Перевірка результатів

Для того щоб перевірити результат обчислення, необхідно знайти похибку обчислень, тобто залишковий член.

Оскільки нам не відомий аналітичний вигляд функції, є тільки таблиця значень, то оцінити похибку для інтерполяційного многочлена Лагранжа буде важко. Для цього необхідно знайти похідні вищих порядків за допомогою інтерполяційних формул Ньютона. Тому, обмежимося знаходженням залишкового члена для інтерполяційного многочлена Ньютона за формулою

(7.17)

Формула (7.17) отримана з формули

,

де - деяке значення між вузлами інтерполяціїх₀, х₁, …, х_n і розглянутою точкою х, з огляду на те, що

,

приблизно можна припустити

.

Для визначення залишкового члена скористаємося таблицею кінцевих різниць (таблиця 7.1).

Знайдемо залишковий член, який отримали при обчисленні першої заданої проміжної точки, тобто Т=12.5К. Для цього знайдемо q:

, а також з таблиці кінцевих різниць візьмемо ∆⁸y=57,27 і підставимо у формулу (7.17):

Таким чином знайдемо залишковий член для двох інших заданих проміжних точок.

Для точки Т=15.4К знаходимо та підставляємо у формулу(7.17), одержуємо:

Для точки Т=17.7К знаходимо та підставляємо у формулу(7.17), одержуємо:

Графічне зображення результатів

Рис. 7.1. Графічне зображення результатів приклада 7.1

На представленому графіку можна побачити вузли інтерполяції, а також проміжні точки, що мають підписи. Цей графік відображає ту залежність, що була подана у таблиці. Дивлячись на графік, видно, що знайдені значення функції входять у цю залежність, тобто розв’язок було знайдено вірно.

Завдання для самостійної роботи

1. Побудувати многочлен Лагранжа для функції, заданої в 4-х точках:

x_i=x₀+0,4i (i=0, 1, 2, 3);

y_i=N/(N+5+x_i);

x₀=0,05N (N – варіант).

2. Побудувати інтерполяційний поліном Ньютона, якщо задані значення функції f(x) у точках інтервалу [a, b], що відстоять одна від одної на відстані h.

Використовуючи отриманий поліном, визначити значення функції в трьох точках.

Варіант	f(x)	[a, b]	h	xj (j=1,2,3)
1	Sin x	360, 400	10	37010; 38030; 40020
2	Cos x	120, 140	301	12015; 13010; 14020
3	tg x	40, 60	301	3040; 4020; 5020
4	Sin x	630, 670	10	62030; 63010; 66020
5	Cos x	400, 420	301	40020; 41040; 42015
6	tg x	60, 100	10	6015; 7045; 10010
7	Sin x	810, 830	301	79050; 80120; 82015
8	Cos x	750, 790	10	75030; 78010; 79045
9	tg x	30, 50	301	3015; 4020; 5010
10	Sin x	600, 640	10	59050; 60030; 63045
11	Cos x	300, 340	10	30045; 33010; 34020
12	tg x	50, 90	10	4050; 5030; 7045
13	Sin x	300, 320	301	30045; 31020; 32010
14	Cos x	600, 620	301	60050; 61010; 62015
15	tg x	100, 140	10	9045; 10030; 13020
16	Sin x	450, 490	10	44030; 45020; 40010
17	Cos x	450, 470	301	45015; 46045; 47010
18	tg x	150, 170	301	14045; 15020; 16020
19	Sin x	200, 240	10	20010; 21050; 24015
20	Cos x	700, 740	10	69045; 70030; 72020
21	tg x	150, 190	10	14030; 15045; 18010
22	Sin x	500, 540	10	50030; 52020; 54015
23	Cos x	250, 270	301	24050; 25010; 26015
24	tg x	120, 180	10	11030; 12040; 16050
25	Sin x	860, 900	10	85040; 86050; 89030
26	Sin x	360, 400	10	37010; 38030; 40020
27	Cos x	120, 140	301	12015; 13010; 14020
28	tg x	40, 60	301	3040; 4020; 5020
29	Sin x	630, 670	10	62030; 63010; 66020
30	Cos x	400, 420	301	40020; 41040; 42015