2.3. Универсальный метод решения линейных задач оптимизации

Графический метод решения ЗЛП целесообразно использовать только для задач с двумя переменными. В случае большего числа переменных используют универсальный метод решения ЗЛП – симплекс-метод.

В основе симплекс-метода лежит алгоритм симплексных преобразований системы линейных уравнений, дополненный правилом, которое обеспечивает переход к лучшему опорному плану.

Алгоритм симплекс-метода решения злп

1. Определение начального опорного плана ЗЛП.

2. Построение симплексной таблицы.

3. Проверка опорного плана на оптимальность с помощью оценок оптимальности. Если все оценки удовлетворяют условию оптимальности, то опорный план является оптимальным. Если хотя бы одна из оценок не удовлетворяет условию оптимальности, то переходят к новому опорному плану или устанавливают, что оптимального плана задача не имеет.

4. Переход к новому опорному плану задачи осуществляется путем определения генерального элемента и построением следующей симплексной таблицы.

5. Повторение действий, начиная с п.3.

Рассмотрим алгоритм симплекс-метода на примере.

Пример 2.3.1. Решить злп (2.2.1), (2.2.5) симплекс-методом.

Решение. Для решения ЗЛП необходимо, чтобы все свободные члены системы ограничений (2.2.1) были неотрицательными. Для этого первое неравенство системы умножим на (–1):

(2.3.1)

Замечание.

Если требуется максимизировать целевую функцию, то удобнее перейти к нахождению минимума, используя соотношение max z= – min(–z).

Перейдем к минимуму в нашей задаче:

min(–z) = –x₁– 4x₂

Приведем задачу к канонической форме, вводя дополнительные переменные x₃,x₄,x₅в систему ограничений (2.3.1).

Замечание.

Если неравенство имеет знак “”, то дополнительную переменную вводят со знаком “+”; если неравенство имеет знак “”, то дополнительную переменную вводят со знаком “– ”.

ЗЛП (2.3.1) в канонической форме имеет следующий вид:

min(–z) = –x₁– 4x₂.

Для получения первоначального базиса используют векторы, образующие единичную матрицу. Если таких векторов недостаточно, вводят искусственные переменные в систему ограничений: если дополнительная переменная имеет знак минус, то в это уравнение вводят искусственную переменную со знаком плюс; если дополнительная переменная имеет знак плюс, то в это уравнение искусственную переменную вводить не нужно. Искусственные переменные одновременно вводятся в целевую функцию z с неизвестным положительным коэффициентом М.

(2.2.2)

min(–z) = – x₁ – 4x₂ + Мx₆ + Мx_7.

В векторной форме система ограничений (2.2.2) имеет вид

р₁x₁+р₂x₂+р₃x₃ +р₄x₄ +р₅x₅ +р₆x₆ +р₇x₇ =р₀,

где р₁ =,р₂ =,р₃ =,р₄ =,р₅ =,р₆ =,р₇ =,р₀ =

Переменные x₁иx₂являются основными, x₃,x₄,x₅ – дополнительными,x₆,x₇– искусственными. Векторыр₆,р₄,р₇образуют единичный базис, причемр₆– первый базисный вектор.

Заполним первую симплекс-таблицу. Исходная симплекс-таблица заполняется следующим образом. В первой строке записывают коэффициенты целевой функции. В столбец “Базис” записывают базисные векторы. В столбце “С” записывают коэффициенты целевой функции при базисных векторах. В столбцах “р₀”, “р₁”, “р₂”, “р₃”, “р₄”, “р₅”, “р₆”, “р₇” записывают компоненты соответствующих векторов.

Для заполнения клеток таблицы, которые находятся в двух последних строках, нужно элементы столбца “С” умножить на соответствующие элементы рассчитываемого столбца и отнять число, стоящее в первой строке (за исключением столбца “р₀”). Например, для заполнения клеток столбца “р₂” умножим элементы столбца “С” на соответствующие элементы столбца “р₂” и отнимем число – 4:М·5 + 0·1 +М·1 – (– 4) = 4 + 6М. Коэффициент приМзаписывают в М-строку, число безМвносят вz–строку.

Таблица 2.3.1

Первая симплексная таблица

Базис	С	р0	– 1	– 4	0	0	0	М	М	С.О.
			р1	р2	р3	р4	р5	Р6	р7
р6	М	5	1	5	–1	0	0	1	0	5/1
р4	0	6	1	1	0	1	0	0	0	6/1
р7	М	7	7	1	0	0	–1	0	1	7/7
z-строка		0	1	4	0	0	0	0	0
М-строка		12	8	6	–1	0	–1	0	0

Последние две строки симплекс-таблицы называются индексными. В них, начиная со второго столбца “р₁”, содержатся оценки оптимальности, с помощью которых проверяют оптимальность опорного плана, соответствующего данной таблице. Значение составляющих опорного плана расположено в столбце “р₀”, причем небазисным переменным присваивают нулевые значения.

Первой симплекс-таблице 2.3.1 соответствует опорный план:

x₁= 0,x₂= 0,x₃ = 0,х₄ = 6,x₅ = 0,x₆ = 5,x₇ = 7.

Критерий оптимальности проверяют по М-строке, а если она отсутствует, то поz-строке.