Циклдық кодтарға математикалық кіріспе

Осылай n-разрядты циклдық кодтың әрбір рұқсат етілген комбинациясы екі көпмүшенің туындысы болып табылады,оның біреусі құраушы,онда бұл комбинацияларды n-1 дәрежесінен жоғары емес көпмүшелердің барлық туындылары ретінде қарастыруға болады.Бұл мына ойға алып келеді,осы кодтарды құрау үшін тағы бір алгербралық жүйенің тармағынн қолдануға,дәлірек,сақина теориясына.

Келтірілген анықтамаға сүйене отырып,сақинаны құрау үшін көптеген n-разрядты кодтық комбинацияларға екі операция жүктеу керек,қосу және көбейту.

Көпмүшелерді қосу операциясы модуль екі бойынша келтірілген коэфиценттерге сәйкес таңдалған.

Енді көбейту операциясын қарастырайық.Көпмүшелерді көбейту операциясы қарапайым ережелер бойынша модуль екі сәйкес мүшелерді келтіру тұйықталу шартын бұзуға алып келеді.

Расымен,көбейту нәтижесі бойынша n-1 дәрежесінен үлкен көпмүшелерді аламыз,дәреже 2(n-1) дейін жетуі мүмкін,ал оған сәйкес кодтық комбинациялар n разрядты саннан көп болады,осыған сәйкес қарастырылып отырған көптікке қатысы болмайды.Сондықтан символдық көбейту операциясы былай беріледі:

1)көпмүшелер қарапайым ереже бойынша көбейтіледі,бірақ модуль екі бойынша келтірілген мүшелерге сәйкес;

2)егер туындының жоғары дәрежесі n-1 көп болмаса,ол символдық көбейтудің нәтижесі болады;

3)егер туындының жоғары дәрежесі n-ға тең немесе үлкен болса,онда көпмүше туындысы алдын ала анықталған nи дәрежесіндегі көпмүшеге символдық көбейту бөлудің қалдығы жатады.

Қалдықтың дәрежесі n-1 аспайды,сонымен қатар,бұл көпмүше k разрядты кодтық комбинациялардың көптігіне жатады.

Расымен n-1 дәредесіндегі көпмүшенің көбейтіндісінің нәтиесінде мынаны аламыз:

G(x) = (x^n-1 + x^n-2 + … + x + 1)x = xⁿ + x^n-1 + … + x

Қарастыра келе,көбейту нәтижесі кодтық комбинацияға сәйкес келу керек,шыққан кодтық комбинациясының циклдық жылжуы жолымен құралады,онда хⁿ –ді 1-ге ауыстыру керек.Мұндай ауыстыру көпмүшенің xⁿ+ 1-ге көбейтіндісінен алынған бөлінуге эквивалентті болады,мұны былайша қалдықты алу деп атайды немесе модуль xⁿ+ 1 бойынша келтіру.

Мұнда хⁿна –ны 1ге міндетті түрде ауыстыру қажет. Баламалы бөлуге сондай алмастыру бөлуден қалдыққа нәтижеге сапада жазумен xⁿ+ 1 көпмүшелікте көбейтуда алған, не қалдықтың алынуы деп немесе модул бойынша келтіруде xⁿ+ 1 (өзі қалдық шегермеде) деп аталады.

Барлығын көпмүшеліктеріне ішкі жиынымызға біздің сақинамызда енді ерекшелейміз, еселі кейбір g (x) көпмүшелікке. Сондай ішкі жиынды идеалмен деп атайды, ал көпмүшелік идеалдың көпмүшелікпен g (x) тудыратын.

Идеалда әр түрлі элементтердің сан көпмүшеліктің оның тудыратын түрмен анықталып жатыр. Егер 0 алу көпмүшелікке тудыратын, біресе көбейту, барлық идеал тек қана бұл көпмүшелікті құрау болады

Егер артына 1 [g (x) = 1] қабылдау көпмүшеліктің тудыратын, біресе идеалға сақиналар барлық көпмүшеліктер кіреді. Дәрежелер қарапайым көпмүшелікпен туған идеалдың элементтердің саны жалпы алғанда жағдайға n-k, 2k құрайды.

Түсінікті енді бола түсіп жатыр, не циклдік екілік кодқа салынған бізбен n-дәрежелік екілік кодтық комбинацияларға сақинада идеалға келіп жатыр. Көпмүшелікті таңдау сияқты, анықтау қалып жатыр g (x), тап қалған қасиеттермен циклдік код қабілетті тудыру керек.

Көпмүшелікке талаптарды, жасаушысыға ұсыну

Оның кодтық комбинацияларға лайықты барлық көпмүшеліктер циклдік код анықтау бойынша, қалдықсыз g (x) жіктелуге тиісті. Кодсыз көпмүшеліктерсіз, құрайтын жасаушы матрицасыз қалдықсыз g (x) жіктелу үшін, үшін бұл жеткілікті. Циклдік жылжумен соңғы пайда болып жатыр, не 1 xn модул бойынша келтірумен х g (x) біртіндеп көбейтуға сәйкес келіп жатыр.

Демек, көпмүшелік жалпы алғанда жағдайға осылай жазып алған xn 1и мүмкін болу g (x) •хiна көпмүшеліктен шығармадан бөлуден қалдықпен gi (x) келіп жатыр :

g_i(x)=g(x)xⁱ + c(xⁿ + 1)

мұндағы с=1 болады, егер g(x) хⁱ дәрежесі п-1-ден асып тұрса,егер g(x) хⁱ дәрежесі п-1-ден аспай тұрса.

Осыдан көруге болады, егер xⁿ + 1 мына көпмүшелік g(x)-ке қалдықсыз бөлінсе барлық матрицаның көпмүшеліктері және барлық код көпмүшеліктер g(x)-ке қалдықсыз бөлінеді.

Осылайша, егер g(x) идеалды және циклдық кодты шығарғысы келсе,онда ол xⁿ + 1 көпмүшелігінің бөлінгіші болу керек.

Сақина үшiн топтың барлық касиеттері әділ болғандықтан, ал мінсіз үшін - шағын топтың барлық қасиеттерi, сақинаны шағын топтарға жiктеуге болады, бұл жағдайда оны мінсіз санақ тобы деп атайды. Жiктеудiң бiрiншi жолын мінсізден тұрады және де нөлдiк элемент шеткi сол жағында орналасады. Құрастыратын шегерiмдердiң бiрiншi табы сапада мінсіз тәуелдi емес кез келген көпмүшелiкті таңдауға болады. Шегерiмдердiң табы мінсіздін көпмүшелiгiмен әрбір құрастыратын көпмүшелiктiң жинақтауы жолымен құрады. Егер дәреже m = n-k (x ) g көпмүшелiк xn + 1-шi бөлгiші болып табылса, онда сақинаның кез келген элементi немесе (x ) g қалдықсыз бөлiседi, немесе бөлiнудiң нәтижесiнде дәреженiң r(х) өзiмен көрiнетiн көпмүшелiгi қалдық m-1 ден үлкен болмайды.Нәтижесінде бір ғана мінсіз мән беретін сақина элементі шегерімдердін бір таптарына жатады. Дәреже m (x ) g құрастыратын көпмүшелiкпен r(х) шегерiмдердiң кластарын құрастыратын элементтер сақинасының жiктеуiне кесте көрсетуге болады .

Таблица 4.12.

0	g(x)	x·g(x)	(x+1)·g(x)	…	f(x)·g(x)
r1(x) r2(x) … … rn(x)	g(x) + r1(x) g(x) + r2(x) … … g(x) + rn(x)	x·g(x) + r1(x) x·g(x) + r2(x) … … x·g(x) + rn(x)	(x+1)·g(x) + r1(x) (x+1)·g(x) + r2(x) … … (x+1)·g(x) + rn(x)	… … … … …	f(x)·g(x) + r1(x) f(x)·g(x) + r2(x) … … f(x)·g(x) + rn(x)
Жоғарыда айтылғандай, топтық код корсетилген жіктеуде қанша түр болса, соншалықты қателіктер түрін тузете алады. Демек, циклдық кодтың тузету қабілеті бұрмаланған код комбинациясына сәйкес көпмүшені кодты құраушы көпмүшеге бөлгенде қаншалықты қалдық қалса, соншалықты артады. Қалдықтардың ен көп саны 2m-1 (нольды алмағанда) тек жай көпмүшені қамтамасыз ете алады, бұл көпмүше тек өзіне өзі бөліне алады жане басқа көпмүшеге бөлінбейді (1 ден баска).

Бақылау сұрақтары:

4. Циклдық кодтар қалай құрылады?

5. Циклдық кодтарға математикалықкіріспе.

6. Туындатушы көпмүшелікке қойылатын талап.