Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
P_19_01.doc
Скачиваний:
19
Добавлен:
20.02.2016
Размер:
1.1 Mб
Скачать

Лабораторна робота № 7

Інтерполяція функцій

Теоретичні відомості

Інтерполяційна формула Лагранжа

Найбільш загальною формулою параболічної інтерполяції є інтерполяційна формула Лагранжа.

Розглянемо спочатку окремий випадок задачі параболічної інтерполяції: побудуємо многочлен рi(x) такий, що рi(xj)=0 при j ≠ i та при рi(xi)=1 (i, j=0, 1, 2, ..., n).

Оскільки шуканий многочлен рi(x) повинен перетворитися на нуль у n точках х0, х1, ..., хi-1, хi+1, ..., хn, то його можна представити у вигляді

рi(x)=Сi (х–х0) (х–х1) ... (х–хi-1) (х–хi+1) ... (х–хn),

(7.1)

де Сi – постійний коефіцієнт.

Покладемо х=хi у формулі (7.1) і з огляду на те, що рi(xi)=1, одержимо

Сii–х0) (хi–х1) ... (хi–хi-1) (хi–хi+1) ... (хi–хn)=1.

(7.2)

Звідси

(7.3)

Після підстановки виразу (7.3) у формулу (7.1) многочлен рi(x) матиме наступний вигляд

(7.4)

Тепер перейдемо до знаходження многочлена рn(x), що задовольняє умовам

Рn(x)=f(xi)=yi (i=0, 1, 2, ..., n),

(7.5)

тобто многочлен набуває в заданих точках х=хi (i = 0, 1, 2, ..., n) задані значення yi.

Легко перевірити, що такий многочлен буде мати наступний вигляд

(7.6)

Дійсно, при фіксованому j (j = 0, 1, 2, ..., n) маємо

(7.7)

отже виконуються умови (7.5). Степінь же многочлена Рn(x) не вище n.

Підставивши у формулу (7.6) вираз (7.4), одержимо

(7.8)

Вираз (7.8) є інтерполяційною формулою Лагранжа.

Запишемо її в розгорнутому вигляді:

При n=1 формула Лагранжа приймає вигляд

(7.9)

і називається формулою лінійної інтерполяції.

При n=2 одержимо формулу квадратичної інтерполяції:

(7.10)

Інтерполяційний многочлен Лагранжа можна побудувати при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції.

Інтерполяційний многочлен Ньютона

Будемо шукати многочлен Рn(x) степеня n, що задовольняє умовам у вигляді

Рn(x)=а01(х–х0)+а2(х–х0)(х–х1)+

3(х–х0)(х–х1)(х–х2)+...+аn(х–х0)(х–х1)...(х–хn-1),

(7.11)

де х0, х1, ..., хn - задані значення аргументу х;

хi–хi-1=h=const, (i=0, 1, 2, ..., n);

коефіцієнти а0, а1, ..., аn невідомі.

Визначимо невідомі коефіцієнти а0, а1, ..., аn, виходячи з умов (7.5).

Покладемо у формулі (7.11) х=х0. Тоді Рn0)=а0. Однак, у силу умов (7.5), Рn0)=y0. Отже, а0=y0.

Для визначення а1 покладемо у формулі (7.11) х=х1, після чого одержимо

Рn1) = а0 + а11 – х0).

(7.12)

З огляду на те, що Рn1)=y1, а00, х1–х0=h, можемо записати y1=y01h, з цього виразу отримаємо . Однак,y1–y0=∆y0кінцева різниця 1-го порядку, отже, .

Далі, покладемо х=х2, одержимо

Рn2)=а012–х0)+а22–х0) (х2–х1).

(7.13)

Оскільки Рn2)=y2, а0=y0, ,х2–х0=2h, х1–х0=h, можемо записати

(7.14)

звідси

Але ∆y0=y1–y0, тому y2–y0–2∆y0=y2–y0–2(y1–y0)=y2–2y1+y0=∆2y0.

Отже,

Аналогічні подальші обчислення (з урахуванням формули, що виражає різниці різних порядків через значення функції) дозволяють записати інші коефіцієнти:

, , ...,, ...,.

Підставивши знайдені вираження коефіцієнтів у формулу (7.11), одержимо

(7.15)

Це і є інтерполяційна формула Ньютона.

Її можна представити в трохи іншому вигляді, більш зручному для практичного використання.

Позначимо

Тоді

;

; ...;

і формула (7.15) приймає вигляд

(7.16)

Формулу (7.16) доцільно використовувати для інтерполяції (екстраполювання) функції y=f(x) в околиці початкового значення х0, де q мале за абсолютною величиною.

Якщо у формулі (7.16) прийняти n=1, одержимо формулу лінійної інтерполяції:

Р1(х)=y0+q∆y0.

При n=2 будемо мати формулу параболічної (квадратичної) інтерполяції:

При застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно користатися горизонтальною таблицею кінцевих різниць, оскільки тоді необхідні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці.

Степінь n многочлена Рn(х) на практиці бажано вибирати так, щоб кінцеві різниці nyi були практично постійними. За початкове значення х0 можна приймати будь-як табличне значення аргументу х.

Приклад 7.1

Дані по тиску водню на лінії насичення наведені в таблиці. Побудувати інтерполяційні многочлени Лагранжа і Ньютона і оцінити їх похибку.

T, K

10

11

12

13

14

15

16

17

18

P,мм рт ст

1,93

5,62

13,9

30,2

58,8

100,3

161,1

246,0

360,3

Визначити тиск водню при температурі насичення T=12,5; T=15,4; T=17,7.

Значення тиску при температурі, яка дорівнює Т=12.5К, отримане за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа за формулою, складає

і за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона за формулою, де , а кінцеві різниці представлені втаблиці 7.1, також складає

Значення тиску при температурі, яка дорівнює Т=15.4К, отримане за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа за формулою, складає

і за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона за формулою, де , а кінцеві різниці представлені втаблиці 7.1, також складає

Таблиця 7.1

Таблиця кінцевих різниць

х

у

y

2y

3y

4y

5y

6y

7y

8y

10

1,93

3,69

4,59

3,43

0,85

-4,53

14,01

-30,89

57,27

11

5,62

8,28

8,02

4,28

-3,68

9,48

-16,88

26,38

 

12

13,9

16,3

12,3

0,6

5,8

-7,4

9,5

 

 

13

30,2

28,6

12,9

6,4

-1,6

2,1

 

 

 

14

58,8

41,5

19,3

4,8

0,5

 

 

 

 

15

100,3

60,8

24,1

5,3

 

 

 

 

 

16

161,1

84,9

29,4

 

 

 

 

 

 

17

246

114,3

 

 

 

 

 

 

 

18

360,3

 

 

 

 

 

 

 

 

Значення тиску при температурі, яка дорівнює Т=17.7К, отримане за допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа за формулою, складає

і за допомогою інтерполяційного многочлена Ньютона за формулою, де , а кінцеві різниці представлені втаблиці 7.1, також складає

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]