- •Лабораторна робота № 7
- •Інтерполяція функцій
- •Теоретичні відомості
- •Інтерполяційна формула Лагранжа
- •Інтерполяційний многочлен Ньютона
- •Перевірка результатів
- •Графічне зображення результатів
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна робота № 8 Апроксимація експериментальних залежностей методом найменших квадратів Теоретичні відомості
- •Приклади
- •Розв’язок
- •Розв’язок
- •Завдання для самостійної роботи
- •Лабораторна робота № 9 Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь Теоретичні відомості
- •Метод Ейлера
- •Розв'язок
- •Метод Рунге–Кутта
- •Розв'язок
- •Завдання до самостійної роботи
- •Додаток a Порядоквиконання лабораторноїроботи
- •Зміст записки пояснення
- •Додаток б Варіанти завдань до контрольноїроботи для студентів заочної форми навчання Завдання №1 (Елементи теорії похибок)
- •Завдання №2
- •Завдання №3
- •Завдання №4
- •Завдання №5
- •Завдання №6 (Наближення функцій)
- •Завдання №7
- •Додаток b Правилаоформлення курсовоїроботи
- •Варіанти завдань до курсовоїроботи
- •Вариант №21
Лабораторна робота № 7
Інтерполяція функцій
Теоретичні відомості
Інтерполяційна формула Лагранжа
Найбільш загальною формулою параболічної інтерполяції є інтерполяційна формула Лагранжа.
Розглянемо спочатку окремий випадок задачі параболічної інтерполяції: побудуємо многочлен рi(x) такий, що рi(xj)=0 при j ≠ i та при рi(xi)=1 (i, j=0, 1, 2, ..., n).
Оскільки шуканий многочлен рi(x) повинен перетворитися на нуль у n точках х0, х1, ..., хi-1, хi+1, ..., хn, то його можна представити у вигляді
рi(x)=Сi (х–х0) (х–х1) ... (х–хi-1) (х–хi+1) ... (х–хn), |
(7.1) |
де Сi – постійний коефіцієнт.
Покладемо х=хi у формулі (7.1) і з огляду на те, що рi(xi)=1, одержимо
Сi (хi–х0) (хi–х1) ... (хi–хi-1) (хi–хi+1) ... (хi–хn)=1. |
(7.2) |
Звідси
(7.3) |
Після підстановки виразу (7.3) у формулу (7.1) многочлен рi(x) матиме наступний вигляд
(7.4) |
Тепер перейдемо до знаходження многочлена рn(x), що задовольняє умовам
Рn(x)=f(xi)=yi (i=0, 1, 2, ..., n), |
(7.5) |
тобто многочлен набуває в заданих точках х=хi (i = 0, 1, 2, ..., n) задані значення yi.
Легко перевірити, що такий многочлен буде мати наступний вигляд
(7.6) |
Дійсно, при фіксованому j (j = 0, 1, 2, ..., n) маємо
(7.7) |
отже виконуються умови (7.5). Степінь же многочлена Рn(x) не вище n.
Підставивши у формулу (7.6) вираз (7.4), одержимо
(7.8) |
Вираз (7.8) є інтерполяційною формулою Лагранжа.
Запишемо її в розгорнутому вигляді:
При n=1 формула Лагранжа приймає вигляд
(7.9) |
і називається формулою лінійної інтерполяції.
При n=2 одержимо формулу квадратичної інтерполяції:
(7.10) |
Інтерполяційний многочлен Лагранжа можна побудувати при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції.
Інтерполяційний многочлен Ньютона
Будемо шукати многочлен Рn(x) степеня n, що задовольняє умовам у вигляді
Рn(x)=а0+а1(х–х0)+а2(х–х0)(х–х1)+ +а3(х–х0)(х–х1)(х–х2)+...+аn(х–х0)(х–х1)...(х–хn-1), |
(7.11) |
де х0, х1, ..., хn - задані значення аргументу х;
хi–хi-1=h=const, (i=0, 1, 2, ..., n);
коефіцієнти а0, а1, ..., аn невідомі.
Визначимо невідомі коефіцієнти а0, а1, ..., аn, виходячи з умов (7.5).
Покладемо у формулі (7.11) х=х0. Тоді Рn(х0)=а0. Однак, у силу умов (7.5), Рn(х0)=y0. Отже, а0=y0.
Для визначення а1 покладемо у формулі (7.11) х=х1, після чого одержимо
Рn(х1) = а0 + а1(х1 – х0). |
(7.12) |
З огляду на те, що Рn(х1)=y1, а0=х0, х1–х0=h, можемо записати y1=y0+а1h, з цього виразу отримаємо . Однак,y1–y0=∆y0 – кінцева різниця 1-го порядку, отже, .
Далі, покладемо х=х2, одержимо
Рn(х2)=а0+а1(х2–х0)+а2(х2–х0) (х2–х1). |
(7.13) |
Оскільки Рn(х2)=y2, а0=y0, ,х2–х0=2h, х1–х0=h, можемо записати
(7.14) |
звідси
Але ∆y0=y1–y0, тому y2–y0–2∆y0=y2–y0–2(y1–y0)=y2–2y1+y0=∆2y0.
Отже,
Аналогічні подальші обчислення (з урахуванням формули, що виражає різниці різних порядків через значення функції) дозволяють записати інші коефіцієнти:
, , ...,, ...,.
Підставивши знайдені вираження коефіцієнтів у формулу (7.11), одержимо
(7.15) |
Це і є інтерполяційна формула Ньютона.
Її можна представити в трохи іншому вигляді, більш зручному для практичного використання.
Позначимо
Тоді
;
; ...;
і формула (7.15) приймає вигляд
(7.16) |
Формулу (7.16) доцільно використовувати для інтерполяції (екстраполювання) функції y=f(x) в околиці початкового значення х0, де q мале за абсолютною величиною.
Якщо у формулі (7.16) прийняти n=1, одержимо формулу лінійної інтерполяції:
Р1(х)=y0+q∆y0.
При n=2 будемо мати формулу параболічної (квадратичної) інтерполяції:
При застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно користатися горизонтальною таблицею кінцевих різниць, оскільки тоді необхідні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці.
Степінь n многочлена Рn(х) на практиці бажано вибирати так, щоб кінцеві різниці ∆nyi були практично постійними. За початкове значення х0 можна приймати будь-як табличне значення аргументу х.
Приклад 7.1
Дані по тиску водню на лінії насичення наведені в таблиці. Побудувати інтерполяційні многочлени Лагранжа і Ньютона і оцінити їх похибку.
T, K |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
P,мм рт ст |
1,93 |
5,62 |
13,9 |
30,2 |
58,8 |
100,3 |
161,1 |
246,0 |
360,3 |
Визначити тиск водню при температурі насичення T=12,5; T=15,4; T=17,7.
Значення тиску при температурі, яка дорівнює Т=12.5К, отримане за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа за формулою, складає
і за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона за формулою, де , а кінцеві різниці представлені втаблиці 7.1, також складає
Значення тиску при температурі, яка дорівнює Т=15.4К, отримане за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа за формулою, складає
і за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона за формулою, де , а кінцеві різниці представлені втаблиці 7.1, також складає
Таблиця 7.1
Таблиця кінцевих різниць
х |
у |
∆y |
∆2y |
∆3y |
∆4y |
∆5y |
∆6y |
∆7y |
∆8y |
10 |
1,93 |
3,69 |
4,59 |
3,43 |
0,85 |
-4,53 |
14,01 |
-30,89 |
57,27 |
11 |
5,62 |
8,28 |
8,02 |
4,28 |
-3,68 |
9,48 |
-16,88 |
26,38 |
|
12 |
13,9 |
16,3 |
12,3 |
0,6 |
5,8 |
-7,4 |
9,5 |
|
|
13 |
30,2 |
28,6 |
12,9 |
6,4 |
-1,6 |
2,1 |
|
|
|
14 |
58,8 |
41,5 |
19,3 |
4,8 |
0,5 |
|
|
|
|
15 |
100,3 |
60,8 |
24,1 |
5,3 |
|
|
|
|
|
16 |
161,1 |
84,9 |
29,4 |
|
|
|
|
|
|
17 |
246 |
114,3 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
360,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значення тиску при температурі, яка дорівнює Т=17.7К, отримане за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа за формулою, складає
і за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона за формулою, де , а кінцеві різниці представлені втаблиці 7.1, також складає