3. Знайти екстремуми

4. Обчислити ранг

1. Вільні коливання струни

Означення. Струною називають тверде тіло, довжина якого значно перевищує інші його розміри .

Якщо u(x,t) – відхилення від положення рівноваги точки струни з абсцисою x в момент часу t і струна однорідна то рівнянням є

Означення. Рівняння при називають рівняннямвимушених коливань струни. Приотримуємо рівняння вільних(1)

Хід хвильового процесу залежатиме від його початкового стану та початкових швидкостей.

При розгляді задачі про коливання струни додаткові умови можуть бути двох видів: початкові та кінцеві (або крайові). Початкові умови показують, в якому стані перебувала струна в момент початку коливання. Зручніше за все вважати, що струна початку коливатися в момент часу (t = 0). Первинне положення точок струни задається умовою

u│_t=0= f (x)

А початкова швидкість │_t=0=(x) Тобто приходимо до умовІнший характер мають крайові умови. Вони показують, що відбувається на кінцях струни в увесь час коливань. І простому випадку, коли кінці струни закріплені (початок струни - на початку координат, а кінець - у точці (t, 0)), функціїи( х ,t) буде підкорятися умовам

Нехай потрібно знайти розв’язок задачі

який задовольняє початкові

при та крайові умови

Для побудови розв’язку такої мішаної задачі застосовуємометод характерис-тик.

Оскільки початкові умови (задані в точках , то розвязок задається дається формулою Д’Аламбера – на рис. область I

Підставляючи загальний розв’язок в крайову умову , знаходимо відображену хвилю за відомою падаючою хвилею в точках відрізка . Це дає можливість побудувати розв’язок розглядуваної мішаної задачі в області II (трикутник ). Використовуючи другу крайову умову , знаходимо відображену хвилю за відомою падаючою хвилею в точках відрізка . Це дає можливість знайти шуканий розв’язок в областях III і IV (трикутник ). Повторюючи вищеприведені міркування, можна побудувати розв’язок мішаної задачі у всій області .Розв’язок задачі може бути знайдений і за методом Фурє. Нехай необхідно знайти розв’язок диференціального рівняння

, (1) який задовольняє рівняння

(2) і крайові умови

(3)В силу умов узгодженості

(4)

Шукаємо нетривіальні розв’язки рівняння (1), які задовольняють крайові умови (3), у вигляді

(5)

Підставивши (5) у рівняння (1) і розділивши змінні, одержимо

остання рівність можлива тоді і тільки тоді, коли звідки

 0, (6)

 0. (7)

Підставивши (5) у крайові умови (3), одержимо

Оскількито із останніх рівностей маємо(8)

Таким чином, нам потрібно знайти ненульові розв’язки рівняння (6) і крайової задачі (7), (8). Задача (7), (.8) не для всяких має нетривіальні розв’язки.Означення. Ті значення параметра , при яких задача (7), (8) має нетривіальні розв’язки, називаютьсявласними значеннями, а відповідні ненульові розв’язки цієї задачі – власними функціями.

Задача (7), (8) знаходження власних значень і власних функцій називається задачею Штурма-Ліувілля.