або функцією від аргументу.

Існують дві найбільш різко відмінні методичні трактовки поняття функції: генетична і логічна.

Генетична трактовка поняття функції заснована на розробці поняття функції. Найбільш істотними поняттями є такі: змінна величина, функціональна залежність змінних величин, формула, декартова система координат.

• Позитивне: підкреслюється “динамічний “ характер поняття функціональної залежності, природно пов’язується з рештою змісту курсу алгебри, так як більшість функцій, які використовуються в ньому, виражаються аналітично і таблично.

• Недоліки: поняття пов’язується з числовими функціями одного числового аргументу.

Логічне трактування поняття функцій виходить із положення про те, що будувати поняття функції треба в рамках поняття алгебраїчної системи. Функція при такому підході виступає у вигляді відношення спеціального виду між двома множинами, що задовольняє умові функціональності.

• Достоїнство: узагальненість поняття і можливості встановлення зв’язків в навчанні математики. Але поняття функції в середній школі пов’язувалось, головним чином, з числовими функціями одного числового аргументу, тобто тією областю, в якій воно простіше формується на генетичній основі.

В цьому зв’язку в шкільних підручниках поняття функції означається як залежність однієї змінної від іншої. В школі це поняття трактується уже: функція – це залежність змінної Y від змінної Х, при якому кожному значенню Х відповідає єдине значення. Y. При цьому в дев’ятирічній школі під Х і Y розуміють тільки числа. В сучасному шкільному курсі в якості ведучого прийнятий генетичний підхід до поняття функції.