Лабораторна робота № 8 Апроксимація експериментальних залежностей методом найменших квадратів Теоретичні відомості
Нехай у результаті експерименту одержано залежність, подану у таблиці 8.1.
Таблиця 8.1
Вихідні дані
|
t |
|
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
Необхідно знайти аналітичну
формулу
,
апроксимуючу експериментальну (табличну)
залежність.
Виберемо залежність
у вигляді поліному другого ступеня,
тобто
|
|
(8.18) |
.
У виразі (8.18)
коефіцієнти a0,
a1,
a2
підлягають визначенню, причому ці
коефіцієнти повинні бути підібрані
таким чином, щоб залежність
найкраще наближала експериментальну
залежність. Назвемовідхилом
відмінність між табличним значенням
у точці
і значенням у тій самій точці, тобто
|
|
(8.19) |
.Згідно з методом найменших квадратів (МНК) "найкращими" коефіцієнтами залежності (8.18) будуть ті, для яких сума квадратів відхилень буде мінімальна, тобто
|
|
(8.20) |
.
Використовуючи необхідні
умови існування екстремуму для функції
декількох змінних 
,
знайдемо рівняння для визначення
коефіцієнтів залежності (8.18):
|
|
(8.21) |
З умов (8.21) одержимо нормальну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
|
|
(8.22) |
Розв'язавши
систему (8.22),
знайдемо коефіцієнти 
апроксимуючої залежності (8.18).
Приклади
Приклад 8.1.
Залежність температури досяжного
перегріву рідин Ts
для різних значень тиску P і фіксованій
частоті зародкоутворення J, m-3
c-1
подана у таблиці 8.2.
Таблиця 8.2
Залежність температури досяжного перегріву рідин Ts для різних значень тиску P
|
Ts,0С |
36,5 |
78,3 |
100,1 |
114,0 |
122,8 |
131,5 |
138,2 |
|
P, МПа |
0,2 |
0,98 |
2,00 |
3,04 |
3,92 |
5,00 |
6,00 |
Необхідно узагальнити експериментальні дані у вигляді аналітичної залежності P=f(T).
Розв’язок
Для проведення аналізу вихідних даних з метою вибору вигляду апроксимуючого многочлена подамо у вигляді графіку експериментальні дані з таблиці 8.2. Графік наведений на рис. 8.1.
У результаті аналізу даних виберемо за апроксимуючий многочлен параболу, яка задана залежністю
|
P2(x)=a0+a1x+a2x2. |
(8.23) |
Для спрощення обчислень зробимо наступну заміну
|
|
(8.24) |
Для визначення коефіцієнтів a0, a1, a2 необхідно записати систему рівнянь (8.22).
Для складання системи зручно скористатися даними, наведеними в таблиці 8.3.
Рис. 8.1. Експериментальна залежність P=f(T) прикладу 8.1.
Таблиця 8.3
Допоміжні дані до складання системи лінйних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів параболічної апроксімації
|
i |
Ti |
Xi |
Yi |
XiYi |
Xi2 |
Xi2Yi |
Xi3 |
Xi4 |
|
0 |
36,5 |
0,365 |
0,20 |
0,0730 |
0,13323 |
0,02665 |
0,04863 |
0,01775 |
|
1 |
78,3 |
0,783 |
0,98 |
0,7673 |
0,61309 |
0,60083 |
0,48004 |
0,37587 |
|
2 |
100,1 |
1,001 |
2,00 |
2,0020 |
1,00200 |
2,00400 |
1,00300 |
1,00401 |
|
3 |
114,0 |
1,140 |
3,04 |
3,4656 |
1,29960 |
3,95078 |
1,48154 |
1,68896 |
|
4 |
122,8 |
1,228 |
3,92 |
4,8138 |
1,50798 |
5,91128 |
1,85179 |
2,27401 |
|
5 |
131,5 |
1,315 |
5,00 |
6,5750 |
1,72920 |
8,64613 |
2,27393 |
2,99020 |
|
6 |
138,2 |
1,382 |
6,00 |
8,2920 |
1,90992 |
11,45954 |
2,63951 |
3,64781 |
|
N=7 |
|
7,214 |
21,14 |
25,9887 |
8,19804 |
32,59921 |
9,77846 |
11,99862 |
Використовуючи дані, які наведені у останньому рядку табл.8.3, систему рівнянь (8.22) запишемо у вигляді
|
|
(8.25) |
У результаті розв’язання системи (8.25) одержимо наступні значення коефіцієнтів
a0=1,82743;
a1=-6,89062;
a2=7,08440.
Отже, шуканий апроксимуючий многочлен має вигляд
.
За допомогою формул (8.6) перейдемо до вихідних позначень та одержимо
.
Після спрощення виразу
|
|
(8.26) |
.Отримана аналітична залежність (8.26) узагальнює експериментальні дані табл. 8.2.
Для оцінки похибки апроксимуючої залежності складемо таблицю значень P. Для цього визначимо тиск P за формулою (8.26). Результати занесемо до таблиці 8.4.
Таблиця 8.4
Розрахункові значення Р
|
T |
36,5 |
78,3 |
100,1 |
114 |
122,8 |
131,5 |
138,2 |
|
P |
0,256 |
0,775 |
1,953 |
3,179 |
4,049 |
5,072 |
5,835 |
Для оцінки точності параболічної апроксимації необхідно порівняти значення Р з таблиці 8.1 і таблиці 8.4. Модуль різниці відповідних значень дає P‑похибку апроксимації, значення якої подані в таблиці 8.5. У таблиці наведена також відносна похибка Р, яка дорівнює відношенню Р до Р.
Таблиця 8.5
Абсолютна та відносна похибки апроксімації
|
Т |
36,5 |
78,3 |
100,1 |
114 |
122,8 |
131,5 |
138,2 |
|
Р |
0,056 |
0,205 |
0,047 |
0,139 |
0,129 |
0,072 |
0,165 |
|
P,% |
28 |
21 |
2,4 |
4,6 |
3,3 |
1,4 |
2,8 |
Порівняльний аналіз похибок показує, що отримана аналітична залежність задовільно узагальнює вихідні експериментальні дані.
Для інтегральної оцінки апроксимації можна використати формулу
.
На рис. 8.2 наведені два графіки, один із яких побудований за даними апроксимації (таблиця 8.4), а другий - за вихідними даними (таблиця 8.1).
Рис. 8.2. Крива апроксимації і вихідні дані прикладу 8.1.
Порівнюючи ці графіки, можна також відзначити задовільну збіжність теоретичних і експериментальних даних.
Приклад 8.2. Залежність теплоємності Ср фториду магнію від температури Т подано в табл. 8.6. Необхідно апроксимувати ці дані многочленом і оцінити похибку апроксимації.
Таблиця 8.6
Вихідні дані
|
T |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
800 |
900 |
1000 |
|
Ср |
70,35 |
75,38 |
80,53 |
85,81 |
91,26 |
96,83 |
102,53 |
108,27 |