1.4. Построение показательного закона
Для описания времени обслуживания часто используется показательный закон. Его характерной особенностью служит равенство среднего значения и среднего квадратического отклонения.
Предположим, что в результате наблюдений за длительностью обслуживания получен непрерывный вариационный ряд:
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
Здесь указаны интервалы
времени и количество заявок, обслуживаемых
за соответствующее время. Величина
- количество клиентов.
Считая, что длительность обслуживания подсчитывается показательному закону, составим функцию вероятностей для времени обслуживания:
На основе плотности вероятности
,
(1.4.1)
где
- интенсивность обслуживания,
,
.
На основе функции распределения
,
(1.4.2)
,
(1.4.3)
где
- начало интервала,
- конец интервала.
Теоретические частоты находят таким образом:
- в случае нахождения плотности
вероятности (
-длина
интервала).
- в случае нахождения функции распределения.
Далее по известным критериям согласия проводят проверку.
Пример 1.2. В автомагазине проведено наблюдение за временем обслуживания 60 покупателей. Получено следующее распределение (в мин.): 2, 6, 4, 11, 3, 18, 5, 21, 3, 26, 2, 35, 4, 8, 3, 14, 5, 19, 1, 24, 5, 9, 3, 15, 3, 20, 4, 8, 3, 13, 4, 9, 1, 12, 3, 14, 2, 8, 4, 13, 7, 4, 8, 3, 9, 2, 10, 4, 4, 8, 3, 9, 4, 7, 2, 8, 3, 9, 4, 7. Составить ряд, разбив значения на 7 интервалов, и проверить возможность использования показательного закона.
Решение. Сгруппируем все значения
|
|
0 – 5 |
5 – 10 |
10 – 15 |
15 – 20 |
20 – 25 |
25 – 30 |
30 – 35 |
|
|
2,5 |
7,5 |
12,5 |
17,5 |
22,5 |
27,5 |
32,5 |
|
|
30 |
16 |
7 |
3 |
2 |
1 |
1 |
Определим среднее время обслуживания
;
.
Составим плотность вероятности по формуле (1.4.1):
=
0,137
.
Составим функцию распределения по формуле (1.4.3):
.
а) Используем критерий Пирсона.
Таблица 1.4
Проверка расчетов по плотности вероятности
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
30 |
0,0973 |
29 |
1 |
0,0345 |
|
7,5 |
16 |
0,049 |
15 |
1 |
0,0667 |
|
12,5 |
7 |
0,0248 |
7 |
0 |
0 |
|
17,5 |
3 |
0,0125 |
4 |
1 |
0,25 |
|
22,5 |
2 |
0,0063 |
2 |
0 |
0 |
|
27,5 |
1 |
0,0032 |
1 |
0 |
0 |
|
32,5 |
1 |
0,0016 |
1 |
0 |
0 |
|
|
60 |
0,1949 |
|
|
0,3512 |
Имеем
,
,
.
По таблицам Пирсона (приложение А)
находим
.
В результате
.
Вывод: гипотеза о показательном законе не отвергается.
Расчеты по показательному закону можно вести также на основе функции распределения по формуле (1.43).
Таблица 1.5
Проверка расчетов по функции распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 – 5 |
30 |
1 |
0,5041 |
0,4959 |
30 |
0 |
0 |
|
5 – 10 |
16 |
0,5041 |
0,2541 |
0,2500 |
15 |
1 |
0,067 |
|
10 – 15 |
7 |
0,2541 |
0,1281 |
0,1260 |
8 |
1 |
0,125 |
|
15 – 20 |
3 |
0,1281 |
0,0646 |
0,0635 |
4 |
1 |
0,250 |
|
20 – 25 |
2 |
0,0646 |
0,0325 |
0,0321 |
2 |
0 |
0 |
|
25 – 30 |
1 |
0,0325 |
0,0164 |
0,0161 |
1 |
0 |
0 |
|
30 – 35 |
1 |
0,0164 |
0,0083 |
0,0081 |
0 |
1 |
1 |
|
|
60 |
- |
- |
0,991 |
60 |
- |
1,442 |
Имеем
,
,
.
По таблицам Пирсона (приложение А)
находим
.
В результате
.
Вывод: гипотеза о показательном законе не отвергается.
б) Используем критерий Колмогорова.
Таблица 1.6
Проверка закона Пуассона по критерию Колмогорова
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
0,50 |
0 |
0,097269 |
0 |
0 |
|
7,5 |
0,27 |
0,50 |
0,049032 |
0,097269 |
0,402731 |
|
12,5 |
0,12 |
0,77 |
0,024717 |
0,146301 |
0,620365 |
|
17,5 |
0,05 |
0,88 |
0,012459 |
0,171018 |
0,712315 |
|
22,5 |
0,03 |
0,93 |
0,006281 |
0,183478 |
0,749856 |
|
27,5 |
0,02 |
0,97 |
0,003166 |
0,189758 |
0,776908 |
|
32,5 |
0,02 |
0,98 |
0,001596 |
0,192924 |
0,790409 |
|
|
- |
1,00 |
- |
- |
- |
По формуле (1.2.2) рассчитаем характеристику
Колмогорова (max
)
.
Вывод:вероятность
=1,
по данному критерию использование
закона вполне допустимо.
в) Используем критерий Ястремского.
Таблица 1.7
Проверка закона Пуассона по критерию Ястремского
|
|
|
|
|
|
|
30 |
29 |
0,0973 |
0,9027 |
0,0382 |
|
16 |
15 |
0,049 |
0,951 |
0,070102 |
|
7 |
7 |
0,0248 |
0,9752 |
0 |
|
3 |
4 |
0,0125 |
0,9875 |
0,253165 |
|
2 |
2 |
0,0063 |
0,9937 |
0 |
|
1 |
1 |
0,0032 |
0,9968 |
0 |
|
1 |
1 |
0,0016 |
0,9984 |
0 |
|
|
|
|
|
0,361466 |
Таким образом, Q=0,3614. Посколькуk= 7,Z= 0,6, то по формуле (1.2.3) имеем:
А =
.
Вывод:посколькуА< 3, то по этому критерию гипотеза о законе принимается.
г) Используем критерий Романовского.
Поскольку
= 1,442,q = 7 – 2 = 5, то
по формуле (1.2.3) имеем
.
Вывод:величина
меньше 3 – значит, в соответствии с этим
критерием гипотеза о законе Пуассона
не отвергается.