- •Математическое моделирование Учебное пособие
- •Донецк 2006
- •Содержание
- •Введение
- •1. Построение экспериментальных законов распределения
- •1.1. Общие положения
- •1.2. Статистические критерии согласия
- •Г) Критерий согласия Романовского
- •1.3. Построение закона Пуассона
- •1.4. Построение показательного закона
- •1.5. Построение нормального закона
- •2. Модели оптимизации
- •2.1. Принципы формирования моделей оптимизации
- •Задача производственного планирования
- •Задача оптимальной загрузки оборудования
- •Задача о смесях
- •Транспортная задача
- •2.2. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •Алгоритм графического метода решения злп
- •2.3. Универсальный метод решения линейных задач оптимизации
- •Алгоритм симплекс-метода решения злп
- •Пример 2.3.1. Решить злп (2.2.1), (2.2.5) симплекс-методом.
- •Критерий оптимальности опорного плана
- •Переход к следующей симплекс-таблице осуществляют по правилам:
- •2.4. Двойственная задача линейного программирования
- •Свойства двойственных задач
- •2.5. Методы анализа конфликтных ситуаций с помощью матричных игр
- •Алгоритм принципа максимина (минимакса)
- •Решение. Этаматричная игра имеет размерность (3х4), т.Е. Игрок а имеет три стратегии, а игрок в – четыре. Запишем ее в нормальной форме.
- •Последовательность действий при решении игры
- •3. Регрессионный анализ
- •3.1. Однофакторные модели
- •3.1.1. Построение однофакторных моделей
- •3.1.2. Оценка качества моделей
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Построение доверительного интервала для прогнозного значения
- •Пример 3.1.Исследовать зависимость объема прибыли от количества торговых точек. Сделать прогноз в предположении, что количество торговых точек будет увеличено до 25.
- •Вспомогательная расчетная таблица
- •Пример 3.2.Исследовать зависимость показателяуи факторахс помощью логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий.
- •3.1.3. Модели рядов динамики
- •3.2. Автокорреляция данных и остатков
- •3.2.1. Автокорреляция данных
- •Пример 3.4. Исследовать на автокорреляцию динамический ряд:
- •Вспомогательная таблица для расчета коэффициента автокорреляции
- •3.2.2. Автокорреляция остатков
- •Причины возникновения автокорреляции
- •Вспомогательная таблица для расчета d-статистики
- •С помощью формулы (3.2.2) найдем d -статистику:
- •3.3. Мультиколлинеарность
- •Причины возникновения мультиколлинеарности:
- •Методы исследования мультиколлинеарности
- •Меры по устранению мультиколлинеарности:
- •3.4. Множественная линейная регрессия
- •3.4.1. Построение множественной линейной регрессии
- •Расчет элементов коэффициента
- •3.4.2. Матричный подход
- •Построение корреляционной матрицы
- •Построение модели множественной линейной регрессии и ее анализ
- •3.4.4. Нелинейные модели
- •3.4.5. Эластичность
- •4.Экспертные оценки и элементы теории графов
- •4.1. Ранговая корреляция
- •4.1.1. Экспертное оценивание
- •4.1.2. Этапы работ в системе экспертных оценок
- •4.1.3. Метод ранговой корреляции
- •Вспомогательные расчеты
- •Б) Случай многих экспертов
- •4.2. Элементы сетевого планирования
- •Основные элементы сетевого графика
- •Основные требования к сетевой модели
- •5. Индивидуальные задания для самостоятельной работы студентов по курсу “математическое моделирование”
- •5.1. Задания к разделу “Построение законов распределения”
- •5.2. Задания к разделу “Математическое программирование”
- •5.3. Задания к разделу “Регрессионный анализ”
- •Задание 2.
- •Задание 3.
- •5.4. Задания к разделу “Экспертные оценки и элементы теории графов” Задание 1.
- •Значение критерия Пирсона
- •Критерий Колмогорова
- •Критерий Колмогорова
- •Квантили распределения Стьюдента
- •Коефициентов автокорреляции
- •Литература
- •Пеніна Галина Геннадіївна, канд. Екон. Наук, доцент
3.4.4. Нелинейные модели
В экономике довольно часто встречаются регрессионные зависимости, нелинейные относительно оцениваемых параметров. Этот класс регрессий не допускает непосредственного применения МНК. Для того, чтобы сделать это возможным, линеаризируют зависимости по оцениваемым параметрам.
Линейные многофакторные модели наиболее широко применяются на практике. Однако нередки случаи, когда зависимость описывается нелинейными уравнениями. Например,
; (3.4.12)
; (3.4.13)
. (3.4.14)
В этом случае необходимо предварительно преобразовать уравнение к линейному виду, а затем применять метод наименьших квадратов.
Например, в уравнении (3.4.12) можно обозначить и получить модель линейного вида
.
В уравнении (3.4.13) нужно прологарифмировать левую и правую часть
и внести обозначения ,,,.
В результате получим модель линейного вида .
В (3.4.14) уравнении достаточно обозначить ,,и получить модель линейного вида
.
Методика определения параметров уравнений и расчет всех статистических оценивающих характеристик сохраняется прежней.
3.4.5. Эластичность
В эконометрии значительную роль играют коэффициенты эластичности, которые выражаются через параметры уравнений и используемые переменные. Общая формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:
, (3.4.15)
где - первая производная функции.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится результативный признак при изменении факторного признака на один процент (при фиксированном значении остальных факторов).
Если речь идет об однофакторной модели, то можно определить, каким будет коэффициент эластичности, на основе таблицы 3.15.
Таблица 3.15
Коэффициенты эластичности
Модель |
Общий вид модели |
Коэффициент эластичности |
Линейная |
|
|
Гипербола |
|
|
Логарифмическая функция |
|
|
Степенная функция |
|
|
Показательная функция |
|
|
Как видим, чаще всего коэффициент эластичности является функцией от переменных. На практике вычисления производят, беря средние значения и. (кроме показательной функции).
В случае многофакторной регрессии находят частные коэффициенты эластичности относительно каждой переменной х.
(3.4.16)
где - частные производные по переменным. В качестве значенийиберут средние величины.
Можно также составить таблицу 3.16 нахождения для частных коэффициентов эластичности в случае уравнения множественной регрессии.
Таблица 3.16
Коэффициенты эластичности
Модель |
Общий вид модели |
Коэффициент эластичности |
Линейная |
|
|
Гипербола |
|
|
Логарифмическая функция |
|
|
Степенная функция |
|
|
Показательная функция |
|
|
Пример 3.12. Для модели, построенной в примере 3.7, рассчитать коэффициенты эластичности.
Решение.В соответствии с моделью (3.4.4)коэффициенты эластичности, найденные по формуле (3.4.16) для факторных переменных, таковы:
;
,
где 18,85,= 28,24,= 2,42.
Итак, если фактор изменится на 1%, то показательизменится на 0,944% при условии, что остальные факторы не изменяются. Если факторизменится на 1%, то показательизменятся на 0,053% при условии, что остальные факторы не изменяются.