1. Узагальнений гармонійний ряд. Ознаки порівняння збіжності додатних рядів, Коші, Д’аламбера. Оз. Числовий ряд вигляду наз. гармонійним рядом

Оз. Числовий ряд вигляду наз.узагальненим гармонійним рядом. При ряд розбігається, а приряд збігається, при р=1 маємо гармонійний ряд.

Теор. (Ознака порівняння). Нехай дані два додатних ряди a_n =a₁+a₂+... + a_n+... та b_n =b₁+b₂+... + b_n+.... Нехай почин.з деякого номера N, викон. нерівн. a_n > b_n, , тоді 1) зі збіжності ряду випливає збіжність ряду; 2) із розбіжності рядувипливає розбіжність ряду. Теор.(Ознака Даламбера). Нехай дано ряд із додатними членами , a_n > 0 і нехай при необмеженому зростанні номера п існує скінчена границя , тоді 1) якщо l < 1 то ряд збігається; 2) якщо l ≥ 1, то ряд розбігається. 3) якщо l =1 теорема не дає відповіді.

Теор. (Ознака Коші, радикальна). Нехай дано ряд із додатними членами ,для кожногоn. Тоді 1) якщо, починаючи з деякого номера N, для кожного n>N, то ряд збігається; 2) якщо, починаючи з деякого номера N, виконано для кожного n >N, то ряд розбігається.

2. Означення та основні властивості тригонометричних функцій, їх графіки.

Тригонометри́чні фу́нкції — це функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола.Тригонометричні функції та їхні властивості вивчають на основі таких концентрів.--У курсі геометрії 8 класу вводиться поняття синуса, косинуса і тангенса гострого кута прямо­кутного трикутника.-- У курсі геометрії 9 класу вивчаються озна­чення синуса, косинуса і тангенса будь-яких кутів від 0° до 180°; теореми синуса і косинуса. Пізніше для будь-яких кутів від 0° до 180° означення цих функцій вводиться координатним способом — за допомогою кола радіуса R у системі координат. Термін «тригонометричні функції» тут не вико­ристовується.--У 10 класі в курсі алгебри та початків аналізу повторюються і розширюються відомості про радіанну систему вимірювання кутів і дуг; вводить­ся поняття кута повороту і розглядаються синус, косинус, тангенс і котангенс довільного гострого кута.Учні вже знають, що sinx, cosx, tgx ,ctgx залежать від значень х, отже рівності у=sinx, у=cosx, у=tgx , у=ctgx задають функції, їх називають тригонометричними функціями.

3. Задача 16. Знайти невизначений інтеграл

4. Знайти загальний розв’язок рівняння

1. Абсолютна та умовна збіжність рядів. Ознака Лейбніца збіжності знакозмінного ряду та оцінка його залишку

Оз. Знакозмінним наз. ряд, членами якого мають різні знаки. Серед членів знакозмінного ряду є як додатні, так і від’ємні числа, які можуть слідувати в довільному порядку. Найбільш простим є випадок, коли члени ряду по черзі мають то додатний, то від'ємний знак. Знакозмінний ряд зручніше записувати так, щоб знаки членів були позначені, а саме

c ₁-c₂+c₃-c₄+...(-1) ^{n -1} c_n+... = де c_n> 0 для кожного n.

Теор. (Оз. Лейбница). Якщо члени знакозмінного ряду:1) монотонно спадають: c_n+1 < c_n для кожного n; 2) прямують до нуля: ; то ряд збігається. Оз. Ряд абсолютно збіжний, якщо збігається ряд, утворений із абсолютних величин членів ряду Теорема Коші.. Якщо ряд - збігається, то і ряд - збігається. Інакше кажучи, з абсолютної збіжності випливає просто збіжність ряду.

Якщо знакозмінний ряд збігається, а ряд, складений абсолютних величин, розбігається, то знакозмінний ряд називається умовно збіжним.

Теорема. Якщо ряд збігається абсолютно, то ряд, що отримано з нього перестановкою членів, також збігається й має ту ж саму суму, що й початковий ряд. Іншими словами, абсолютно збіжний ряд має переставну властивість.

Теорема (Римана). Якщо ряд збігається умовно, то, яке б не було число A, можна так переставити члени ряду, що сума ряду, який отримаємо, буде дорівнювати A.Умовно збіжний ряд переставною властивістю не володіє.

Зауваження. Умовна збіжність здійснюється лише завдяки взаємному погашенню додатних і від'ємних членів, і тому істотно залежить від порядку, у якому ці члени йдуть, а абсолютна збіжність заснована на швидкості спадання членів, і від їхнього порядку не залежить. Зауважимо, що сума тільки додатних членів умовно збіжного ряду дорівнює нескінченності, та сума тільки від'ємних членів також дає нескінченність: ∑а = +∞ ∑ = −∞ ≥0