Вспомогательная расчетная таблица

х	х2	у	ху	у2
15	225	2,2	33	4,84
17	289	2,25	38,25	5,0625
16	256	2,24	35,84	5,0176
13	169	2,1	27,3	4,41
18	324	2,9	52,2	8,41
19	361	3,1	58,9	9,61
11	121	1,9	20,9	3,61
10	100	1,85	18,5	3,4225
14	196	2,16	30,24	4,6656
9	81	1,68	15,12	2,8224
142	2122	22,38	330,25	51,8706

Замечание.

Вспомогательную расчетную таблицу 3.1 удобно строить в пакете EXCEL.

Система линейных уравнений Гаусса (3.1.2) в нашем случае примет вид:

Решив эту систему, найдем коэффициенты и:.

Тогда уравнение прямой линии регрессии унах(3.1.1) примет вид:

у = 0,5633 + 0,1179х.

Найдем показатели тесноты связи показателя Yи фактораX.

Воспользовавшись формулой (3.1.9), найдем коэффициент корреляции:

Таким образом, r = 0,9073. Это значит, что между переменнымиХ иYвысокая степень взаимосвязи. Коэффициент детерминации, найденный по формуле (3.1.10), равен. Это означает, что регрессионное уравнение оценено хорошо, так какблизок к единице, факторХна 82,32% предопределяет изменениеY.

Для проверки гипотезы об отсутствии линейной связи между объясняемой и объясняющей переменной вычислим t-статистику по формуле (3.1.11):

.

По таблицам Стьюдента (приложение Д) находим табличное значение ()-статистики.t(0,05;8)=2,306. Так как наблюдаемое значениеt-статистики больше критического, то гипотезу об отсутствии линейной связи между объясняемой и объясняющей переменной следует отвергнуть.

Для проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции вычислим – статистику по формуле (3.1.12):

.

По таблицам Фишера (приложение Е) находим табличное значение Так как наблюдаемое значениеF- статистики больше критического, то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции следует отвергнуть. Коэффициент корреляции значительно отличается от нуля, поэтому между переменнымиХиY существует линейная корреляционная зависимость.

Для построения доверительных интервалов для параметра и коэффициента корреляцииr , найдем, затем вспомогательные вычисления проведем в таблице 3.2:

Таблица 3.2

Вспомогательные вычисления

15	0,8	0,64	2,3	2,36	-0,16	0,0256
17	2,8	7,84	2,25	2,6	-0,35	0,1225
16	1,8	3,24	2,24	2,48	-0,24	0,0576
13	-1,2	1,44	2,1	2,12	-0,02	0,0004
18	3,8	14,44	2,9	2,72	0,18	0,0324
19	4,8	23,04	3,1	2,84	0,26	0,0576
11	-3,2	10,24	1,9	1,88	0,02	0,0004
10	-4,2	17,64	1,85	1,76	0,09	0,0081
14	-0,2	0,04	2,16	2,24	-0,08	0,0064
9	-5,2	27,01	1,68	1,64	0,04	0,0016
		105,6				0,3126

По формуле (3.1.16) имеем

.

Тогда доверительный интервал с 95% надежностью для параметра по формуле (3.1.15) имеет вид:

;

.

Полученный доверительный интервал не содержит нуля, поэтому можно говорить об отличии параметра от нуля.

Для нахождения доверительного интервала для коэффициента корреляции найдемпо формуле (3.1.18):

.

Коэффициент корреляции имеет следующий доверительный интервал, найденный по формуле (3.1.17):

;

.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции говорит о высокой степеней линейной корреляционной связи между переменными.

Предположим, что количество торговых точек будет увеличено до 25, тогда х = 25. Подставив это значение в построенное уравнение прямой линии регрессии, получим:

- это ожидаемый объем прибыли.

Для нахождения доверительного интервала для прогнозного значения, вычислим по формуле (3.1.14) величину :

.

Найдем доверительный интервал для прогнозного значения по формуле (3.1.13):

;

.

Таким образом, при наличии 25 торговых точек объем прибыли будет от 3055 до 3966,6 тыс. гривен.

Замечание.

Для построения регрессионной модели и оценки силы взаимосвязи показателей YиXудобно использовать пакет EXCEL. Для этого при нахождении уравнения регрессии, в падающем менюСервисвыбрать командуАнализ данныхвыбрать инструмент анализаРегрессияв разделеВходные данныев текстовом поле Входной интервал Y ввести диапазон дляYв разделеВходные данныев текстовом поле Входной интервал Х ввести диапазоны дляв разделеПараметры выводав опцииНовый рабочий лист установить флажок.

Результаты расчетов для данного примера с помощью пакета электронных таблиц EXCEL имеют вид:

ВЫВОД ИТОГОВ			Y	X
			2,2	15
Регрессионная статистика			2,25	17
Множественный R	0,907318995		2,24	16
R-квадрат	0,823227759		2,1	13
Нормир. R-квадрат	0,801131228		2,9	18
Стандартная ошибка	0,198554137		3,1	19
Наблюдения	10		1,9	11
			1,85	10
			2,16	14
			1,68	9
ANOVA
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1,468770038	1,46877003	37,255974	0,000288272
Остаток	8	0,315389962	0,03942374
Итого	9	1,78416
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	0,563314394	0,281461936	2,00138746	0,0803433	-0,08573841	1,212367202
Переменная X 1	0,117935606	0,019321773	6,10376721	0,0002883	0,073379488	0,162491724

На основании данных таблицы можно сделать такие выводы:

• множественный коэффициент =0,907;

• уравнение множественной регрессии ;

• -статистика 37,26.

Сравнивая полученное значение с , найденным по таблице Фишера (), получим, что, т.е. уравнение регрессии значимо.

• -статистика для коэффициентаравна 6,104, для коэффициента.

Сравнивая , найденное по таблице Стьюдентаt(0,05;8) = 2,306, с-статистикой, получаем, что-статистика больше. Следовательно, коэффициентыдостаточно надежен.

• доверительный интервал для параметра уравнения регрессии: (0,073;0,162).

Для наглядного представления изобразим графически данные примера, и прямую линию, соответствующую построенной модели.

Замечание.

Удобно изображать графически данные в виде диаграмм, соответствующую им линию регрессии в пакете Excel. Для этого нужно войти в опцию Вставкав появившемся меню выбрать опциюДиаграммав появившемся окнеМастер диаграммв менюТип выбратьопциюТочечнаяв появившемся окне указать рассматриваемый диапазон данных. Для изображения линии регрессии на точечной диаграмме активизировать одну из точек, правой кнопкой мыши вызвать меню, выбрать опциюДобавить линию тренда в появившемся окнеЛиния трендаво вкладке Тип выбрать в данном случае Линейнаявойти во вкладкуПараметрыи выбрать опциюПоказывать уравнение на диаграмме, затем выбрать опциюПоместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2).

Рисунок 3.1 - Диаграмма уравнения прямой линии регрессииYнаХ