Пример 3.2.Исследовать зависимость показателяуи факторахс помощью логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий.
|
х |
18,4 |
25,6 |
27,9 |
30,8 |
32,8 |
35,3 |
38,5 |
45,6 |
34,7 |
23,9 |
19,3 |
|
у |
75,8 |
64,8 |
61,5 |
60,8 |
48,8 |
59,7 |
54,8 |
57,3 |
56,8 |
64,8 |
80,7 |
Решение. Для построения логарифмической, степенной и полиномиальной регрессий рассчитаем вспомогательную таблицу
Таблица 3.3
Вспомогательная расчетная таблица
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
18,4 |
75,8 |
338,56 |
6229,50 |
114622,87 |
1394,72 |
25662,85 |
2,91 |
8,48 |
220,76 |
4,33 |
12,60 | |
|
25,6 |
64,8 |
655,36 |
16777,22 |
429496,73 |
1658,88 |
42467,33 |
3,24 |
10,51 |
210,12 |
4,17 |
13,53 | |
|
27,9 |
61,5 |
778,41 |
21717,64 |
605922,13 |
1715,85 |
47872,22 |
3,33 |
11,08 |
204,71 |
4,12 |
13,71 | |
|
30,8 |
60,8 |
948,64 |
29218,11 |
899917,85 |
1872,64 |
57677,31 |
3,43 |
11,75 |
208,39 |
4,11 |
14,08 | |
|
32,8 |
48,8 |
1075,84 |
35287,55 |
1157431,71 |
1600,64 |
52500,99 |
3,49 |
12,18 |
170,33 |
3,89 |
13,57 | |
|
35,3 |
59,7 |
1246,09 |
43986,98 |
1552740,29 |
2107,41 |
74391,57 |
3,56 |
12,70 |
212,76 |
4,09 |
14,57 | |
|
38,5 |
54,8 |
1482,25 |
57066,63 |
2197065,06 |
2109,80 |
81227,30 |
3,65 |
13,33 |
200,06 |
4,00 |
14,62 | |
|
45,6 |
57,3 |
2079,36 |
94818,82 |
4323738,01 |
2612,88 |
119147,33 |
3,82 |
14,59 |
218,88 |
4,05 |
15,46 | |
|
34,7 |
56,8 |
1204,09 |
41781,92 |
1449832,73 |
1970,96 |
68392,31 |
3,55 |
12,58 |
201,45 |
4,04 |
14,33 | |
|
23,9 |
64,8 |
571,21 |
13651,92 |
326280,86 |
1548,72 |
37014,41 |
3,17 |
10,07 |
205,67 |
4,17 |
13,24 | |
|
19,3 |
80,7 |
372,49 |
7189,06 |
138748,80 |
1557,51 |
30059,94 |
2,96 |
8,76 |
238,88 |
4,39 |
13,00 | |
|
332,8 |
685,8 |
10752,3 |
367725,34 |
13195797,04 |
20150,01 |
636413,56 |
37,12 |
126,04 |
2292,02 |
45,36 |
152,71 | |
Для оценки параметров уравнения параболической функции составим систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.3):
Решив эту систему, найдем
=142,83,
=
- 4,599,
=
0,06. По формуле (3.1.2) уравнение параболической
функции имеет вид:
.
Для оценки параметров уравнения логарифмической функции составим систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.5):
Решив эту систему, найдем
=155,14,
=
- 27,5. По формуле (3.1.4) уравнение
логарифмической функции имеет вид:
Для оценки параметров уравнения степенной функции составим систему уравнений Гаусса по формуле (3.1.7):
Решив эту систему, найдем
=5,54,
=
- 0,42. Откуда
=254,87.
По формуле (3.1.6) уравнение степенной
функции имеет вид:
.
Для
каждой из полученных моделей найдем
индекс корреляции по формуле,
-статистику
по формуле (3.2.22), среднюю ошибку
аппроксимации по формуле (3.1.23). Для
адекватных моделей вычислим остаточную
дисперсию по формуле (3.1.24). Результаты
представим в таблице 3.4.
Таблица 3.4
|
Модель |
Уравнение |
R |
F |
Fкр |
|
|
|
параболическая |
|
0,93 |
22,41 |
4,74 |
3,96 |
3,88 |
|
логарифмическая |
|
0,85 |
20,83 |
4,46 |
5,27 |
0,65 |
|
степенная |
|
0,84 |
19,17 |
4,46 |
4,83 |
4,78 |
Сравнивая значения
-статистики
сFкр, можно сделать вывод о
надежности индекса корреляции для
соответствующих нелинейных моделей.
Для построенных моделей можно сделать
вывод, что все модели являются адекватными,
поскольку средняя ошибка аппроксимации
не превышает 5-7%, однако наилучшей
является логарифмическая модель, которая
имеет наименьшую остаточную дисперсию.