Розв'язок
.
Нехай
.
Розв'язок задачі представимо
в вигляді таблиці.
|
i |
xi |
yi |
F(xi,yi) |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0,05 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
7 |
7 |
|
|
|
8 |
8 |
|
|
|
9 |
9 |
|
|
|
10 |
10 |
|
|
Метод Рунге–Кутта
Дано диференційне рівняння
,
початкові умови
.
Знайти
у вигляді таблиці на відрізку
.
1. Розіб'ємо відрізок інтегрування
[а, b]
на n
рівних частин системою точок
(
),
,
,
.
2. Знайдемо для кожного значення
;
;
;
.
3. Обчислимо
,
(
).
4. Обчислимо послідовно
,
(
),або
.
У таблиці 9.1 наведено схему Рунге–Кутта.
Таблиця 9.1
|
i |
x |
y |
f(x,y) |
k=hf(x,y) |
y | |
|
0 |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
| ||||
|
1 |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
| ||||
|
2 |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
| ||||
|
... |
............ |
........................ |
............................... |
................. |
............... | |
|
n |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
| ||||
Приклад 9.2.
Дано диференційне рівняння
,
початкові умови
.
Знайти
у вигляді таблиці на відрізку
,
.
Розв'язок
,
,
.
Розрахунки зручно проводити за допомогою табличного процесору MS Excel (рис. 9.1, рис. 9.2).
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
|
1 |
i |
x |
y |
f(x,y) |
k=hf(x,y) |
del(y) |
|
|
2 |
0 |
0 |
-1 |
=0,25*C2^2+B2^2 |
=0,1*D2 |
=E2 |
|
|
3 |
=$B$2+0,1/2 |
=$C$2+E2/2 |
=0,25*C3^2+B3^2 |
=0,1*D3 |
=2*E3 |
| |
|
4 |
=$B$2+0,1/2 |
=$C$2+E3/2 |
=0,25*C4^2+B4^2 |
=0,1*D4 |
=2*E4 |
| |
|
5 |
=$B$2+0,1 |
=$C$2+E4 |
=0,25*C5^2+B5^2 |
=0,1*D5 |
=E5 |
=(F2+F3+F4+F5)/6 | |
|
6 |
1 |
=$B$5 |
=$C$2+$G$5 |
=0,25*C6^2+B6^2 |
=0,1*D6 |
=E6 |
|
|
7 |
=$B$6+0,1/2 |
=$C$6+E6/2 |
=0,25*C7^2+B7^2 |
=0,1*D7 |
=2*E7 |
| |
|
8 |
=$B$6+0,1/2 |
=$C$6+E7/2 |
=0,25*C8^2+B8^2 |
=0,1*D8 |
=2*E8 |
| |
|
9 |
=$B$6+0,1 |
=$C$6+E8 |
=0,25*C9^2+B9^2 |
=0,1*D9 |
=E9 |
=(F6+F7+F8+F9)/6 |
Рис. 9.1. СхемаРунге–Кутта
|
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
|
1 |
i |
x |
y |
f(x,y) |
k=hf(x,y) |
del(y) |
|
|
2 |
0 |
0,00 |
-1,0000 |
0,2500 |
0,0250 |
0,0250 |
|
|
3 |
0,05 |
-0,9875 |
0,2463 |
0,0246 |
0,0493 |
| |
|
4 |
0,05 |
-0,9877 |
0,2464 |
0,0246 |
0,0493 |
| |
|
5 |
0,10 |
-0,9754 |
0,2478 |
0,0248 |
0,0248 |
0,0247 | |
|
6 |
1 |
0,10 |
-0,9753 |
0,2478 |
0,0248 |
0,0248 |
|
|
7 |
0,15 |
-0,9629 |
0,2543 |
0,0254 |
0,0509 |
| |
|
8 |
0,15 |
-0,9626 |
0,2541 |
0,0254 |
0,0508 |
| |
|
9 |
0,20 |
-0,9499 |
0,2656 |
0,0266 |
0,0266 |
0,0255 |
Рис. 9.2. Результати обчислень схемиРунге–Кутта