3. Знайти площу фігури, обмежену кривими

4. Знайти загальний розв’язок рiвняння

1. Невласні інтеграли і-го та 2-го роду.

При визначенні інтеграла ми вважали, проміжок інтегрування скінченим, а підінтегральна функція визначена, неперервна, і не перетворюється на даному відрізку в нескінченність. Такі інтеграли називаються власними.

Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то інтеграли називаються невласними.

Власні інтеграли завжди мають числове значення, тоді як невласні можуть і не мати. Розрізняють невласні інтеграли із нескінченними межами інтегрування та невласні інтеграли від розривних функцій.

Інтеграли з нескінченними межами (невласні інтеграли першого роду).

Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +∞) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — ∞ < a < b < +∞. Тоді, якщо існує скінченна границя її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

Таким чином, за означенням =

У цьому випадку інтеграл називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) — інтегровною на проміжку [а; +∞).

Якщо ж границя не існує або нескінченна, то інтеграл називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) — неінтегровною на [a; +∞).

Аналогічно означається невласний інтеграл на проміжку (-∞; b]: =

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою , не залежить від вибору числа с.

Коли функція f(x) неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +∞) і коли інтеграл збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області

На невласні інтеграли безпосередньо поширюються ряд властивостей визначених інтегралів:

1. Якщо F(x)- первісна по відношенню до f(x) то формула Ньютона-Лейбніца має вид:

2 Ознака збіжності. Якщо на проміжку [a, b] функції f(x), g(x) функції неперервні і задовольняють нерівності 0 < f(x)<g(x), то із збіжності інтеграла

випливає збіжність інтеграла .

Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли ІІ роду).

Нехай функція f(x) визначена на про­міжку [а, b). Точку х = b назвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) → ∞ при х → b - 0 Нехай функція f(x) інтегровна на відрізку [а; b -] при довільному> 0 такому, що b ->; тоді, якщо існує скінченна границя

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

Отже, за означенням

У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує або збігається. Якщо ж границя нескінченна або не існує, то інтеграл також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо х = — особлива точка, то невласний інтеграл визначається так:

Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки с0 (а; b), то за умови існування обох невласних інтегралівіза означенням покладають

Нарешті, якщо а та b — особливі точки, то за умови існування обох невласних інтегралів іза означенням покладають

де с — довільна точка інтервалу (а; b).