PrikladnayaMekhanika

41

перемістяться в нове положення (точки М' і N'), відстань між якими позначимо через ΔS'.

Межа відношення:

називається відносною лінійною деформацією в точці М у напрямі вектора S. Розглядаючи три взаємно перпендикулярних напрями, наприклад, уздовж координатних осей Ох, Оу і Oz, отримаємо три компоненти відносних лінійних деформацій x, y, z, що характеризують зміну об'єму тіла в процесі деформації.

Для опису деформацій, пов'язаних із зміною форми тіла, розглянемо точку М і дві близькі до неї точки N і Р, розташовані в недеформованому стані у напрямі двох взаємно ортогональних векторів S1 і S2. Відстані між точками позначимо через ΔS1 і ΔS2 (рис. 2.13). У деформованому стані положення крапок позначимо через М', N' і Р'. Кут між відрізками M'N' і М'Р' в загальному випадку буде відмінним від прямого. При S1 0, S2 0 зміна кута 12 між двома ортогональними до деформації напрямами називається кутовою деформацією. Як видно з (рис. 2.13) кутова деформація складається з двох кутів1 і 2, пов'язаних з поворотами відрізків M'N' і М'Р' в площині, утвореній векторами S1 і S2, щодо цих векторів. Якщо задані три взаємно ортогональних вектора, направлених уздовж координатних осей, то є три кутові деформації xy,xz і yz, які разом з трьома лінійними деформаціями x, y і z повністю визначають деформований стан в точці.

Напружений стан в точці. Тензор напруження. Вектор напруження pn

є фізичним об'єктом, що має довжину, напрям і точку прикладення. У цьому сенсі він володіє векторними властивостями. Проте цьому об'єкту властиві деякі властивості, не характерні для векторів. Зокрема, величина і напрям вектора напруження залежать від орієнтації вектора n нормалі нескінченно малого елементу поверхні dF. Сукупність всіх можливих пар векторів n, pn в крапці визначає напружений стан в даній крапці. Проте для повного опису напруженого стану в крапці немає необхідності задавати нескінченну безліч напрямів вектора n, досить визначити вектори напруги на трьох взаємно перпендикулярних елементарних майданчиках. Напруження на довільно орієнтованих майданчиках може бути виражені через ці три вектори

43

координатних осей) ця компонента направлена у бік позитивного напряму відповідній осі. На (рис. 2.15) всі компоненти тензора напруження зображені позитивними. На майданчиках з негативною зовнішньою нормаллю (грані паралелепіпеда, не видимі на рис. 2.14 і рис. 2.15) позитивна компонента направлена в протилежному напрямі. Напруження на трьох взаємно ортогональних майданчиках з негативними напрямами нормалей також характеризують напружений стан в крапці. Це напруження, що є компонентами тензора напруження, визначається аналогічно напруженню на майданчиках з позитивною нормаллю. Вони позначаються тими ж символами і мають позитивний напрям, зворотний зображеному на (рис. 2.15).

2.6.Пружністьіпластичність.ЗаконГука

Дія зовнішніх сил на тверде тіло приводить до виникнення в точках його об'єму напруження і деформацій. При цьому напружений стан в точці, зв'язок між напруженням на різних майданчиках, що проходять через цю точку, визначаються рівняннями статики і не залежать від фізичних властивостей матеріалу. Деформований стан, зв'язок між переміщеннями і деформаціями встановлюються із залученням геометричних або кінематичних міркувань і також не залежать від властивостей матеріалу. Для того, щоб встановити зв'язок між напруженням і деформаціями, необхідно враховувати реальні властивості матеріалу і умови навантаження. Математичні моделі, що описують співвідношення між напругою і деформаціями, розробляються на основі експериментальних даних. Ці моделі повинні з достатнім ступенем точності відображати реальні властивості матеріалів і умови навантаження.

Найбільш поширеними для конструкційних матеріалів є моделі пружності і пластичності. Пружність – це властивість тіла змінювати форму і розміри під дією зовнішніх навантажень і відновлювати початкову конфігурацію при знятті навантажень. Математично властивість пружності виражається у встановленні взаємно однозначної функціональної залежності між компонентами тензора напруження і тензора деформацій. Властивість пружності відображає не тільки властивості матеріалів, але і умови навантаження. Для більшості конструкційних матеріалів властивість пружності виявляється при помірних значеннях зовнішніх сил, що приводять до малих деформацій, і при малих швидкостях навантаження, коли втрати енергії за рахунок температурних ефектів малі. Матеріал називається лінійно-пружним, якщо компоненти тензора напруження і тензора деформацій зв'язані лінійними співвідношеннями.

При високих рівнях навантаження, коли в тілі виникають значні деформації, матеріал частково втрачає пружні властивості: при розвантаженні його первинні розміри і форма повністю не відновлюються, а при повному знятті зовнішніх навантажень фіксуються залишкові деформації. В цьому випадку залежність між напруженням і деформаціями перестає бути однозначною. Це властивість матеріалу називається пластичністю.

44

Накопичувані в процесі пластичної деформації залишкові деформації називаються пластичними.

Високий рівень навантаження може викликати руйнування, тобто розділення тіла на частини. Тверді тіла, виконані з різних матеріалів, руйнуються при різній величині деформації. Руйнування носить крихкий характер при малих деформаціях і відбувається, як правило, без помітних пластичних деформацій. Таке руйнування характерне для чавуну, легованих сталей, бетону, скла, кераміки і деяких інших конструкційних матеріалів. Для маловуглецевих сталей, кольорових металів, пластмас характерний пластичний тип руйнування за наявності значних залишкових деформацій. Проте підрозділ матеріалів по характеру руйнування на крихких і пластичних вельми умовно, воно зазвичай відноситься до деяких стандартних умов експлуатації. Один і той же матеріал може поводитися залежно від умов (температура, характер навантаження, технологія виготовлення і ін.) як крихкий або як пластичний. Наприклад, пластичні при нормальній температурі матеріали руйнуються як крихкі при низьких температурах. Тому правильніше говорити не про крихкі і пластичні матеріали, а про крихкий або пластичний стан матеріалу.

Хай матеріал є лінійно-пружним і ізотропним. Розглянемо елементарний об'єм, що знаходиться в умовах одноосного напруженого стану (рис. 2.16), отже

При такому навантаженні відбувається збільшення розмірів у напрямі осі Ох, що характеризується лінійною деформацією x x , яка пропорційна величині напруження:

Це співвідношення є математичним записом закону Гуку, що встановлює пропорційну залежність між напруженням і відповідною відносною лінійною деформацією при одноосному напруженому стані. Коефіцієнт пропорційності Е називається модулем подовжньої пружності або модулем Юнга. Він має розмірність напруження.

Разом із збільшенням розмірів у напрямі дії напруги x відбувається зменшення розмірів в двох ортогональних напрямах (рис. 2.16). Відповідні деформації позначимо через y і z, причому ці деформації негативні при позитивних x і пропорційні x:

y x x, z x x . (2.39)

Коефіцієнт пропорційності називається коефіцієнтом Пуассона, який через ізотропію матеріалу однаковий для обох ортогональних напрямів.

45

Рис. 2.16. Одновісний напруженний стан

Співвідношення, аналогічні (2.38) і (2.39), у разі одноосного навантаження у напрямі осей Оу, Ох напруженням y, z, відповідно мають

При одночасній дії напруження по трьом ортогональним осям, коли відсутні дотичні напруження, для лінійно-пружного матеріалу справедливий принцип суперпозиції (накладення рішень):

x x x x y x z

z z x z y z z

Зурахуванням формул (2.38)–(2.41) отримаємо:

Дотичні напруження викликають кутові деформації, причому при малих деформаціях вони не впливають на зміну лінійних розмірів, і отже, на лінійні деформації. Тому вони справедливі також у разі довільного напруженого стану і виражають так званий узагальнений закон Гуку.

Кутова деформація xy обумовлена дотичним напруженням xy, а деформації xz і yz – відповідно напруженням xz і yz. Між відповідним дотичним напруженням і кутовими деформаціями для лінійно-пружного ізотропного тіла існують пропорційні залежності:

які виражають закон Гуку при зсуві. Коефіцієнт пропорційності G називається модулем зсуву. Істотно, що нормальні напруження не впливають на кутові

46

деформації, оскільки при цьому змінюються тільки лінійні розміри відрізків, а не кути між ними (рис. 2.16).

Лінійна залежність існує також між середніми напруженнями, пропорційними першому інваріанту тензора напруження, і об'ємною деформацією, співпадаючою з першим інваріантом тензора деформацій:

K

Коефіцієнт пропорційності К називають об’ємним модулем пружності.

Рис. 2.17. Плоска деформація сдвигу

Уформули (2.38)–(2.45) входять пружні характеристики матеріалу Е, , G

іК, що визначають його пружні властивості. Проте ці характеристики не є незалежними. Для ізотропного матеріалу незалежними пружними

характеристиками є дві, модуль пружності Е і коефіцієнт Пуассона . Щоб виразити модуль зсуву G через Е і , розглянемо плоску деформацію зсуву під дією дотичних напружень (рис. 2.17). Для спрощення викладень використовуємо квадратний елемент із стороною а. Обчислимо головні напруження 1= , 3= . Ці напруження діють на майданчиках, розташованих під кутом /4 до початкових майданчиків. З рис. 2.17 знайдемо зв'язок між лінійною деформацією 1 у напрямі дії напруги 1 і кутовою деформацією . Велика діагональ ромба, що характеризує деформацію 1, рівна:

До деформації ця діагональ мала розмір AB a2 . Тоді маємо:

48

Аналогічні співвідношення можна вивести для x і y. В результаті отримаємо:

Тут використано співвідношення (2.51) для модуля зрушення. Крім того, введено позначення:

2.7.Механічніхарактеристикиконструкційнихматеріалів

Механічні характеристики визначаються наступними чинниками:

речовиною, її структурою і властивостями;

конструктивними особливостями елементу, тобто розмірами, формою, наявністю концентраторів, станом поверхні;

умовами при навантаженні: температурою, швидкістю, повторюваністю навантаження і ін.

Конструкційні матеріали в процесі деформації аж до руйнування поводяться по різному. Пластична поведінка характеризується істотною зміною форми і розмірів, при цьому до моменту руйнування розвиваються значні деформації, які не зникають після зняття навантаження. Матеріали з такою поведінкою називають пластичними. При крихкій поведінці руйнування наступає при вельми малих деформаціях, і матеріали з такими властивостями називають крихкими. Проте одні і ті ж конструкційні матеріали, деформації, що знаходяться в різних умовах, поводяться по разному: за одних умов проявляють себе як пластичні матеріали, при інших – як крихкі. У зв'язку з цим, основні макромеханічні характеристики матеріалів – пружність, пластичність, в'язкість

іін. доцільніше відносити не до їх властивостей, а до станів матеріалу.

Механічні стани деформованих тіл. У пружному стані деформації зворотні, і вся енергія, витрачена на деформацію, при знятті навантаження повертається (дисипація енергії відсутня). Для будь-якого твердого тіла процес деформації починається з пружної деформації. Ізотропне тіло має дві константи пружності – модуль пружності Е і коефіцієнт Пуассона . Для анізотропних тіл число пружних констант в загальному випадку рівне 21. З основних констант пружності можна отримати їх похідні – модуль зрушення G, модуль об'ємної реформації К і постійну Ламе .

В'язкий опір – в деякому розумінні протилежно пружному – робота зовнішніх сил, зрівноважених силами в'язкого опору, повністю розсівається у вигляді тепла. В'язкий опір визначається величиною дотичної сили, необхідної для підтримки ламінарного ковзання шарів, або течії з певною швидкістю. Таким чином в'язкість можна визначити як опір течії.

49

Уявлення про в’язкопружну деформацію дає поведінку моделей, що поєднують властивості в'язкості і пружності в такій послідовності: при навантаженні тіла в ньому виникає миттєва пружна деформація, що підкоряється закону Гуку; далі при тіх же максимальних напруженнях спостерігається в'язка деформація, що підкоряється закону Ньютона.

Найбільш поширеними в теорії лінійної в’язко-пружності є моделі реологій Максвела і Фойгта, що дають зв'язок між напруженням і деформаціями, а також швидкостями їх зміни. Модель Максвела:

де – коефіцієнт в'язкості.

Пластичний стан характеризується наявністю залишкових деформацій, що фіксуються після зняття зовнішніх навантажень. Об'єм тіла при пластичній деформації не змінюється; умова постійності об'єму записується у вигляді:

Експерименти показують, що зміна об'єму не перевищує 0,5%.

У разі, коли все напруження змінюється пропорційно одній з складових, в процесі пластичної деформації напрям головних деформацій співпадає з напрямом головного нормального напруження, напрям максимальних зрушень

– з напрямом максимального дотичного напруження, а головний напрям девиатора напруження – з головним напрямом девиатора деформацій.

Одній з поширених моделей поведінки матеріалу при пружно-пластичних деформаціях є модель пластичності, заснована на деформаційній теорії ГенкиІльюшина, що описується рівняннями:

1

3 x y z – середнє напруження;

– безрозмірний коефіцієнт, званий параметром пластичності (з точністю до множника він співпадає з інтенсивністю дотичної напруги). При=1 ця модель описує поведінку пружного матеріалу.