127838-229237

Уравнение стоячих волн, возникающих вдоль оси OX , имеет вид:

Множитель cos ωt показывает, что колебания точек среды с различными координатами осуществляются синфазно, то есть в одинаковой фазе ( cos ωt > 0 ) либо в противофазе ( cos ωt < 0 ) с колебаниями источника волны. Множитель 2s0 cos(2πxλ) пред-

ставляет собой амплитуду стоячей волны, которая изменяется по гармоническому закону вдоль направления OX , однако имеет постоянное значение для данной точки.

В стоячей волне нет направленного переноса энергии. При стационарном распределении энергии вдоль направления OX рассматривают характерные точки – узлы стоячей волны (встречные бегущие волны приходят в противофазе, гасят друг друга, поэтому частицы среды в этом месте колебаний не совершают) и пучности (встречные бегущие волны приходят в одинаковых фазах и усиливают друг друга, поэтому частицы среды в этом месте колеблются с максимальной амплитудой 2s0 ).

Расстояние между двумя соседними узлами или пучностями (равно половине длины бегущей волны λ2 ) называется длиной

стоячей волны.

В струне, стержне или воздушной трубе длиной l на концах происходят многократные отражения волн. В этом случае стоячая волна стационарной формы может существовать лишь при определенных условиях.

Если оба конца струны или стержня закреплены или не закреплены (в воздушной трубе – закрыты или открыты торцы с обеих сторон) (рис. 2.3 а и б), то могут образовываться только такие стоячие волны, для которых на длине l укладывается целое число полуволн длины бегущей волны. В первом случае на концах (тор-

Если один из концов струны или стержня закреплен (для воздушной трубы – закрыт один из торцов) (рис. 2.3 в), то стоячие

181

волны образуются, если на длине l укладывается нечетное число четвертей длин волн бегущей волны. При этом на закрепленном конце (закрытом торце) будет находиться узел, а на свободном – пучность:

Скорости распространения монохроматических волн в различных средах можно рассчитать из следующих выражений:

продольных волн в неограниченной упругой среде:

где E – модуль упругости (модуль Юнга), ρ – плотность стержня;

поперечных (сдвиговых) волн в неограниченной упругой среде:

где F – сила, растягивающая нить; S – площадь поперечного сечения нити, ρ – плотность среды.

Последнее выражение (14.18) справедливо лишь в случае, когда напряжение, вызванное сдвигом, мало по отношению к напряжению, вызванному растягивающей силой.

Для характеристики энергии волны используется понятие объемной плотности энергии, которая равна отношению энергии волны dW в некотором объеме к величине этого объема dV :

Среднее значение объемной плотности энергии волны, имеющей амплитуду s0 и циклическую частоту ω и распространяющейся в упругой среде, равно

где τ – промежуток времени, в течение которого производится усреднение (выбирается много большим периода колебаний волны

τ >> 2πω).

Поток энергии волны равен мощности, переносимой волной через некоторую площадку:

Соответственно, среднее по времени значение потока энергии волны будет равно:

называется вектор, модуль которого равен отношению потока, переносимого некоторой волной через площадку, ориентированную перпендикулярно направлению ее распространения, к площади этой площадки:

где j – единичный вектор, ориентированный вдоль направления распространения волны.

183

Вектор Умова может быть также выражен через фазовую скорость и объемную плотность энергии волны:

плоских волн, I – интенсивность волн после прохождения расстояния x в среде.

15. ЗВУКОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Механические колебания в интервале частот 16 – 20000 Гц называются звуковыми. Соответствующие им упругие волны в среде (как правило, в воздухе) называются звуком. Волны с частотой меньшей 16 Гц называются инфразвуком, а с частотой боль-

шей 20000 Гц – ультразвуком.

Характеристиками звука являются высота, тембр и сила звука. Высота звука определяется частотой звуковых колебаний. Тембр звука определяется соотношением амплитуд обертонов (то есть колебаний, частота которых кратна частоте основного тона) и амплитуды основного тона.

Сила звука – это интенсивность звуковой волны (среднее значение модуля вектора Умова).

184

Наименьшее значение силы звуковых волн I0 , воспринимаемых ухом человека, называется порогом слышимости. Величине I0 соответствует некоторое значение минимального звукового давления Dp0 , вызывающего звуковые ощущения. Порог слыши-

мости зависит от частоты звука. Наибольшая чувствительность человеческого уха наблюдается для волн с частотой 1000 – 4000 Гц. В частности, для частоты 3000 Гц порог слышимости со-

ставляет I0 = 1,0 ×10−12 Вт/м2. Это значение принято считать порогом слышимости. Соответствующее ему минимальное звуковое давление равно Dp0 = 1,0 ×10−5 Па.

Для сравнения силы звуковых волн пользуются величиной, называемой уровнем громкости, равной десятичному логарифму отношения интенсивности I данной звуковой волны к величине I0 :

где p – звуковое давление в данном волновом процессе.

Единица измерения громкости, определяемой из (15.1), называ-

ется белом (Б). Один бел громкости имеет волна, интенсивность которой превосходит в 10 раз пороговое значение. На практике пользуются единицей измерения в 10 раз меньшей бела – децибелом (дБ). Уровень громкости в децибелах определяется выражением:

где p и ρ – соответственно давление и плотность газа, невозмущенного волной, γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме: g = c p cV .

185

Выражение для скорости распространения продольных звуковых волн в идеальном газе имеет вид:

где R – универсальная газовая постоянная; M – молярная масса газа, T – термодинамическая температура.

Связь между интенсивностью звуковой волны и амплитудой давления (Dp)max (разностью между давлением в волновом поле и

давлением в той же среде при отсутствии волнового процесса):

Эффект Доплера состоит в том, что воспринимаемая частота звука зависит от относительного движения источника волн и наблюдателя (приемника), воспринимающего эти волны.

В обоих выражениях (15.7 и 15.8) υ – скорость звука; знак «+» соответствует приближению источника к наблюдателю, «–» соответствует их удалению.

16. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Взаимосвязанные колебания электрических и магнитных полей, распространяющиеся в пространстве с конечной скоростью,

называются электромагнитной волной.

Электромагнитные волны в вакууме и изотропной среде представляют собой колеблющиеся во взаимно перпендикулярных

186

плоскостях векторы напряженности электрического E и магнит-

ного H полей, которые вместе с волновым вектором k образуют правую тройку векторов (рис. 2.4). Это означает, что электромагнитные волны являются поперечными.

Рис. 2.4

Как и волны в упругой среде, электромагнитные волны бывают плоские и сферические. Уравнение плоской бегущей монохроматической волны для напряженности электрического поля

где r – радиус-вектор, проведенный в некоторую точку, в которой

определяется Е , k – волновой вектор.

Направление волнового вектора перпендикулярно волновой поверхности (волновому фронту), его модуль равен волновому числу. Аналогично (16.1) может быть записано уравнение для на-

пряженности магнитного поля H .

Скорость распространения электромагнитных волн в ва-

Скорость распространения электромагнитных волн в сре-

де с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ равна

187

Принимая во внимание (16.3) и (16.4), можно получить соотношение, связывающее коэффициент преломления с диэлектрическими и магнитными свойствами среды:

Связь между напряженностью электрического поля и индукцией магнитного поля в электромагнитной волне задается выражением:

ω = ω0 , а длина волны уменьшается в n раз: λ = λ0 / n ( ω0 , λ0

иω , λ круговая частота и длина волны соответственно в вакууме

исреде).

Вектор Умова-Пойнтинга в электромагнитной волне определяется из векторного произведения:

где E – напряженность электрического поля, H – напряженность магнитного поля.

Модуль вектора Умова-Пойнтинга имеет смысл плотности потока электромагнитной энергии и равен мощности, переноси-

мой электромагнитной волной через некоторую единичную пло- щадку, ориентированную перпендикулярно направлению ее рас- пространения.

В оптически изотропной среде направление вектора УмоваПойнтинга совпадает с направлением волнового вектора (рис. 2.4).

Оптически изотропными называют среды, оптические свойства которых одинаковы по всем направлениям.

188

Среднее по времени значение модуля вектора УмоваПойнтинга называют интенсивностью электромагнитной волны:

где τ – некоторый промежуток времени, значительно больший периода колебаний: τ >> 2πω.

Для изотропной среды, характеризуемой диэлектрической и магнитной проницаемостями, соответственно ε и μ , интенсив-

ность бегущей монохроматической электромагнитной волны определяется выражением:

Для большинства оптически прозрачных диэлектриков μ ≈1, поэтому выражение (16.9) для подобных сред запишется в виде:

17. ФОТОМЕТРИЯ

Фотометрия – совокупность методов измерения энергетических и световых характеристик электромагнитного излучения оптического (видимого) диапазона.

Для измерения энергии в фотометрии используются два мето-

да: объективный и визуальный (субъективный). В случае ис-

пользования объективного метода величина энергии измеряется на основании воздействия электромагнитной волны на фотоприемник, причем сигнал, вырабатываемый фотоприемником, является зависимым от энергии или интенсивности электромагнитной волны. При использовании визуального метода величины, характеризующие энергию волны, оцениваются по зрительному восприятию глаза человека. В зависимости от метода измерения используются два типа фотометрических величин: энергетические и световые.

189

Энергетические фотометрические величины

Основной энергетической величиной в фотометрии является

энергетический поток излучения (поток излучения) Fe , харак-

теризующий среднюю мощность излучения, которая переносится электромагнитной волной через некоторую поверхность площадью S :

где P – среднее значение мощности излучения.

Энергетическая освещенность Ee – отношение потока излу-

чения, который падает на площадку, к величине ее площади σ :

Если падающий поток распределен на площадке неравномерно, то равенство (17.2) определяет среднюю освещенность.

Под освещенностью в окрестности некоторой точки следу-

где dσ – некоторая элементарная площадка, в пределах которой световой поток можно считать постоянным.

Величина, равная произведению освещенности на промежуток времени, в течение которого эта освещенность создается на

Энергетическая экспозиция характеризует интегральный эффект, производимый электромагнитной волной на фотоприемник.

Для характеристики точечных источников излучения используют величину, которую называют энергетической силой излу-