4. Скласти рівняння площини, що проходить

1. Існування розв’язку задачі Коші для однорідного хвильового рівняння.

Розглянемо задачу: в області

знайти розв’язок диференціального рівняння

(1.1) який задовольняє початкові умови

(1.2) де – задана функція класуДля розв’язання задачі (1.1), (1.2) зведемо рівняння (1.1) до канонічного вигляду. Маємо

тобто

Інтегруючи останні рівняння, одержуємо

Вводимо нові незалежні змінні: (1.3)

Підставивши знайдені похідні в рівняння (1.1) і звівши подібні члени, матимемо

(1.4)

Якщо припустити, що шуканий розв’язок існує, то, підставивши його в рівняння (1.1), одержимо тотожність. Але тоді і канонічна форма (1.4) також буде тотожністю. Інтегруючи (1.4) по , одержуємо

де – довільна функція. Інтегруючи останню тотожність по, одержуємо

Повертаючись до старих незалежних змінних, згідно (1.3), матимемо

(1.5)де ідовільні функції.

Таким чином, якщо припустити існування розв’язку рівняння (1.1), то він повинен мати вигляд (1.5).

З іншого боку, якщо функції є неперервними разом з похідними до 2-го порядку включно в розглядуваній області, то тоді вони є розв’язками рівняння (1.1) а отже, формула (1.5) дає загальний розв’язок цього рівняння. Визначимо функціїітаким чином, щоб розв’язок (1.5) задовольняв початкові умови (1.2). Маємо

або, проінтегрувавши друге рівняння, одержимо

де фіксована точка, тобто

Підставивши знайдені функції в (1.5), приходимо до формули Д’Аламбера

(1.6)

Покажемо, що якщо

то формула Д’Аламбера (1.6) є розв’язком задачі Коші (1.1), (2.2) і цим самим доведемо його існування.

Маємо

Підставивши знайдені похідні в рівняння (1.1), одержимо

а підстановка функції (1.6) в початкові умови (1.2) дає

тобто (1.6) є розв’язком задачі Коші (1.1), (1.2). Із побудови розв’язку (1.6) випливає, що він єдиний.

2. Використання нових інформаційних технологій навчання математики

Нові інформаційні технології— сукупність методів і технічних засобів збирання, організації, збереження, опрацювання, передачі й надання інформації, що розширює знання людей і розвиває їхні можливості щодо керування технічними й соціальними проблемами. Застосування комп'ютерної техніки робить уроки математики яскравими, насиченими.На цих уроках кожен учень працює активно, в учнів розвивається допитливість, пізнавальний інтерес. Комп'ютер дозволяє підсилити мотивацію навчання: 

            - шляхом активного діалогу учня з комп'ютером,

            - розмаїтістю й барвистістю інформації (текст + звук + колір + анімація),

            - шляхом орієнтації навчання на успіх (дозволяє довести рішення будь-якого завдання, опираючись на необхідну підказку),

            - використовуючи ігрову форму спілкування людини з машиною,

            - витримкою, спокоєм і «дружністю» машини стосовно

Процес організації навчання школярів з використанням ІКТ дозволяє:

            * Активізувати пізнавальну діяльність учнів

            * Візуалізувати навчальний матеріал    

            * Індивідуалізувати процес навчання 

            * Здійснювати моніторингові відстеження результативності навчання 

            * Створити комфортні психологічні умови для учнів при відповіді на питання, організувати самоконтроль 

            * Забезпечити розвиток творчої активності школярів 

            * Створити бібліотеку навчального електронного приладдя 

            * Використовувати інформаційну базу глобальної мережі Інтернет та локальну шкільну мережу 

            * Реалізувати входження учня у реальний світ дорослих, у виробничу діяльність людини сучасного інформаційного цифрового суспільства в процесі роботи учня й учителя з використанням комп'ютерних технологій

При плануванні уроків математики з використанням ІКТ треба враховувати:

            • наявний набір комп’ютерного та мультимедійного обладнання,

            • наявність програмно-методичного комплексу до підручника, що відповідає діючій програмі,

            • наявність інструментальних середовищ,

            • наявність програм-тренажерів,

            • готовність учнів до роботи з використанням комп'ютера,

            • можливості учня використовувати комп'ютерні технології поза класом.

Комп’ютерні презентації, виконані в різних програмних середовищах, органічно вписуються в будь-який урок, ефективно допомагають учителю за мінімальний час самостійно виготовити мультимедійний посібник до уроку, що унаочнює навчальний матеріал, дає можливість провести математичний диктант і його перевірку, продемонструвати способи розв’язання завдань тощо. Причому достатньо одного лише комп’ютера та проектора для використання презентацій на уроці математики.  Формати використання ІКТ при вивченні математики:

            • самостійне навчання учнів;

            • використання тренінгових (тренувальних) програм;

            • використання діагностичних і контролюючих матеріалів;

            • виконання домашніх самостійних і творчих завдань;

            • використання комп'ютера для обчислень, побудови графіків;

            • використання програм, що імітують досліди, лабораторні роботи, застосування теорії у практичній діяльності людини;

            • використання ігрових і цікавих програм;

            • використання інформаційно-довідкових програм.

    Критерії оцінок уроку з використанням ІКТ:

            1. Особистий внесок учителя в розробку уроку з використанням ІКТ

            2. Форма використання програмного забезпечення

            3. Організація діяльності учнів на уроці

            4. Рівень методичної підготовки вчителя в області використання засобів ІКТ

            5. Дотримання санітарно - гігієнічних вимог

            6. Вплив інформаційних технологій на результативність

            7. Індивідуалізація навчання за рахунок використання засобів ІКТ