127838-229237

i = 7,0sin(628t + 45o )А. Известно, что сдвиг фаз между напряжени-

ем на катушке и током в ней составляет 30o , и выделяемая активная мощность равна 160 Вт. Записать также выражение для мгновенных значений напряжения на катушке, на ее активном и индуктивном сопротивлениях. Построить векторную диаграмму для начального момента времени (t = 0).

Дано:

i= 7,0sin(628t + 45o )А,

ϕ= 30o ,

P = 160 Вт.

Найти: Z , R , X L , L , S , Q , u(t), uR (t), uL (t).

Решение. Из выражения для мгновенного значения силы тока i = 7,0sin(628t + 45o ) следует, что максимальное (амплитудное) значение силы тока в катушке I m = 7,0 А, циклическая частота переменного тока ω = 628 рад/с, начальная фаза ψi = 45o .

Действующие и амплитудные значения силы тока и напряжения связаны с их амплитудными значениями соотношениями

[13.20]:

где I и U – действующие (эффективные) значения силы тока и напряжения соответственно, ϕ – сдвиг фаз между напряжением и

током.

Действующее значение напряжения на катушке индуктивности с учетом (1) вычисляется из соотношения (3):

подставляя числовые значения величин, получим:

Из закона Ома для переменного тока [13.17] с учетом (1) может быть найдено полное сопротивление катушки:

Индуктивное сопротивление катушки в свою очередь связано с полным соотношением:

X L = Z sin j = 7,5 × 0,5 = 3,75 Ом.

Активное сопротивление катушки в таком случае может быть найдено из соотношения:

R = Z 2 - X L2 = Z cosj = 7,5 × 0,866 = 6,5 Ом.

По определению индуктивное сопротивление равно [13.17]:

или с учетом значений ранее вычисленных величин и соотноше-

ния (1):

S = UI = UI m = 37,3 × 7,0 =185 ВА.

Реактивная мощность может быть найдена из соотношения

Мгновенное значение напряжения на катушке определяется с учетом заданного мгновенного значения силы тока:

u = U m sin(628t ± yu ), (6)

где U m – максимальное (амплитудное) значение напряжения на катушке, yu – сдвиг фаз между напряжением и током с учетом начальной фазы колебаний.

112

Используя соотношение (2), получим:

U m =U 2 = 37,32 = 52,8 В.

Сдвиг фаз yu = yi + j = 45o + 30o = 75o .

С учетом всех рассчитанных величин выражение (6) приобретет окончательный вид:

u = 52,8sin(628t + 75o )В.

Мгновенное значение напряжения на активном сопротивлении катушки определяется из заданного мгновенного значения силы тока, а также с учетом их синфазности:

где U Rm – амплитудное значение напряжения.

Так как максимальное и действующее значения напряжения связаны соотношением (2), то U Rm находим в виде:

По закону Ома для однородного участка цепи падение напряжения на активном сопротивлении равно U = IR , следовательно, выражение (8) с учетом (1) запишем в виде:

U Rm = I m R ,

подставляя числовые значения, получим:

U Rm = 7,0 × 6,5 = 45,5 В.

Окончательно выражение (7) приобретет вид: uR = 45,5sin(628t + 45o ) В.

Мгновенное значение напряжения на индуктивном сопротивлении катушки можно найти с использованием закона самоиндук-

ции [10.9]:

uL = L dtdi = 6,0×10−3 ×628×7,0cos (628t + 45o )= 26cos (628t + 45o ).

Используя известные формулы приведения, перейдем от функции косинуса к синусу:

Для построения векторной диаграммы необходимо сначала определить действующие значения напряжений:

113

Выбираем масштаб по напряжению и току, по горизонтали откладываем положительное направление оси абсцисс и строим

под углом yi = 45o к ней вектор тока I (рис. 1.52). По направлению этого вектора откладываем в масштабе вектор напряжения U R .

Рис. 1.52

Вектор напряжения U L откладываем под углом 90o в сторону

опережения вектора тока I . Складывая эти векторы, получим в выбранном масштабе вектор напряжения U , приложенного к катушке.

Ответ: Z = 7,5 Ом, X L = 3,75 Ом, R = 6,5 Ом,

L = 6,0 ×10−3 Гн, S = 185 ВА, Q = 92 ВАр, u = 52,8sin(628t + 75o )В,

uR = 45,5sin(628t + 45o ) В, uL = 26sin(628t +135o )В.

Пример 27. Катушка, индуктивность которой 50 мГн, включена последовательно с резистором сопротивлением 20 Ом

(рис. 1.53). Если ЭДС самоиндукции eL =100sin(314t + 30o )В, рас-

считать мгновенные значения тока и приложенного к цепи напряжения, а также определить активную, реактивную и полную мощности цепи.

114

Дано:

eL =100sin(314t + 30o )В, L = 50 мГн = 0,050 Гн,

R = 20 Ом.

Найти: i , u , P , Q , S .

Решение. Задачу решаем символическим методом. Дифференциальные уравнения, связывающие мгновенные значения тока, напряжения и ЭДС, заменяем алгебраическими уравнениями относительно комплексных амплитуд этих величин.

что соответствует алгебраическому уравнению относительно ком-

где z – модуль комплексного сопротивления, Z – комплексное сопротивление цепи, ϕ – аргумент.

Для перехода от комплексных амплитуд тока и напряжения к их мгновенным значениям обе части равенств (6) и (8) умножаем

на e jωt , а затем берем их мнимую часть:

=514,33 × e j38° ВА;

–активная мощность [13.25]

P= Re[U&I&* ] = Re[514,33 × e j38° ] = 514,33 × cos38° = 405,3 Вт;

–реактивная мощность [13.26]

Q = Im[U&I&* ] = Im[514,33 × e j38° ] = 514,33 × sin 38° = 316,65 ВАр,

где I&* = 6,36 × e− j120° – сопряженный комплекс тока (сравнить с самим комплексом в выражении (3)), Re[U&I&* ] и Im[U&I&* ] – дейст-

вительная и мнимая части выражения для полной мощности соответственно.

Ответ: i = 6,36 sin(wt + 120°)А; u =161,74 sin(wt + 158°)В;

ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

1.ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. ЗАКОН КУЛОНА

1.1.Во сколько раз сила гравитационного притяжения между электроном и протоном, находящимися на некотором расстоянии друг от друга, меньше силы их электростатического притяжения?

1.2. Два одинаковых металлических шарика имеют заряды 5,0 мкКл и –7,0 мкКл. Найти силу их кулоновского взаимодействия после того, как их привели в соприкосновение, а затем удалили друг от друга на расстояние 10 см. Заряженные шарики рассматривать как точечные заряды.

1.3.Сила притяжения двух одинаковых металлических шариков, находящихся на расстоянии 14 см, равна 36 мкН. После того, как шарики были приведены в соприкосновение и удалены на первоначальное расстояние, они стали отталкиваться с силой 95 мкН. Определить заряды шариков до соприкосновения. Заряды считать точечными.

1.4.Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии 50 см друг от друга, взаимодействуют с некоторой силой. На каком расстоянии нужно поместить эти заряды в керосине, чтобы сила взаимодействия не изменилась?

1.5.Найти силу электростатического отталкивания между ядром

атома железа и бомбардирующим его протоном, считая, что протон подошел к ядру атома железа на расстояние

5,5 ×10−15 м. Заряд ядра железа составляет 26 элементарных зарядов. Влиянием электронной оболочки атома железа пренебречь.

1.6.Точечные заряды 15 мкКл и –8,0 мкКл находятся на расстоянии 5,0 см друг от друга. Определить напряженность поля в точке, удаленной на 3,0 см от первого и на 4,0 см от второго зарядов, а также силу, действующую в этой точке на точечный заряд 1,0 мкКл.

1.7.Три одинаковых точечных заряда по 4,0 нКл каждый находятся в вершинах равностороннего треугольника со сторо-

117

нами 12 см. Определить модуль и направление силы, действующей на один из зарядов со стороны двух других.

1.8.Четыре одинаковых заряда по 20 нКл закреплены в вершинах квадрата со стороной 8,0 см. Найти силу, действующую на один из этих зарядов со стороны трех остальных.

1.9.В вершинах правильного треугольника со стороной 10 см находятся заряды 10 мкКл, 20 мкКл, 30 мкКл. Определить силу, действующую на первый заряд со стороны двух других

зарядов.

1.10. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды по 10 нКл. Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?

1.11. В вершинах правильного шестиугольника со стороной 2,0 см расположены точечные заряды одинаковой величины 2,0 нКл. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника, если знаки соседних зарядов противоположны.

1.12.В вершинах правильного шестиугольника со стороной 1,5 см расположены шесть положительных зарядов. Найти напряженность электрического поля в центре шестиугольника, если каждый заряд равен 3,0 нКл.

1.13.На расстоянии 25 см находятся два точечных заряда величиной –25 нКл и 50 нКл. Определить силу, действующую на заряд –5 нКл, удаленный от обоих зарядов на расстояние

30 см.

1.14.Расстояние между двумя точечными зарядами 3,0 нКл и 5,0 нКл равно 40 см. Определить местоположение точки, в которую нужно поместить третий заряд так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Каковы величина этого заряда и его знак?

1.15.В вершинах правильного шестиугольника помещены одинаковые положительные заряды по 25 нКл каждый. Какой отрицательный заряд надо поместить в центре шестиугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю?

118

1.16.Два одинаково заряженных алюминиевых шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на некоторый угол. Шарики погружают в масло. Какова плотность масла, если угол расхождения нитей при погружении в масло остается неизменным?

1.17.Два одинаковых шарика с одноименными зарядами подвешены на нитях в одной точке и находятся на некотором расстоянии друг от друга. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы при их погружении в машинное масло угол между нитями не изменился?

1.18.Два шарика весом 25 мН каждый подвешены на тонких шелковых нитях длиной 5,0 м так, что они соприкасаются друг с другом. Шарикам сообщают одноименные заряды по 40 нКл. Определить расстояние между центрами шариков, на которое они разойдутся после зарядки.

1.19.Материальная точка массой 1,0 г и зарядом 5,0 мкКл, укрепленная на конце изолирующей нити длиной 1,5 м, находится в электрическом поле напряженностью 1,8 кВ/м и вращается вокруг вертикальной оси так, что угол, составляемый нитью с вертикалью, равен 20° . Найти период обращения точки,

если силовые линии электрического поля вертикальны и направлены вверх.

1.20.Расстояние между двумя бесконечно длинными параллельными металлическими нитями, заряженными одноименно с линейной плотностью 6,0 ×10−5 Кл/м, равно 5,0 см. Найти напряженность поля в точке, удаленной на 5,0 см от каждой нити.

1.21.Две параллельные бесконечные плоскости, расположенные на некотором расстоянии друг от друга, одноименно заря-

жены с поверхностной плотностью зарядов 0,50 ×10−6 Кл/м2

и 1,5 ×10−6 Кл/м2. Определить напряженность поля в некоторой точке между плоскостями и вне плоскостей.

1.22.Тонкое кольцо радиусом r заряжено равномерно с линейной плотностью τ . Определить напряженность поля в центре кольца и на высоте h над кольцом по оси симметрии.

119

1.23.Тонкое полукольцо радиусом r заряжено равномерно с линейной плотностью τ . Определить напряженность поля в центре кривизны полукольца.

1.24.Расстояние между двумя параллельно расположенными бесконечно длинными металлическими нитями равно 10 см. Одна нить заряжена с линейной плотностью 6,0 ×10−5 Кл/м, другая 3,0 ×10−5 Кл/м. Найти напряженность поля в точке, удаленной на расстояние 10 см от каждой нити.

1.25.Тонкий стержень длиной 20 см несет равномерно распределенный заряд 0,10 мкКл. Определить напряженность электрического поля, создаваемого этим распределенным зарядом в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии 20 см от его ближайшего конца.

1.26.Найти силу, действующую на заряд 2,0 нКл, если он помещен на расстоянии 2,0 см от бесконечно длинной заряженной нити с линейной плотностью заряда 0,10 мкКл/м. Система находится в масле.

1.27.Найти силу, действующую на заряд 1,5 нКл, если он поме-

щен в керосине в поле бесконечной заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда 10 мкКл/м2.

1.28.Найти силу, действующую на заряд 3,0 нКл, если он помещен в масле на расстоянии 2,0 см от поверхности заряжен-

ного шара с радиусом 2,0 см и поверхностной плотностью заряда 10 мкКл/м2.

1.29.С какой силой электрическое поле заряженной бесконечной плоскости действует на единицу длины заряженной бесконечно длинной нити, помещенной в это поле. Линейная

плотность заряда на нити составляет 4,0 мкКл/м, поверхностная плотность заряда на плоскости равна 50 мкКл/м2.

1.30.С какой силой, приходящейся на единицу длины, отталкиваются две бесконечно длинные нити, одноименно заряженные с одинаковой линейной плотностью заряда, равной 5,0 мкКл/м, находящиеся на расстоянии 4,0 см друг от друга?

1.31.По четверти тонкого кольца радиусом 6,0 см равномерно распределен положительный заряд с линейной плотностью

120